高中数学必修一册教案4.1.1 n次方根与分数指数幂（第1课时）（教学设计）-

《4.1指数》教学设计教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的《4.1指数》。以下是本节两个课时的安排：第一课时第二课时课时内容n次方根指数幂及其运算所在位置教材第104页教材第105页新教材内容分析n次方根与分数指数幂相关概念与性质的学习，是进一步学习指数函数的基础和保证，指数函数是以指数作为自变量的一类重要的函数，其定义域是实数集，因此我们非常有必要将初中所学整数指数幂顺理成章的推广到实数指数幂.核心素养培养通过本节内容的学习与运用，可以提升学生通过类比、概括、归纳进行知识拓广的能力，培养学生自主钻研、探究尝试、抽象总结、思维推理的良好学习习惯，达成学生数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养。教学主线根式的性质、实数指数幂的运算二、学情分析针对本节知识内容和学生认知水平而言，初中已经学习了整数指数幂、平方根和立方根等知识，有了这些储备知识作为生长点，就可以再一次回顾由正整数指数幂到整数指数幂的扩充过程，非常自然地一个想法就是将整数指数幂推广到有理数指数幂，再进一步推广到实数指数幂，也将平方根、立方根推广到n次方根，并找到n次方根与分数指数幂的关系。第一课时n次方根一、学习目标1.理解n次方根、n次根式的概念，达成数学抽象的核心素养.2.能正确运用根式的性质化简求值，培养数学运算的核心素养.二、教学重难点重点：根式的概念和n次根式的性质。难点：n次根式的性质。三、教学过程（一）新知导入1.创设情境，生成问题公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数eq\r(2)的诞生.希帕索斯【想一想】根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方形的对角线长是如何计算出来的呢？【提示】根据勾股定理正方形的对角线长为.探索交流，解决问题【问题1】(1)若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若呢？(2)若，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若呢？（3）若，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若呢？（4）若，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若呢？【提示】(1)若，则这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±eq\r(3)；若，则这样的x不存在.(2)若，则这样的x有1个，它叫做3的立方根，记作；若，则这样的x也只有1个，它也叫做3的立方根，记作.（3）若，则这样的x有2个，它们都称为3的四次方根，记作；若，则这样的x不存在.(4)若，则这样的x有1个，它叫做3的五次方根，记作；若，则这样的x也只有1个，它也叫做3的五次立方根，记作.【设计意图】通过这些小问题思考与回答，让学生充分体验从思考、分析到类比的过程，达成数学抽象的核心素养。（二）n次方根1.a的n次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2.a的n次方根的表示求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数eq\r(n,a)Rn为偶数±eq\r(n,a)[0，＋∞)【做一做】1.10的平方根为________.2.－243的5次方根为________.3．（多选题）下列四个命题中正确的是（）A．正数的偶次方根是一个正数 B．正数的奇次方根是一个正数C．负数的偶次方根是一个负数 D．负数的奇次方根是一个负数【答案】1.2.－3（3）BD【设计意图】通过问题的设置与探究，使学生深入理解n次方根的概念，培养数学抽象的核心素养。（三）根式【想一想】根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？【提示】当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为eq\r(n,a)，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a>0时，a才有n次方根，可表示为±eq\r(n,a).1.根式的概念式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.2.根式的性质根式的性质是化简根式的重要依据(1)负数没有偶次方根.(2)0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0.(3)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).(4)eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).(5)eq\r(n,an)＝|a|＝(n为大于1的偶数).【做一做】化简eq\r(（x＋3）2)－eq\r(3,（x－3）3)得________.解析原式＝|x＋3|－(x－3)，当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x.答案6或－2x【设计意图】通过化简该式，使学生掌握根式的性质，培养逻辑推理与数学运算的核心素养。（四）典例透析1.利用根式的性质化简或求值【例1】化简：(1)eq\r(3,－73)；(2)eq\r(π－42)；(3)(eq\r(a－1))2＋eq\r(（1－a）2)＋eq\r(3,（1－a）3).解(1)eq\r(3,－73)＝－7.(2)eq\r(π－42)＝|π－4|＝4－π.(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.【类题通法】n为奇数时，(eq\r(n,a))n＝eq\r(n,an)＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，(eq\r(n,a))n才有意义，且(eq\r(n,a))n＝a；而a为任意实数eq\r(n,an)均有意义，且eq\r(n,an)＝|a|.【巩固练习1】求下列各式的值：(1)eq\r(3,－64)；(2)eq\r(4,（3a－3）4)(a≤1)；(3)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,（1－a）4).解(1)eq\r(3,－64)＝eq\r(3,－43)＝－4.(2)eq\r(4,（3a－3）4)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.(3)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,（1－a）4)＝a＋|1－a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))2.由根式的意义求范围【例1】若eq\r(a2－2a＋1)＝a－1，求实数a的取值范围.解∵eq\r(a2－2a＋1)＝|a－1|＝a－1，∴a－1≥0，∴a≥1，∴实数a的取值范围是.【变式探究】（变条件）若将本例中的“eq\r(a2－2a＋1)＝a－1”改为“”呢？解，∴a－10，∴a1，∴实数a的取值范围是.【类题通法】对于eq\r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要eq\r(n,a)有意义，eq\r(n,a)必不为负.【巩固练习2】若eq\r(4,a－2)＋(a－3)0有意义，则实数a的取值范围是()A．a≥2 B．a≥2且a≠3C．a≠2 D．a≠3【解析】选B.由题意可知，a－2≥0且a－4≠0，所以a的取值范围是a≥2且a≠4.3.有限制条件的根式的化简【例3】设－3<x<1，化简eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9).解原式＝eq\r(（x－1）2)－eq\r(（x＋3）2)＝|x－1|－|x＋3|，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2.【变式探究】（变条件）若将本例中“－3<x<1”变为“x≤－3”，则结果又是什么？解原式＝eq\r(（x－1）2)－eq\r(（x＋3）2)＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.【类题通法】当n为偶数时，eq\r(n,an)先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号.【巩固训练3】已知x∈[1，2]，化简（eq\r(4,x－1)）4＋eq\r(6,（x－2）6)＝________.解析∵x∈[1，2]，∴x－1≥0，x－2≤0，∴(eq\r(4,x－1))4＋eq\r(6,（x－2）6)＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1.答案1（五）操作演练素养提升1.已知x5＝5，则x等于()A.B.C.D.2.运算的结果是()A.2B.－2C.±2D.不确定3.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A.eq\r(4,m2)B.eq\r(3,m)C.eq\r(6,m)D.eq\r(5,－m)4.eq\r(3,－8)的值是________.5.＋eq\r(5,（a－b）5)的值是________.答案（1）B（2）A（3）C（4）－2（5）0或2(a－b)【设计意图】通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。（六）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？【设计意图】通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。四、作业布置完成教材：第109页习题4.1第1题五、课堂记录六、教学反思