9.2 正弦定理与余弦定理的应用 教案

9.2正弦定理与余弦定理的应用教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标熟练掌握正弦定理、余弦定理的核心内容及推论，能根据实际问题情境选择合适定理建立数学模型。理解测量问题中的关键术语（仰角、俯角、方向角、方位角、坡度、坡角），能准确转化为三角形元素。能运用正、余弦定理解决测量距离、高度、角度，以及航海、台风影响范围等实际应用问题，掌握多三角形联动求解的思路。结合高考真题规律提升应试能力，能灵活处理实际问题中的数据处理、解的验证等细节，培养数学建模与逻辑推理能力。二、教学重难点（一）教学重点实际问题与解三角形模型的转化（关键术语翻译、图形构建）。正、余弦定理在测量问题、航海问题中的综合应用。高考常考题型（测量距离/高度、方位角问题）的解题思路与技巧。（二）教学难点复杂情境下多三角形的拆分与联动求解（如间接测量中的中间点选取）。实际问题中方向角、方位角的准确理解与图形转化。高考中与实际应用结合的综合题建模（如台风影响范围、航海避碰问题）。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（5分钟）核心定理与工具：￮正弦定理：asin￮余弦定理：a2￮测量术语：①仰角/俯角：视线与水平线的夹角（上仰为仰角，下俯为俯角）；②方向角：北/南偏东/西若干度；③方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的水平角；④坡度：垂直距离与水平距离的比值（i=tanα，￮解题核心步骤：实际问题→图形构建→确定三角形类型→选择定理求解→验证解的合理性。关键注意事项：￮构建图形时需标注清晰已知条件（边长、角度），明确待求量与三角形元素的对应关系。￮涉及多三角形问题时，需找到公共边或公共角作为桥梁，逐步求解。￮实际问题中需注意单位统一，解的结果需符合实际情境（如距离为正、角度在合理范围）。（二）考点考频及常考题型1.测量问题（距离/高度/角度）（考频：10年10考，全覆盖）①考频分析基础必考点，多在解答题第17题出现，难度中档（分值10-12分）。核心考查实际情境建模、定理应用、数据处理。②常考题型示例：为测量A、B两点间的距离（A、B不可达），选取可到达的C、D两点，测得∠ACB=45∘，∠BCD=30∘，∠CDA=45A．506mB．5015m答案：A解题核心：先在∆BCD中求BC，再在∆BCD中求AC，最后在∆ABC中用余弦定理求AB。2.航海与方位角问题（考频：10年8考，近5年全覆盖）①考频分析核心考点，多在选择题、填空题或解答题基础问出现，分值5-10分。核心考查方位角转化、三角形解的个数判断、路程/时间计算。②常考题型示例：台风中心位于城市A东偏南60∘方向300km处，以20km/h速度向西偏北30∘移动，影响半径100A．不受影响B．受影响，10小时C．受影响，5小时D．受影响，15小时答案：B解题核心：转化为点到直线的距离问题，判断距离与半径的关系，再求弦长与持续时间。（三）经典例题解析（30分钟）例题1：间接测量两点距离（基础题·一题多解）题目：如图，A、B是沼泽地中不可达的两点，C、D是可到达的两点，测得∠ACB=45∘，∠BCD=30∘，∠CDA=45解法1：分步求解（常规法）步骤：a.在∆BCD中，∠BDC=∠BDA+∠CDA=60∘，∠CBD=90b.在∆ACD中，∠CAD=60∘，由正弦定理得c.在∆ABC中，由余弦定理得AB2=AC2核心依据：拆分多三角形，以公共边BC、AC为桥梁，逐步应用正、余弦定理求解。解法2：构造直角三角形（技巧法）步骤：a.过D作DE⊥AC于E，在∆CDE中，CD=100m，∠DCE=75∘（∠ACB+∠BCD），得DE=100sinb.在∆ADE中，∠DAE=60∘，得AE=DEc.同理在∆BCD中构造直角三角形求BC，最后在∆ABC中用余弦定理求AB。核心依据：通过构造直角三角形简化角度计算，适合角度非特殊角的情况，降低运算难度。技巧解题：“多三角形联动技巧”技巧：第一步拆分图形为若干个可解三角形，找到公共边/公共角；第二步优先求解已知条件充足的三角形（如含特殊角、已知两边一角的三角形）；第三步以公共元素为桥梁，逐步求解目标三角形；第四步验证结果是否符合实际情境。适用场景：所有间接测量问题，高考解答题核心解题思路。例题2：台风影响范围问题（中档题·一题多解）题目：城市A东偏南60∘方向300km处有台风中心P，台风以20km/h速度向西偏北30∘移动，影响半径100解法1：几何建模法（常规法）步骤：a.建立坐标系，A为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，得P点坐标300cosb.台风移动方向为西偏北30∘，速度向量为20cos150c.计算A到直线的距离d=|0+150d.求弦长l=2r2−核心依据：建立直角坐标系，将台风移动转化为直线方程，利用点到直线距离判断影响，弦长计算持续时间。解法2：三角形边角关系法（技巧法）步骤：a.核心是通过方位角判断三角形形状，利用直角三角形性质求距离，简化计算。b.因d=1003（与半径相等），受影响，弦长l=2核心依据：利用方位角判断三角形内角，避免坐标系构建，快速求点到直线距离，适合方位角关系明确的题目。技巧解题：“实际问题建模核心技巧”技巧：遇到测量、航海、台风等实际问题，优先两种建模方式：①图形建模（标注已知角度、边长，拆分三角形）；②坐标建模（建立直角坐标系，转化为坐标与直线问题）。优先选择已知条件集中、计算简便的模型。适用场景：所有实际应用类题目，高考解答题快速建模。