4.1 指数与指数函数

4.1指数与指数函数教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标理解根式、分数指数幂、实数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化方法，熟练运用指数幂的运算性质进行化简与计算。掌握指数函数的定义、图象与性质，能准确画出指数函数的图象，理解底数a>1与0<a<1时函数的单调性、值域、过定点等核心特征。能利用指数函数的单调性比较幂的大小，求解与指数函数相关的方程、不等式，解决实际应用问题。精通常见题型解题技巧，结合高考真题规律提升应试能力，培养数形结合、逻辑推理和数学运算能力。二、教学重难点（一）教学重点指数幂的运算性质及应用（根式与分数指数幂互化、化简计算）。指数函数的图象与性质（单调性、值域、过定点）。利用指数函数单调性比较幂的大小、求解不等式。高考常考题型的解题思路与技巧掌握。（二）教学难点分数指数幂、无理数指数幂的概念理解；复杂指数式的化简与计算。指数函数单调性的灵活应用（含参数的指数不等式、复合函数单调性）。指数函数与其他函数（如二次函数）的综合应用；实际情境中指数函数模型的建立。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（10分钟）核心概念与公式：根式：若xn=a（n>1且n∈ℕ∗），则x为a的n指数幂互化：amn=nam（a>0，运算性质（a>0，b>0，r,s∈ℝ）：①ar⋅as指数函数：y=ax（a>0且a≠1），定义域ℝ，值域0+∞，过定点01；关键性质速记：指数幂运算“核心”：先统一形式（根式化分数指数幂），再运用运算性质，注意底数大于0的前提。指数函数“图象特征”：a>1时“右升左低”，0<a<1时“右降左高”，均过01点，图象恒在x单调性应用“技巧”：比较幂的大小先看底数是否相同，底数不同则找中间量（如1）过渡。（二）考点考频及常考题型1.指数幂的化简与计算（考频：10年9考，基础考点）①考频分析基础必考点，覆盖选择、填空，分值3-4分，难度低-中档。核心考查根式与分数指数幂互化、指数幂运算性质的应用，多为化简计算类题目。②常考题型题型：指数式化简计算（占比100%）示例：化简3a答案：a解题核心：先化为分数指数幂a23⋅2.指数函数的图象与性质（考频：10年10考，必考考点）①考频分析高频必考考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，难度中档。核心考查指数函数的单调性、过定点、值域，结合图象判断函数特征。②常考题型题型1：性质应用（占比60%）示例：函数y=2答案：−11；解题核心：令x+1=0得x=−1，y=20=1，故过定点−11；由题型2：图象识别（占比40%）示例：下列图象中，是函数y=1答案：过01解题核心：0<12<13.利用指数函数单调性比较大小、解不等式（考频：10年8考，高频考点）①考频分析高频考点，覆盖选择、填空，分值3-5分，难度中档。核心考查指数函数单调性的应用，常结合底数相同或不同的幂的大小比较、指数不等式求解。②常考题型题型：比较大小、解不等式（占比100%）示例：比较30.5与30.6的大小；解不等式答案：30.5<解题核心：y=3x单调递增，故30.5<30.6；不等式化为（三）经典例题解析（35分钟）例题1：指数幂的化简计算（基础题·一题多解）题目：计算a3⋅3解法1：根式化分数指数幂法（常规法）步骤：a.统一形式：a3=ab.运用运算性质：a3c.计算指数：32+2核心依据：指数幂运算性质，先统一形式再计算，避免根式运算繁琐。解法2：根式直接运算（拓展法）步骤：a.化为同次根式：a3=a32b.根式运算：6a核心依据：同次根式可直接进行乘除运算，适合根式形式直观的题目。技巧解题：“指数运算三步骤”技巧技巧：第一步将根式化为分数指数幂；第二步运用运算性质合并指数；第三步化简结果（可还原为根式）。适用场景：所有指数式化简计算，高考选择、填空题速解。例题2：指数函数单调性应用（中档题·技巧法）题目：比较0.8−0.1与0.8−0.2的大小；解不等式解法：“单调性判定”技巧法步骤：a.