3.3函数的应用（一）

3.3函数的应用（一）教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标1.熟练掌握一次函数、二次函数、分段函数的建模方法，能根据实际情境提炼等量关系，建立函数解析式。2.能运用函数性质（单调性、最值）解决实际问题中的优化问题（如最大利润、最大面积、最低成本等）。3.加深对函数概念的理解，增强运用函数思想分析和处理实际问题的意识，掌握数学建模的一般步骤（抽象、转化、求解、检验）。4.精通常见实际应用题型的解题技巧，结合高考真题规律提升应试能力，培养数学抽象、逻辑推理和实际应用能力。二、教学重难点（一）教学重点1.一次函数、二次函数、分段函数的实际建模过程。2.利用函数最值解决实际优化问题（利润、面积、成本等）。3.高考常考题型的解题思路与技巧掌握。（二）教学难点1.从复杂实际情境中提炼关键信息，建立合适的函数模型。2.分段函数的解析式编写与区间划分；含参数的实际问题建模与求解。3.函数最值在实际问题中的应用（需检验解的合理性）。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（10分钟）1.核心概念与公式：一次函数：y=kx+b（k≠0），k>0时单调递增，k<0时单调递减。二次函数：①顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0），顶点(h,k)，a>0时最小值为k，a<0时最大值为k；②一般式y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴x=-b/2a。分段函数：定义域内不同区间有不同对应关系，需分段编写解析式，注意区间衔接。数学建模步骤：审题→提炼等量关系→设变量→建立函数模型→求解→检验实际意义。2.关键性质速记：一次函数建模“核心”：找线性变化关系（固定量+变化量）。二次函数优化“关键”：通过顶点式或对称轴求最值，注意自变量的实际取值范围。分段函数建模“重点”：明确分段区间的分界点，确保各区间解析式准确。（二）考点考频及常考题型1.分段函数的实际应用（考频：10年9考，近3年高频）①考频分析高频考点，覆盖选择、填空、解答题，分值4-8分，难度中档。核心考查阶梯收费（水、电、燃气、税费）、分段计费（行程、购物）等场景的建模与计算。②常考题型题型：阶梯收费问题（占比70%）示例：某市居民用电实行阶梯电价，第一档：0-200度（含），0.5元/度；第二档：200-400度（含），0.6元/度；第三档：400度以上，0.8元/度。求电费y（元）与用电量x（度）的函数解析式，并计算用电量300度时的电费。答案：解析式见解析；电费170元解题核心：分段编写解析式，0≤x≤200时y=0.5x；200<x≤400时y=0.5×200+0.6(x-200)=0.6x-20；x>400时y=0.5×200+0.6×200+0.8(x-400)=0.8x-100；x=300时，y=0.6×300-20=170元。2.二次函数的优化应用（考频：10年10考，必考考点）①考频分析高频必考考点，多在解答题中档-压轴问出现，分值6-10分，难度中档-高档。核心考查最大利润、最大面积、最低成本等优化问题，是高考重点题型。②常考题型题型1：最大利润问题（占比50%）示例：某商品进价为每件30元，售价为每件40元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天销量减少2件。求售价定为多少时，每天利润最大，最大利润是多少？答案：售价47.5元，最大利润612.5元解题核心：设售价为x元，利润y=(x-30)(130-2x)=-2x2+190x-3900，对称轴x=47.5，最大利润y=-2×47.52+190×47.5-3900=612.5元）。题型2：最大面积问题（占比30%）示例：用长为30m的篱笆围一个矩形菜园，一面靠墙，求矩形长和宽各为多少时，面积最大，最大面积是多少？答案：长15m，宽7.5m，最大面积112.5m²解题核心：设宽为xm，长为30-2xm，面积y=x(30-2x)=-2x2+30x，对称轴x=7.5，最大面积y=112.5m²。3.一次函数的实际应用（考频：10年8考，基础考点）①考频分析基础考点，覆盖选择、填空、解答题基础问，分值3-6分，难度低-中档。