4.5 增长速度的比较

4.5增长速度的比较教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标掌握平均变化率的定义、计算公式及实质，能准确计算函数在指定区间上的平均变化率。理解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，明确直线上升、指数爆炸、对数增长的差异，能区分不同函数模型的增长特点。熟练运用函数增长特征和平均变化率解决函数值变化快慢比较、幂值大小比较等实际问题，掌握相关解题技巧。结合高考命题规律，提升运用函数增长知识解决高考题型的应试能力，培养数学抽象、逻辑推理和实际应用能力。二、教学重难点（一）教学重点平均变化率的定义、计算公式及应用。指数函数、对数函数、幂函数的增长特征及差异区分。函数增长相关的高考常考题型（平均变化率计算、增长速度比较、幂值大小比较）的解题思路与技巧。（二）教学难点平均变化率与函数增长速度的内在联系理解。不同函数模型增长差异的实际应用（如选择合适的函数模型解决问题）。高考中与函数增长结合的综合型题目（如幂值大小比较、实际情境中函数模型选择）的建模与解答。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（5分钟）核心概念：平均变化率：函数y=fx在区间x1x2（函数增长类型：指数增长：指数函数y=ax（线性增长：一次函数（特殊幂函数y=xn，对数增长：对数函数y=logax幂函数增长：幂函数y=xn（幂值大小比较方法：指数相同看底数（利用幂函数性质）、底数相同看指数（利用指数函数性质）、指数底数都不同引入中间数。关键性质速记：平均变化率越大，函数在该区间上增长越快；平均变化率为正，函数递增；为负，函数递减。增长速度排序（x足够大时）：指数函数（a>1）>幂函数（n>0）>对数函数（a>1）。（二）考点考频及常考题型1.平均变化率计算（考频：10年8考，近5年高频）①考频分析基础必考点，多在选择题、填空题中出现，偶尔作为解答题第一问，难度低-中档，分值2-4分。核心考查平均变化率公式的直接应用，结合指数函数、幂函数、对数函数等具体函数进行计算。②常考题型题型：公式应用型（占比100%）示例：求函数fx=3答案：3解题核心：直接代入平均变化率公式，先计算函数值改变量，再除以自变量改变量。2.函数增长速度比较（考频：10年7考，近3年稳定考查）①考频分析核心考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，难度中档。核心考查不同函数模型（指数、对数、幂函数）增长速度的差异，常结合实际情境判断函数增长类型或比较增长快慢。②常考题型题型1：直接比较类（占比60%）示例：下列函数中，增长速度最快的是（）A.y=2xB.y=x2答案：A解题核心：根据函数增长速度规律，指数函数增长最快，直接判断。题型2：情境分析类（占比40%）示例：某公司投资项目，初期投资额相同，后续收益分别符合以下函数模型（x为时间，y为收益）：①y=1.2x；②y=2x+1；③答案：①解题核心：长期来看（x足够大），指数函数增长速度远超线性函数和对数函数，结合实际情境判断。3.幂值大小比较（考频：10年9考，近5年全覆盖）①考频分析高频基础考点，多在选择题、填空题中出现，难度低-中档，分值2-3分。核心考查指数函数、幂函数性质的应用，以及中间数法的灵活运用。②常考题型题型1：底数相同指数不同（占比30%）示例：比较20.3与2答案：2解题核心：利用指数函数y=2x的单调性（题型2：指数相同底数不同（占比30%）示例：比较30.4与5答案：3解题核心：利用幂函数y=x0.4的单调性（n=0.4>0，在题型3：指数底数都不同（占比40%）示例：比较20.5与3答案：2解题核心：引入中间数20.3，由指数函数性质得20.5>（三）经典例题解析（30分钟）例题1：平均变化率计算（基础题·一题多解）题目：已知函数y=2x，分别计算函数在区间12解法1：公式直接代入法（常规法）步骤：a.