比较大小：设fx=0.8x，0<0.8<1，函数单调递减。因−0.1>−0.2，故b.解不等式：底数2>1，函数y=2x单调递增。原不等式等价于x2−2x≤x+4，即x2核心依据：利用指数函数单调性，将幂的大小比较、指数不等式转化为自变量的大小关系，简化计算。技巧解题：“指数不等式速解”技巧技巧：对于afx≤agx（a>0且a≠1），①a>1时，等价于适用场景：所有底数相同的指数不等式，高考高频应用。例题3：指数函数综合应用（中档题·常规法）题目：已知指数函数fx=ax（a>0且a≠1）的图象过点29，求f解法：“待定系数法+性质应用”常规法步骤：a.求解析式：图象过29，代入得a2=9，解得a=3（a=−3b.求函数值：f−1=3核心依据：待定系数法求函数解析式，利用指数与对数的关系简化计算，体现函数性质的综合应用。技巧解题：“过定点求解析式”技巧技巧：已知指数函数过点x0y0，直接代入y0=ax适用场景：指数函数解析式求解，高考基础题速解。（四）高考真题解析（20分钟）（2024·新课标I卷，5分）计算24A．2B．4C．22D．答案：A解析：2=212，（2024·浙江卷，5分）下列函数中，在ℝ上单调递增的是（）A．y=13xB．y=3答案：C解析：a>1时指数函数单调递增，只有y=2（2023·全国甲卷，5分）函数fxA．01B．−10C．0答案：B解析：令x+1=0得x=−1，f−1=2（2023·山东卷，5分）比较1.10.3与0.9A．1.10.3>0.90.3B．答案：A解析：幂函数y=x0.3在0+∞单调递增，1.1>0.9（2022·北京卷，6分）解不等式12答案：x≤解析：化为2−2x−3≥22，y=（2022·江苏卷，5分）已知a=20.5，b=120.6，c=log20.5A．a>b>cB．b>a>cC．a>c>bD．c>a>b答案：A解析：a=20.5>1，0<b=2−0.6（2021·全国乙卷，5分）计算3−8A．4+2B．4−2C．2+答案：A解析：364=4，4=2，2×（2021·广东卷，6分）已知指数函数fx=ax（a>0且a≠1）满足f2答案：fx=解析：a2−a=6，解得a=3，（2020·全国卷III，5分）函数y=2A．关于原点对称，在0+∞单调递增B．关于y轴对称，在0C．关于原点对称，在0+∞单调递减D．关于y轴对称，在0答案：B解析：y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，x>0时（2020·湖北卷，6分）若2x+2答案：23解析：4x四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（2-5分）：指数幂的化简计算、根式与分数指数幂互化、指数函数的图象与基本性质（过定点、单调性）（选择/填空）。中档题（5-8分）：利用指数函数单调性比较大小、解指数不等式、指数函数与其他函数的简单综合（填空/解答题）。高档题（8-10分）：含参数的指数函数问题、指数函数与二次函数的综合应用、实际情境中的指数增长/衰减模型（解答题压轴问）。命题趋势：从“单一知识点”到“综合应用”：指数运算常与对数运算、幂函数结合；指数函数常与二次函数、不等式综合。从“纯数学问题”到“情境化建模”：结合实际场景（如人口增长、病毒传播、复利计算）考查指数函数的应用。强调“细节准确性”：指数幂运算中底数大于0的前提、指数函数单调性与底数的关系、复合函数单调性的判断是失分重点。解题技巧总览：基础题：根式与指数幂互化法、运算性质法、图象特征法（指数函数过定点、单调性）。中档题：单调性转化法（比较大小、解不等式）、整体代入法（复杂指数式求值）。高档题：分类讨论法（含参数问题）、数形结合法（综合函数图象分析）、建模法（实际情境）。五、课堂练习（高考真题，15分钟）（2024·四川卷，5分）计算3a23A．aB．a2C．1a答案：A（2023·安徽卷，5分）函数fxA．0+∞B．−∞0C．0答案：A（2022·福建卷，6分）比较2.3−0.2与2.3答案：2.3−0.2>2.3−0.3（（2021·湖南卷，6分）解不等式3x答案：x≤−3或（2020·河南卷，5分）已知指数函数fx=ax的图象过点A．