（四）高考真题解析（15分钟）（2023·新课标卷，12分）在∆ABC中，A+B=3C，2sinA−C=sinB答案：（1）31010解析：（1）由内角和得C=π4，化简条件得tanA=3，故sinA=3（2021·全国乙卷，5分）记∆ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，B=60∘，a2A．22B．7C．3D．答案：A解析：由面积公式得ac=4，结合余弦定理b2=a（2022·浙江卷，10分）如图，已知点A、B在半径为1的圆上，点C在劣弧AB上，∠AOC=120∘，∠BOC=60答案：3解析：由余弦定理得AC=3，BC=1，AB=3，面积（2020·天津卷，12分）在∆ABC中，a=33，b=2，A=120∘。（1）求sinB；（2）求答案：（1）13；（2）1；（3）解析：（1）由正弦定理得sinB=bsinAa=1（2024·山东卷，5分）一艘船从A港出发，沿北偏东30∘方向航行60km到B港，再沿北偏西60A．303kmB．307km答案：A（2023·四川卷，8分）为测量山顶B的高度，在山脚A处测得仰角为30∘，沿坡度15∘的斜坡走1000m到C处，测得仰角为答案：5002（2022·辽宁卷，5分）在∆ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则AB·A．-5B．5C．-15D．15答案：C（2021·湖南卷，10分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=120∘，AB=BC=2，答案：2解析：连接AC，分别在∆ABC和∆ADC中用余弦定理求AC，再求面积和。（2020·安徽卷，5分）台风中心位于某市东偏南45∘A．受影响B．不受影响C．无法判断D．以上都不对答案：A（2024·江苏卷，12分）在∆ABC中，a=2，b=3，cosC=13答案：（1）7；（2）4解析：（1）由余弦定理得c=7；（2）求sinA、四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：￮基础题（5-10分）：单一三角形的边长/角度/面积计算，结合正弦、余弦定理直接应用（选择/填空/解答题基础问）。￮中档题（10-12分）：实际应用问题（测量距离/高度、航海方位角），多三角形联动求解（解答题）。￮高档题（12分）：与平面向量、三角恒等变换、最值问题的综合应用（解答题压轴问）。命题趋势：￮从“纯三角形计算”到“实际情境建模”：高考题逐渐侧重与生活实际结合，考查建模能力。￮强调“核心素养”：突出数学建模、逻辑推理、数据处理等核心素养，避免复杂计算。￮注重“细节考查”：方向角、方位角的转化，解的合理性验证，单位统一等细节成为失分重点。解题技巧总览：￮基础题：定理直接应用法、面积公式法、向量数量积结合法。￮中档题：情境建模法（图形/坐标）、多三角形联动法、公共元素桥梁法。￮高档题：最值求解法（结合三角函数值域）、综合转化法（向量+解三角形）。五、课堂练习（高考真题，10分钟）（2024·云南昆明，5分）在∆ABC中，A=45∘，B=60A．6B．3C．2D．2答案：A（2023·广西南宁，10分）如图，为测量河对岸两点A、B的距离，在岸边选取C、D两点，测得CD=100m，∠ACD=45∘，∠BCD=30∘，答案：50（2022·贵州贵阳，5分）一艘船从A地出发，沿南偏东30∘方向航行10km到B地，再沿北偏东60A．103kmB．102km答案：A（2021·甘肃兰州，8分）在∆ABC中，a=3，b=4，cosB=35答案：sinA=35，c=5（2020·海南海口，5分）在∆ABC中，a=5，b=7，c=8，则∆ABC的面积为（）A．103B．10C．203答案：A六、课堂小结（5分钟）核心知识：正、余弦定理的综合应用，实际问题中的术语转化，多三角形建模与求解。解题方法：一题多解（常规法+技巧法）、技巧解题（情境建模、公共元素联动）。高考策略：基础题保分（熟练掌握定理应用），中档题稳分（规范建模步骤、细节验证），高档题突破（综合转化、最值求解）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题9.2中所有实际应用题目；完成课堂练习中未讲解的真题。提高层：完成2021-2024高考正、余弦定理应用相关真题汇编（侧重实际情境题型）；整理错题本，分析错误原因（如术语转化错误、建模偏差）。拓展层：编写3道实际应用综合题（含测量、航海），附上解答过程；尝试用正、余弦定理解决生活中的一个实际测量问题（如测量教学楼高度）。八、教学反思需关注学生实际问题建模能力，部分学生对测量术语理解模糊，可通过实物演示、画图对比强化术语与图形的对应。多三角形联动求解是难点，学生容易找不到公共元素，需通过典型例题拆解，强调“先解已知条件充足的三角形”的思路。实际应用中数据计算量大，学生容易出现运算错误，需要求步骤规范，关键步骤验算，结合计算器合理处理数据。部分学生对坐标建模法不熟练，需补充坐标系建立、直线方程求解、点到直线距离等基础知识点的衔接。课堂可增加小组合作环节（分工建模、计算、验证），提升学生参与度；课后可布置实践类作业（实地测量小物件高度），深化知识应用。课后测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[河北邢台月考]已知向量a,b,下列条件中,能得到a=b的是()A.|a|=|b|B.a与b的方向相同C.a=0,b为任意向量D.a=0且b=02.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量AB同向的单位向量是()A.35,-4C.-45,3.在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=()A.1 B.2 C.5 D.34.