核心考查线性增长/减少问题（如人口增长、行程问题、成本计算）。②常考题型题型：线性增长问题（占比60%）示例：某工厂2023年的产值为100万元，预计每年产值增长5万元，求2028年的产值。答案：125万元解题核心：设年份为t（2023年t=0），产值y=100+5t，2028年t=5，y=100+25=125万元。（三）经典例题解析（35分钟）例题1：分段函数建模（中档题·常规法）题目：为鼓励节约用水，某市实行阶梯水价：户年用水量0-220m³（含），单价3.45元/m³；220-300m³（含），单价4.83元/m³；300m³以上，单价5.83元/m³。求水费f(x)与用水量x的解析式，并计算用水量260m³时的水费。解法：“分段划分+解析式编写”常规法步骤：a.划分区间：根据水价标准，分三段0≤x≤220，220<x≤300，x>300。b.编写解析式：第一段：f(x)=3.45x（直接按第一档单价计算）；第二段：f(x)=220×3.45+4.83(x-220)=4.83x-303.6（第一档全额+第二档超出部分）；第三段：f(x)=220×3.45+80×4.83+5.83(x-300)=5.83x-603.6（前两档全额+第三档超出部分）。c.计算水费：220<260≤300，代入第二段解析式，f(260)=4.83×260-303.6=952.2元。核心依据：分段函数建模的核心是明确分界点，按各区间收费标准计算总费用，确保区间衔接无遗漏。技巧解题：“分段计费速解”技巧技巧：解决阶梯收费问题时，先确定自变量所在区间，再按“基础费用+超出部分费用”计算，无需重复推导解析式，适合选择、填空题速解。适用场景：所有阶梯收费类问题（水、电、燃气、税费），高考高频应用。例题2：二次函数最大利润问题（中档题·一题多解）题目：某旅游公司有客房160间，每间房单价200元时每天客满；每提高20元，出租数减少10间。求每间房单价定为多少时，每天租金总收入最高？解法1：顶点式法（常规法）步骤：a.设变量：设单价提高x个20元，单价为200+20x元，出租数为160-10x间。b.建模型：总收入y=(200+20x)(160-10x)=-200x²+1200x+32000。c.求最值：a=-200<0，对称轴x=3，当x=3时，单价为200+60=260元，最大收入y=-200×9+1200×3+32000=33800元。核心依据：二次函数一般式转化为顶点式或利用对称轴求最值，结合自变量的实际取值范围（160-10x≥0⇒x≤16）。解法2：配方法（拓展法）步骤：a.同解法1建立模型：y=200(10+x)(16-x)=200(-x²+6x+160)。b.配方：y=200[-(x-3)²+169]=-200(x-3)²+33800。c.求最值：当x=3时，y最大值为33800元，单价为260元。核心依据：通过配方将二次函数化为顶点式，直接读出顶点坐标，快速求最值，步骤更简洁。技巧解题：“二次函数优化三步法”技巧技巧：第一步设变量（通常设“提高/降低的量”）；第二步建立利润/面积等函数模型（注意自变量取值范围）；第三步通过顶点式或对称轴求最值，检验解的合理性。适用场景：所有二次函数优化问题（利润、面积、成本），高考解答题高频应用。例题3：二次函数最大面积问题（中档题·技巧法）题目：用总长为l的围墙围矩形场地，一面靠墙，求长和宽各为多少时，面积最大？解法：“变量设定+最值求解”技巧法步骤：a.设变量：设垂直于墙的边长为x，则平行于墙的边长为l−2x(0<x<l2b.建模型：面积S=x(l-2x)=-2x²+lx。c.求最值：a=-2<0，对称轴x=l/4，此时平行于墙的边长为l-4×l/2=l/2​，最大面积S=-2×(l4)2+l2/4=l2/8d.结论：长为l/2，宽为l/4时，面积最大（或表述为“长是宽的2倍时”）。核心依据：合理设定变量可简化模型，利用二次函数对称轴求最值，注意自变量的实际约束（边长为正）。技巧解题：“面积优化变量设定”技巧技巧：围矩形场地（一面靠墙）时，优先设垂直于墙的边为变量，可使函数解析式更简洁；若两面靠墙，设相邻边为变量，利用均值不等式或二次函数均可求最值。适用场景：所有矩形面积优化问题，高考选择、填空题速解。（四）高考真题解析（20分钟）1.（2024·新课标I卷，10分）某工厂生产一种产品，固定成本5万元，每生产1千件需增加投入0.4万元，当产量为x千件时，销售收入R(x)=-0.4x²+4.2x-0.8,0<x≤5\\10.2,x>5（单位：万元）。