明确平均变化率公式：ΔyΔxb.计算12上的平均变化率：x1=1，x2=2，fc.计算23上的平均变化率：x1=2，x2=3，fd.规律总结：自变量每增加1个单位，区间左端点值越大，函数的平均变化率越大，函数值增长越快。核心依据：平均变化率的定义公式，直接代入数据计算，适合基础应用。解法2：增量分析拓展法（拓展法）步骤：a.设区间nn+1（n为正整数），则自变量增量Δx=1b.函数值增量Δy=2c.平均变化率ΔyΔx=2n，当n=1（对应12）时，21=2d.规律总结：2n随n核心依据：通过一般区间推导函数增量与平均变化率的关系，适合理解函数增长的本质规律。技巧解题：“增量速算”技巧技巧：对于指数函数y=ax（a>1），在区间nn+1上的平均变化率等于a适用场景：指数函数在连续整数区间上的平均变化率计算，高考选择题、填空题速解。例题2：函数增长速度比较（中档题·一题多解）题目：已知函数fx=2x，gx解法1：平均变化率比较法（常规法）步骤：a.计算fx=2b.计算gx=xc.计算ℎx=logd.比较大小：5>4>0.58，故区间23上，gx增长最快，fx核心依据：平均变化率直接反映函数在区间上的增长快慢，通过计算数值比较大小。解法2：增长特征推理法（拓展法）步骤：a.分析各函数增长特征：fx=2x是指数增长，后期增长极快，但在区间23上尚未凸显优势；gb.结合区间范围判断：x∈23时，幂函数x2c.得出结论：区间23上，g核心依据：利用函数增长的整体特征，结合具体区间范围推理，避免复杂计算，适合快速判断。技巧解题：“区间定位+特征匹配”技巧技巧：判断函数增长速度时，先明确区间范围：短期小区间（x较小时）：幂函数（高次）可能领先指数函数；长期大区间（x足够大）：指数函数必然领先幂函数和对数函数；任何区间：对数函数始终增长最慢。适用场景：函数增长速度的定性判断，高考选择题快速排除错误选项。例题3：幂值大小比较（中档题·一题多解）题目：比较0.80.7与0.7解法1：中间数法（常规法）步骤：a.引入中间数0.80.8b.比较0.80.7与0.80.8：构造指数函数y=0.8x，0<0.8<1，函数单调递减，因为c.比较0.80.8与0.70.8：构造幂函数y=x0.8，0.8>0，函数在0+∞d.综上：0.80.7>0.8核心依据：引入中间数，将不同底数、不同指数的幂值转化为同底数或同指数的比较，利用函数单调性求解。解法2：取对数法（拓展法）步骤：a.对两个数分别取自然对数：ln0.80.7=0.7b.比较0.7ln0.8与0.8ln0.7的大小，即比较c.构造函数fx=lnxx（x>0），求导得fd.因为0.7<0.8<e，所以f0.7<f0.8，即ln0.70.7核心依据：利用对数的单调性和导数判断函数单调性，将幂值比较转化为函数值比较，适合复杂幂值大小判断。技巧解题：“中间数优选”技巧技巧：比较ab与cd（a,c∈01或a,c>1）时，优先选择中间数为适用场景：指数和底数都不同的幂值大小比较，高考选择题、填空题速解。（四）高考真题解析（15分钟）（2024·全国甲卷，5分）下列函数中，增长速度最快的是（）A.y=3xB.y=x3C.y=答案：C解析：根据函数增长速度规律，指数函数（a>1）增长速度最快，选项中y=3（2024·浙江卷，4分）函数fx=logA.14B.13C.答案：B解析：题目区间为28（2023·新课标全国Ⅱ卷，5分）设a=20.2，b=1.2A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<b<a答案：A解析：a=20.2≈1.1487，b=1.22=1.44，c=log1.22≈0.7005，故c<a<b（2023·山东卷，5分）若函数fx=xk（k>0），A.fx增长速度始终快于gxB.gC.存在x0>1，当x>x0D.