14B．−答案：A六、课堂小结（5分钟）核心知识：指数幂的概念与运算性质；指数函数的定义、图象与性质；利用指数函数单调性解决比较大小、解不等式问题。解题方法：一题多解（根式化指数幂/直接根式运算）、技巧解题（指数不等式速解、过定点求解析式）。高考策略：基础题保分（熟练掌握运算性质与基础性质），中档题稳分（规范应用单调性转化），高档题突破（灵活处理参数、建立数学模型）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题4.1中基础题（指数幂化简计算、指数函数性质应用）；完成课堂练习中未讲解的高考真题。提高层：完成2021-2024高考指数与指数函数相关真题汇编（侧重综合型题目）；整理错题本，分析错误原因（如运算性质混淆、单调性判断错误、参数讨论遗漏等）。拓展层：结合实际生活场景（如复利计算、疫情传播），设计1道指数函数应用题，编写解答过程；探究含参数的指数复合函数y=a八、教学反思需关注学生对分数指数幂、无理数指数幂概念的理解，部分学生易混淆根式与指数幂的互化规则，可通过对比练习强化记忆。指数幂运算中，学生常因忽略底数大于0的前提或运算性质应用错误导致失分，需通过典型错题讲解强调运算规范。指数函数单调性的应用是难点，学生易在复合函数单调性或含参数不等式中出错，可通过分步演示、分类讨论强化逻辑推理。实际情境应用题中，学生难以建立指数函数模型，需结合更多实例引导学生提炼变量关系，明确增长/衰减率与底数的关系。课堂练习可增加1-2道与对数结合的综合题，进一步提升学生的综合解题能力；课后可布置实践类作业（如计算银行复利），深化知识应用。课后测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知关于x的不等式13x-4>3-2A.[4,+∞) B.(-4,+∞)C.(-∞,-4) D.(-4,1]2.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)3.设f(x)=3x-x2,则在下列区间上,使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1] B.[1,2]C.[-2,-1] D.[-1,0]4.下列函数中,是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增的为()A.y=x-2 B.y=|x| C.y=2|x| D.y=x35.已知a=313,b=log213,c=logA.a>c>b B.c>a>bC.a>b>c D.c>b>a6.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则7年后它们的数量为()A.300只 B.400只 C.600只 D.700只7.在直角坐标系中,函数y=x3ex8.已知函数f(x)=|lnx|,0<x≤e,2-lnx,x>e,若正实数a,b,c互不相等,且fA.(e,e2) B.(1,e2) C.(1e,e) D.(1e,e二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.[江苏高一阶段练习]下列等式不成立的是()A.log2(8-4)=log28-log24B.log28loC.log38=3log32D.log2(8+4)=log28+log2410.已知函数f(x)=2a-xA.a=1B.a=-1C.函数y=f(x+1)是偶函数D.关于x的不等式f(x)>1211.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有()A.f(x)在区间(1,2)上单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4D.f(x)有且仅有两个零点三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.[广东云浮高一期末]若3a=6,b=log26,则1a+1b13.写出一个同时具有下列三个性质的函数:f(x)=.