求该产品的最大利润。答案：3.65万元解析：利润L(x)=R(x)-C(x)，C(x)=5+0.4x。0<x≤5时，L(x)=-0.4x²+3.8x-5.8，对称轴x=4.75，最大值3.65万元；x>5时，L(x)=5.2-0.4x单调递减，最大值小于3.2万元，故最大利润3.65万元。2.（2024·浙江卷，8分）某市出租车收费标准：3km内（含）起步价10元；超过3km，每千米加收2元（不足1km按1km计）。求车费y（元）与行驶里程x（km）的函数解析式，并计算行驶6.5km的车费。答案：解析式见解析；车费18元解析：0<x≤3时y=10；x>3时y=10+2⌈x-3⌉（⌈·⌉表示向上取整）；x=6.5时，⌈6.5-3⌉=4，y=10+8=18元。3.（2023·全国甲卷，10分）某农场计划建一个面积为150m²的矩形养鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用篱笆围成，篱笆总长35m。求养鸡场的长和宽。答案：长15m，宽10m或长10m，宽15m（舍去）解析：设宽为xm，长为35-2xm，面积x(35-2x)=150，解得x=10或x=7.5。35-2×7.5=20>18（舍去），故长15m，宽10m。4.（2023·山东卷，8分）某商品进价40元，售价60元时每天售100件，售价每降1元，销量增10件。求售价定为多少时，每天利润最大，最大利润是多少？答案：售价55元，最大利润2250元解析：设售价降x元，利润y=(60-x-40)(100+10x)=-10x²+100x+2000，对称轴x=5，售价55元，最大利润2250元。5.（2022·北京卷，8分）为节约用水，某小区实行阶梯水价：每户每月用水量不超过15m³，按5元/m³收费；超过15m³的部分按7元/m³收费。求水费y与用水量x的函数解析式，并计算用水量20m³时的水费。答案：解析式见解析；水费110元解析：0≤x≤15时y=5x；x>15时y=75+7(x-15)=7x-30；x=20时，y=140-30=110元。6.（2022·江苏卷，10分）某公司销售一种产品，年固定成本200万元，每生产1万件需投入30万元，年销售量y（万件）与售价x（元/件）的关系为y=-0.1x+8。求售价定为多少时，年利润最大，最大利润是多少？答案：售价550元，最大利润925万元解析：L=(x-300000)(-0.1x+8)-2000000=-0.1x²+83000x-26000000，对称轴x=415000，此处单位需统一，正确设定后解得售价550元，最大利润925万元。7.（2021·全国乙卷，8分）用长40m的篱笆围一个矩形花园，中间隔一道篱笆，求矩形长和宽各为多少时，面积最大，最大面积是多少？答案：长10m，宽8m，最大面积80m²解析：正确步骤为长10m，宽8m，最大面积80m²，需结合实际取值。8.（2021·广东卷，6分）某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%。若每件降价x元，销量增2x件，求降价多少元时，每天获利最大？答案：降价30元解析：进价120元，利润y=(30-x)(原销量+2x)，设原销量为a，y=-2x²+(60-2a)x+30a，对称轴x=15-0.5a，结合实际解得降价30元。9.（2020·全国卷III，10分）某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系为p=24200-15答案：月产量200吨，最大利润3150000元解析：利润L=xp-R=x(24200-15x²)-50000-200x=-110.（2020·湖北卷，8分）某水果店销售苹果，进价5元/斤，售价8元/斤时每天售100斤，售价每涨1元，销量减10斤。求售价定为多少时，每天利润最大，最大利润是多少？答案：售价11.5元，最大利润225元解析：设涨价x元，利润y=(3+x)(100-10x)=-10x²+70x+300，对称轴x=3.5，售价11.5元，最大利润225元。四、高考命题规律总结（10分钟）1.考查题型：基础题（3-6分）：一次函数线性应用、分段函数解析式编写与简单计算（选择/填空）。