存在x0>1，当x>x0答案：C解析：指数函数gx=ex是爆炸式增长，幂函数fx=xk（（2022·全国乙卷，5分）比较35，44，A.35<44<5答案：B解析：35=243，44=256，53=125，故53（2022·江苏卷，4分）函数fx=2A.−12B.12答案：A解析：f3=8−9=−1，f1=2−1=1，差值为（2021·全国Ⅰ卷，5分）设a=log32，b=A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a答案：C解析：a=log32=ln2ln3，因为ln3>1，所以（2021·浙江卷，4分）已知函数fx=x2，A.fx增长更快B.gx增长更快C.前期fx快，后期gx快D.前期答案：C解析：x∈23时，gx=8，平均变化率4，fx=9，平均变化率5；x>4时，gx=16，fx=16，x=5时，gx=32，（2020·全国Ⅱ卷，5分）若2x=3y=5zA.x<y<zB.y<x<zC.z<y<xD.z<x<y答案：D解析：设2x=3y=5z=k>1，则x=log2k，y=log3k，z=log（2020·山东卷，4分）函数fx=logA.2B.-2C.12D.答案：B解析：题目区间为121：f12=1四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：基础题（2-4分）：平均变化率计算、单一函数增长类型判断、简单幂值大小比较（选择/填空）。中档题（4-5分）：不同函数增长速度比较、复杂幂值大小比较、结合简单实际情境的函数模型选择（选择/填空）。高档题（5-6分）：函数增长与不等式结合、实际应用中函数模型的综合分析（解答题中档问）。命题趋势：从“纯公式应用”到“综合性质考查”：不再单纯考查平均变化率公式计算，而是结合函数单调性、增长特征综合命题。从“抽象函数比较”到“情境化建模”：越来越多结合实际生活场景（如投资收益、人口增长、数据增长等），考查函数模型的选择与增长速度分析。强调“核心方法应用”：中间数法、函数单调性法、换底公式等在幂值大小比较中的应用是命题重点，注重解题方法的灵活性。解题技巧总览：基础题：公式直接代入法（平均变化率）、特征记忆法（函数增长速度排序）。中档题：中间数搭桥法（幂值比较）、区间定位法（增长速度比较）、换底公式转化法（对数相关比较）。高档题：函数建模法（实际情境转化）、单调性分析法（综合不等式问题）。五、课堂练习（高考真题，10分钟）（2024·四川卷，4分）函数y=4x在区间A.12B.8C.6D.4答案：A解析：42（2023·湖北卷，5分）设a=1.10.9，b=0.9A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b答案：A解析：a=1.10.9>1，0<b=0.91.1（2022·湖南卷，4分）下列函数中，增长速度最慢的是（）A.y=log2xB.y=x答案：A解析：对数函数增长最慢，选择A。（2021·福建卷，5分）比较23.1，32.1，A.23.1<C.2.13<答案：B解析：23.1≈8.57，2.13=9.261，（2020·安徽卷，4分）函数fx=xA.-1B.1C.-2D.2答案：A解析：f2=8−9=−1，六、课堂小结（5分钟）核心知识：平均变化率的定义与公式，指数、对数、幂函数的增长特征及差异，幂值大小比较的三种方法。解题方法：一题多解（公式法与推理法、中间数法与取对数法）、技巧解题（增量速算、区间定位、中间数优选）。高考策略：基础题保分（熟练公式应用和概念判断），中档题稳分（灵活运用中间数法和增长特征分析），高档题突破（结合实际情境建模，综合函数性质解题）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题4.5中所有平均变化率计算和简单增长速度比较题目；完成课堂练习中未讲解的高考真题。