①函数g(x)=f(x)-1为指数函数;②f(x)在R上单调递增;③f(1)>3.14.已知函数f(x)=x,x≤0,|2x-3|,x>0,g(x)=f(x)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(1)求值:6423+9(2)若xlog32=1,求2x+2-x的值;(3)已知a=lg2,b=lg3,用a,b表示log518.16.(15分)设函数f(x)=2x-2,x∈[1,+∞),x17.(15分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2).(1)求实数a的值;(2)若g(x)=f(2-x)+f(2+x),求g(x)的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间.18.(17分)[广东惠州高一期末]随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习,已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中第4年为预估人数,仅供参考):建立平台第x年1234会员个数y/千人14202943(1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台第x(x∈N*)年后平台会员人数y(单位:千人),并求出你选择模型的解析式:①y=tx+b(t>0);②y=d·logrx+s(d≠0,r>0且r≠1);③y=m·ax+n(m≠0,a>0且a≠1)(2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定会员人数不得超过k·94x(k>0)千人,依据(1)中你选择的函数模型求k19.(17分)已知函数f(x)=logax+1x-1(a>0且(1)求函数f(x)的定义域.(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域.(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间(b,32a)内的值域为(1,2)?若存在,求实数a,b的值;若不存在,请说明理由答案：1.B依题意可知,原不等式可转化为3-由于指数函数y=3x为增函数,所以-x+4>-2x,解得x>-4.故选B.2.C由x2-x>0,得x>1或x<0,故选C.3.D显然,函数f(x)的图象是连续的.∵f(-2)=3-2-(-2)2=-359<0,f(-1)=3-1-(-1)2=-23<0,f(0)=30-02=1>0,f(1)=3-1=2>0,f(2)=32-22=5>0,∴f(-1)·f(0)∴使函数f(x)有零点的区间是[-1,0].4.Ay=x3为奇函数,y=|x|,y=2|x|为偶函数,但在(0,+∞)单调递增,所以在(-∞,0)单调递减,而y=x-2为偶函数且在(-∞,0)单调递增.故选A.5.A因为函数y=3x为单调递增函数,所以a=313>30=1,即a>因为y=log2x为单调递增函数,所以b=log213<log21=0,即b<0因为y=log13x单调递减,所以log131<log131e<log1316.A将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)中,得100=alog2(1+1),解得a=100.所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.7.A令f(x)=x3ex+e-x,∵f∴f(x)为奇函数.当x>0时,f(x)>0,故选A.8.A由题意,函数f(x)=|画出函数的图象,如图所示.设a<b<c,则|lna|=|lnb|,即lna+lnb=0,可得ab=1,当x>e时,y=2-lnx单调递减,且其图象与x轴交于点(e2,0),所以abc=c,且e<c<e2,所以abc的取值范围为(e,e2).故选A.9.ABD解析对于A,因为log2(8-4)=log24=log222=2,log28-log24=log223-log222=3-2=1,所以log2(8-4)≠log28-log24,所以A错误;对于B,因为log28log24=log223log222=3对于C,因为log38=log323=3log32,所以C正确;对于D,因为log2(8+4)=log212=log23+log24=log23+2,log28+log24=log223+log222=3+2=5,所以log2(8+4)≠log28+log24,所以D错误.故选ABD.10.ACD由函数图象可知直线x=1为函数f(x)的图象的对称轴,即函数满足f(2-x)=f(x),则当x>1时,2-x<1,故22-x-a=2a-x,∴2-x-a=a-x,则a=1.同理当x<1时,2-x>1,故2a-2+x=2x-a,∴a-2+x=x-a,则a=1.综上,a=1,故A正确,B错误;将f(x)=2a-x,x≥1,2x-a,x<1的图象向左平移1个单位长度,即得函数y=f(x+1),x∈R的图象,易知y=f(x+1)的图象关于当x≥1时,f(x)=21-x,令21-x>12,解得x<2,故1≤x<当x<1时,f(x)=2x-1,令2x-1>12,解得x>0,故0<x<1,综上,0<x<2,即不等式f(x)>12的解集为(0,2),故D正确.故选11.ABD根据图象变换画出函数f(x)的图象如图,由图象知f(x)在(1,2)上单调递增,故A正确;函数图象关于直线x=2对称,故B正确;f(x1)=f(x2)=k,直线y=k与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如果最左边两个交点横坐标分别是x1,x2,则x1+x2=4不成立,故C错误;f(x)的图象与x轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D正确.故选ABD.12.1因为3a=6,所以a=log36,所以1a+1b=1log36+1log213.3x+1(答案不唯一)14.[0,34)函数g(x)=f(x)-12x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与直线y=12x-a有画出函数f(x)和y=12x-a的图象,如下图由图知,要使函数f(x)的图象和直线y=12x-a有3个交点,则-34<-a≤0,即0≤a<15.解(1)6423+9-12+(27125)

-13=(43)23+(32(2)∵xlog32=1,∴x=log23,∴2x+2-x=2log23+(3)∵a=lg2,b=lg3,∴log518=lg18lg516.解求函数g(x)=f(x)-14的零点,即求方程f(x)-14=0当x≥1时,由2x-2-14=0得x=9当x<1时,由x2-2x-14=0得x=2+52(舍去)或x=2-52.所以函数g(x)=f(x17.解(1)由条件知f(9)=loga9=2,即a2=9,又a>0且a≠1,∴a=