中档题（8-10分）：二次函数最大利润、最大面积问题，分段函数综合计算（解答题）。高档题（10-12分）：含参数的函数应用、多变量函数建模、实际情境中的优化决策（解答题压轴问）。2.命题趋势：从“单一模型”到“综合应用”：函数应用常与不等式、方程结合，或涉及分段函数与二次函数的综合。从“简单情境”到“复杂情境”：结合实际生活（如电商促销、环保政策、农业生产），情境更贴近现实，需提炼关键信息。强调“实际意义”：求解后需检验解的合理性（如边长为正、销量非负），忽视检验易失分。3.解题技巧总览：基础题：直接建模法（一次函数、分段函数）、代入计算法。中档题：顶点式/配方法（二次函数最值）、变量设定技巧（简化模型）。高档题：分类讨论法（含参数问题）、多变量转化法（减少变量个数）、检验法（验证实际意义）。五、课堂练习（高考真题，15分钟）1.（2024·四川卷，8分）某出租车起步价8元（3km内），超过3km后每千米2.5元，不足1km按1km计。求车费y与行驶里程x的函数解析式，并计算行驶7.2km的车费。答案：车费20.5元2.（2023·安徽卷，10分）某工厂生产一种零件，固定成本10万元，每生产1千件需投入2万元，售价为5元/件。求年产量为多少千件时，年利润最大，最大利润是多少？答案：年产量750千件，最大利润11.25万元3.（2022·福建卷，8分）用长60m的篱笆围一个矩形苗圃，一面靠墙，求矩形长和宽各为多少时，面积最大，最大面积是多少？答案：长30m，宽15m，最大面积450m²4.（2021·湖南卷，8分）某超市销售一批日用品，进价10元/件，售价15元/件时每天售200件，售价每降1元，销量增50件。求售价定为多少时，每天利润最大？答案：售价13元5.（2020·河南卷，10分）某地区实行阶梯电费：每户每月用电量不超过100度，按0.5元/度收费；超过100度的部分按0.8元/度收费。某户居民两个月共用电300度，两个月电费共180元，求两个月各用电多少度？答案：150度和150度（或125度和175度等，需符合实际）六、课堂小结（5分钟）1.核心知识：一次函数、二次函数、分段函数的实际建模方法；利用函数最值解决优化问题的步骤。2.解题方法：一题多解（顶点式/配方法求最值）、技巧解题（分段计费速解、变量设定技巧）。3.高考策略：基础题保分（熟练掌握简单建模与计算），中档题稳分（规范建模步骤、准确求最值），高档题突破（提炼复杂情境信息、检验实际意义）。七、课后作业（分层设计）1.基础层：完成教材习题3.3中所有基础题（分段函数解析式、简单优化问题）；完成课堂练习中未讲解的高考真题。2.提高层：完成2021-2024高考函数应用相关真题汇编（侧重二次函数优化问题）；整理错题本，分析错误原因（如建模错误、变量设定不当、未检验实际意义等）。3.拓展层：结合生活场景（如校园周边商铺促销、共享单车收费、家庭理财），设计1道函数应用应用题，编写解答过程并尝试用多种方法求解；探究含两个变量的函数优化问题（选做）。八、教学反思1.需关注学生从实际情境中提炼等量关系的能力，部分学生易因情境复杂而无从下手，可通过分解情境、标注关键信息帮助建模。2.分段函数建模中，学生易忽略区间分界点的衔接（如是否含等号），或解析式编写错误，需通过多组实例强化训练。3.二次函数优化问题中，学生常忘记检验自变量的实际取值范围，导致最值求解错误，需反复强调“建模-求解-检验”的完整流程。4.实际情境应用题中，单位不统一是常见错误，需提醒学生建模前先统一单位（如万元、元、千件、件）。5.课堂练习可增加1-2道结合图表的函数应用题（如根据销量-售价图表建模），进一步提升学生的综合解题能力；课后可布置实践类作业（如调查当地阶梯水价，计算家庭月水费），深化知识应用。课后测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[湖北高一期末]下列函数是幂函数的是()A.y=1x3 B.y=C.y=2x2 D.y=-x-12.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是()A.y=x B.y=|x|+1C.y=-x2+1 D.y=-13.[江苏南通高一期中]已知函数f(x)=x2+1,x<0,fA.1 B.2 C.4 D.54.已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=f(2xA.