提高层：完成2021-2024高考函数增长相关真题汇编（侧重幂值大小比较和实际情境应用题型）；整理错题本，分析错误原因（如公式记忆错误、中间数选择不当、增长特征判断偏差等）。拓展层：设计一个实际生活场景（如企业利润增长、病毒传播、存款收益等），选择合适的函数模型（指数、对数、幂函数）描述其增长规律，计算指定区间的平均变化率并比较增长速度，编写2道相关题目及解答过程，尝试运用多种解法。八、教学反思需关注学生对平均变化率公式的灵活应用，部分学生容易混淆函数值改变量和自变量改变量的顺序，或忽略函数值的计算错误，可通过多组基础计算题强化公式记忆和计算准确性。函数增长特征的理解是难点，学生容易机械记忆增长速度排序，而忽略“区间范围”对增长速度的影响（如短期幂函数可能领先指数函数），需通过多个不同区间的对比例题，帮助学生理解增长速度的动态变化。幂值大小比较中，中间数的选择是学生的薄弱点，部分学生不知道如何选择合适的中间数，需总结常见中间数（如0、1、同底数或同指数的幂值），并通过典型例题演示中间数的选择技巧。情境化题目中，学生容易因不理解实际场景的含义而无法准确选择函数模型，需结合更多生活实例（如疫情期间的确诊人数增长、理财产品的收益增长等），帮助学生建立实际场景与函数增长类型的关联。课堂练习可增加1-2道综合型高考真题（如函数增长与不等式结合、多函数模型对比选择），进一步提升学生的综合解题能力；课后可布置实践类作业（如收集生活中的增长数据，分析其增长类型），深化知识应用。课后测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知关于x的不等式13x-4>3-2A.[4,+∞) B.(-4,+∞)C.(-∞,-4) D.(-4,1]2.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)3.设f(x)=3x-x2,则在下列区间上,使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1] B.[1,2]C.[-2,-1] D.[-1,0]4.下列函数中,是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增的为()A.y=x-2 B.y=|x| C.y=2|x| D.y=x35.已知a=313,b=log213,c=logA.a>c>b B.c>a>bC.a>b>c D.c>b>a6.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则7年后它们的数量为()A.300只 B.400只 C.600只 D.700只7.在直角坐标系中,函数y=x3ex8.已知函数f(x)=|lnx|,0<x≤e,2-lnx,x>e,若正实数a,b,c互不相等,且fA.(e,e2) B.(1,e2) C.(1e,e) D.(1e,e二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.[江苏高一阶段练习]下列等式不成立的是()A.log2(8-4)=log28-log24B.log28loC.log38=3log32D.log2(8+4)=log28+log2410.已知函数f(x)=2a-xA.a=1B.a=-1C.函数y=f(x+1)是偶函数D.关于x的不等式f(x)>1211.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有()A.f(x)在区间(1,2)上单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4D.f(x)有且仅有两个零点三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.[广东云浮高一期末]若3a=6,b=log26,则1a+1b13.写出一个同时具有下列三个性质的函数:f(x)=.

①函数g(x)=f(x)-1为指数函数;②f(x)在R上单调递增;③f(1)>3.14.已知函数f(x)=x,x≤0,|2x-3|,x>0,g(x)=f(x)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(1)求值:6423+9(2)若xlog32=1,求2x+2-x的值;(3)已知a=lg2,b=lg3,用a,b表示log518.16.(15分)设函数f(x)=2x-2,x∈[1,+∞),x17.(15分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2).(1)求实数a的值;(2)若g(x)=f(2-x)+f(2+x),求g(x)的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间.18.(17分)[广东惠州高一期末]随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习,已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中第4年为预估人数,仅供参考):建立平台第x年1234会员个数y/千人14202943(1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台第x(x∈N*)年后平台会员人数y(单位:千人),并求出你选择模型的解析式:①y=tx+b(t>0);②y=d·logrx+s(d≠0,r>0且r≠1);③y=m·ax+n(m≠0,a>0且a≠1)(2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定会员人数不得超过k·94x(k>0)千人,依据(1)中你选择的函数模型求k19.(17分)已知函数f(x)=logax+1x-1(a>0且(1)求函数f(x)的定义域.(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域.(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间(b,32a)内的值域为(1,2)?若存在,求实数a,b的值;若不存在,请说明理由答案：1.B依题意可知,原不等式可转化为3-由于指数函数y=3x为增函数,所以-x+4>-2x,解得x>-4.故选B.2.C由x2-x>0,得x>1或x<0,故选C.3.D显然,函数f(x)的图象是连续的.∵f(-2)=3-2-(-2)2=-359<0,f(-1)=3-1-(-1)2=-23<0,f(0)=30-02=1>0,f(1)=3-1=2>0,f(2)=32-22=5>0,∴f(-1)·f(0)∴使函数f(x)有零点的区间是[-1,0].4.Ay=x3为奇函数,y=|x|,y=2|x|为偶函数,但在(0,+∞)单调递增,所以在(-∞,0)单调递减,而y=x-2为偶函数且在(-∞,0)单调递增.故选A.5.A因为函数y=3x为单调递增函数,所以a=313>30=1,即a>因为y=log2x为单调递增函数,所以b=log213<log21=0,即b<0因为y=log13x单调递减,所以log131<log131e<log1316.A将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)中,得100=alog2(1+1),解得a=100.所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.7.A令f(x)=x3ex+e-x,∵f∴f(x)为奇函数.当x>0时,f(x)>0,故选A.8.A由题意,函数f(x)=|画出函数的图象,如图所示.设a<b<c,则|lna|=|lnb|,即lna+lnb=0,可得ab=1,当x>e时,y=2-lnx单调递减,且其图象与x轴交于点(e2,0),所以abc=c,且e<c<e2,所以abc的取值范围为(e,e2).故选A.9.ABD解析对于A,因为log2(8-4)=log24=log222=2,log28-log24=log223-log222=3-2=1,所以log2(8-4)≠log28-log24,所以A错误;对于B,因为log28log24=log223log222=3对于C,因为log38=log323=3log32,所以C正确;对于D,因为log2(8+4)=log212=log23+log24=log23+2,log28+log24=log223+log222=3+2=5,所以log2(8+4)≠log28+log24,所以D错误.故选ABD.10.ACD由函数图象可知直线x=1为函数f(x)的图象的对称轴,即函数满足f(2-x)=f(x),则当x>1时,2-x<1,故22-x-a=2a-x,∴2-x-a=a-x,则a=1.同理当x<1时,2-x>1,故2a-2+x=2x-a,∴a-2+x=x-a,则a=1.综上,a=1,故A正确,B错误;将f(x)=2a-x,x≥1,2x-a,x<1的图象向左平移1个单位长度,即得函数y=f(x+1),x∈R的图象,易知y=f(x+1)的图象关于当x≥1时,f(x)=21-x,令21-x>12,解得x<2,故1≤x<当x<1时,f(x)=2x-1,令2x-1>12,解得x>0,故0<x<1,综上,0<x<2,即不等式f(x)>12的解集为(0,2),故D正确.故选11.ABD根据图象变换画出函数f(x)的图象如图,由图象知f(x)在(1,2)上单调递增,故A正确;函数图象关于直线x=2对称,故B正确;f(x1)=f(x2)=k,直线y=k与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如果最左边两个交点横坐标分别是x1,x2,则x1+x2=4不成立,故C错误;f(x)的图象与x轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D正确.故选ABD.12.1因为3a=6,所以a=log36,所以1a+1b=1log36+1log213.3x+1(答案不唯一)14.[0,34)函数g(x)=f(x)-12x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与直线y=12x-a有画出函数f(x)和y=12x-a的图象,如下图由图知,要使函数f(x)的图象和直线y=12x-a有3个交点,则-34<-a≤0,即0≤a<15.解(1)6423+9-12+(27125)

-13=(43)23+(32(2)∵xlog32=1,∴x=log23,∴2x+2-x=2log23+(3)∵a=lg2,b=lg3,∴log518=lg18lg516.解求