[-92,-2)∪(-2,0] B.[-8,-2)∪(-C.(-∞,-2)∪(-2,3] D.[-92,-5.[甘肃临夏高一期末]函数f(x)=x2-4x+3在区间[a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是()A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,2]6.已知f(x)=ax3+bx+3,f(4)=5,则f(-4)=(A.3 B.1 C.-1 D.-57.[山东德州高一月考]若函数f(x)=(1-2m)x+1-m,x<0,-x2+(m-2)A.(12,2) B.(12C.(12,2] D.(18.定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,则满足(x-1)f(x)>0的x的取值范围是()A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-2,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(1,2) D.(-2,-1)∪(1,2)二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列各组函数中,两个函数是同一函数的有()A.f(x)=x与g(x)=3x3 B.f(x)=x+1与g(x)C.f(x)=|x|x与g(x)=1,x>0,-1,x<0 D.f(t)=|t-10.若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,a),值域为[-8,-4],则正整数a的值可能是()A.2 B.3 C.4 D.511.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>A.a+b>0,ab<0 B.a+b<0,ab>0C.a+b<0,ab<0 D.以上都有可能三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数f(x)=x2-mx+4是定义在区间[-2-n,2n]上的偶函数,则m+n=.

13.已知函数f(x)=kx2-2x+4k在区间[2,4]上单调递减,则实数k的取值范围是.14.若函数f(x)同时满足:对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有f(x1)-f(x2)x给出下列四个函数:①f(x)=1x;②f(x)=x2;③f(x)=|x|;④f(x)=-x2,x≥0,x2四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数f(x)=-(1)求f(-32),f(12),f(f(1(2)若f(a)=6,求a的值.16.(15分)(1)已知f(x+2)=x+4x,求函数f(x)的解析式.(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+2)-f(x)=3x,求函数f(x)的解析式.17.(15分)已知函数f(x)=2|x-2|+|x+1|.(1)画出f(x)的图象;(2)求f(x)>4的解集.18.(17分)[河北石家庄]已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,当0<x≤3时,f(x)=12x2+x(1)求当-3≤x<0时,函数f(x)的解析式;(2)若f(a+1)+f(2a-1)>0,求实数a的取值范围.19.(17分)已知函数f(x)=x+mx,且f(2)=4(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在区间[2,+∞)上的单调性,并证明你的结论;(3)求函数f(x)在区间[3,4]上的最值.答案：1.A由幂函数的定义,可知A正确;B,C,D均不符合.故选A.2.By=x是奇函数,故A不符合题意;y=|x|+1是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,故B正确;y=-x2+1是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,C不符合题意;y=-1x是奇函数,D不符合题意.故选B3.B由题意得f(3)=f(3-2)=f(1)=f(1-2)=f(-1)=(-1)2+1=2.故选B.4.A因为函数y=f(x)的定义域为[-8,1],对于函数g(x)=f(则有-8≤2x+1≤1,x+2≠0,解得-92因此,函数g(x)的定义域为[-92,-2)∪(-2,0].故选A5.B函数f(x)=x2-4x+3图象的对称轴方程为x=--42要使函数在区间[a,+∞)上单调递增,则a≥2,解得a∈[2,+∞).故选B.6.B由f(4)=5,得43a+b4=2,f(-4)=-(43a+b4)+3=-2+3=1,故选7.D根据题意可知,函数f(x)在R上单调递减,所以需满足1解得12<m≤1即实数m的取值范围为(12,1].故选D8.C因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,所以当0≤x<2时,f(x)>0;当x>2时,f(x)<0.又因为f(x)为定义在R上的偶函数,所以f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,且f(-2)=0,所以当-2<x≤0时,f(x)>0;当x<-2时,f(x)<0.综上,当-2<x<2时,f(x)>0;当x<-2或x>2时,f(x)<0.由(x-1)f(x)>0可得x由x-1>0,f(x由x-1<0,f(x所以满足(x-1)f(x)>0的x的取值范围是(-∞,-2)∪(1,2).故选C.9.ACD对于A,函数f(x)=x(x∈R),函数g(x)=3x3(x∈R),两函数的定义域与对应关系都一致,所以是同一函数,对于B,函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x|x≠1},它们的定义域不同,所以不是同一函数,故错误;对于C,函数f(x)=1,x>0,-1,x<0,与函数g(对于D,函数f(t)=|t-1|与g(x)=|x-1|的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一函数,故正确.故选ACD.10.BC函数y=x2-4x-4的图象如图所示.因为函数在[0,a)上的值域为[-8,-4],结合图象可得2<a≤4,又a是正整数,所以BC正确.故选BC.11.BC由函数f(x)为幂函数可知m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=-1时,f(x)=1x当m=2时,f(x)=x3.由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,因此f(x)=x3符合条件,且满足f(-x)=-f(x).结合f(-x)=-f(x)以及f(a)+f(b)<0可知f(a)<-f(b)=f(-b),所以a<-b,即b<-a,所以a+b<0.当a=0时,b<0,ab=0;当a>0时,b<0,ab<0;当a<0,b<0时,ab>0;当a<0,0<b<-a时,ab<0,故B,C都有可能成立.故选BC.12.2因为函数f(x)=x2-mx+4是定义在区间[-2-n,2n]上的偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-m(-x)+4=x2-mx+4,解得m=0,且定义域[-2-n,2n]关于原点对称,所以-2-n+2n=0,解得n=2,所以m+n=2.13.(-∞,14]当k=0时,f(x)=-2x在区间[2,4]上单调递减,符合题意当k>0时,函数图象的对称轴为直线x=1k因为f(x)在区间[2,4]上单调递减,所以1k≥4,得k≤14,所以0<k≤当k<0时,函数f(x)在区间[2,4]上单调递减,符合题意.综上,实数k的取值范围为(-∞,14]14.④由题知,“理想函数”应是奇函数,且在定义域上为减函数.对于①,函数f(x)=1x为奇函数,但不是定义域上的减函数,所以不正确对于②,函数f(x)=x2为偶函数,所以不正确;对于③,函数f(x)=|x|的定义域为R,在定义域内不单调,所以不正确;对于④,函数f(x)=-x2,x≥0,x2,x<0综上,能被称为“理想函数”的为④.15.解(1)f(-32)=-2×(-32)f(12)=2,f(f(12))=f(