[广东潮州检测]已知向量a,b满足|a|=2,b=(1,3),且a·b=4,则向量a,b夹角的余弦值为()A.55 B.255 C.105.[北京海淀期末]已知向量a=(3,1),b=(0,-1),c=(k,3).若a-2b与c共线,则k=()A.1 B.3 C.12 D.6.[天津和平三模]如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,AD=23cosA的值为()A.66 B.306 C.637.[2022新高考Ⅱ卷,4]已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则实数t=()A.-6 B.-5 C.5 D.68.[湖南娄底模拟]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3sinB+2cos2B2=3,cosBb+cosCA.12π B.16π C.24π D.64π二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),则下列选项正确的有()A.(a+2b)∥cB.(a+2b)⊥cC.|a+c|=10D.|a+c|=2|b|10.[四川成都青羊月考]如图,正方形ABCD中,E为AB中点,M为线段AD上的动点,若BM=λBE+μBD,则λ+μ的值可以是()A.32 B.12 C.111.已知满足C=30°,AB=4,AC=b的△ABC有两个,那么b可能是()A.5 B.6 C.7 D.812.在△ABC中,满足cos2A+cos2B=1,则下列说法正确的是()A.A+B=πB.|tanA|=cosBcosC.若A,B为不同象限的角,则tan(A+B)+2tanA+tanD.sin2A+sin2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.如图,作用于同一点O的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,已知|F1|=1,|F2|=2,F1与F2的夹角为3π4,则F3的大小为14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

15.已知a,b,c是单位向量,a+b+c=0,则|a-b|=.

16.[2022全国甲,理16]已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).(1)求a·b,|a+b|;(2)求a与b的夹角的余弦值.18.(12分)已知向量a=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b与c;(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.19.(12分)已知海岛A四周8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,在B处望见岛A在北偏东75°,航行202海里后,在C处望见此岛在北偏东30°,若货轮不改变航向继续前进,有没有触礁危险?请说明理由.20.(12分)[江西赣州章贡期中]如图,在△ABC中,M是边BC的中点,N是线段BM的中点.(1)用AB和AC分别表示(2)若直线EF交AB于点E,交AM于点G,交AC于点F,AE=λAB,AF=μAC(λ,μ均为正实数),AG=2GM,求λ+2μ21.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+2c)cosB+bcosA=0.(1)求角B的大小;(2)若b=3,求△ABC的周长的最大值.22.(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.参考答案课后测评1.D由|a|=|b|,可得它们的模相等,但方向不确定,故不能推出a=b,故排除A;a与b的方向相同,但不知它们的模是否相等,故不能推出a=b,故排除B;由于零向量的模为零,而|b|不一定为零,故排除C;由于所有的零向量都相等,故D正确.2.A∵A(4,1),B(7,-3),∴AB=(3,-4),故与向量AB同向的单位向量为AB|AB|=3.D设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D.4.C设a与b夹角为θ,由b=(1,3),得|b|=1+9=10,又|a|=2,a·b=4,∴cosθ=5.Aa-2b=(3,3),由a-2b与c共线得3·3=3k⇒k=6.AMN=MD+DB+BN=12ED+13AB+12BC=12(AD−AE)+13AB+12(AC−AB)=1223AB−137.C由题意得c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,故9+3t+16|c|故选C.8.B因为3sinB+2cos2B2=3,所以3sinB+2·1+cosB2=3,所以3sinB+cosB=2,即sinB+π6=1,又B∈(0,π),所以B+π6∈π6,7π6,所以B+π6=π2,解得B=π3.因为cosBb+cosCc=sinAsinB6sinC,由余弦定理得a2+c2-b22bac+a2+b2-c22cab=sinAsinB6sinC9.ADa+2b=(-3,5),故A正确,B错误;|a+c|=(1+3)2+(3-5)2=25=2故选AD.10.ACD已知在正方形ABCD中,E为AB的中点,M为线段AD上的动点,设AM=kAD,其中0≤k≤1,则BM−BA=k(BD−BA),所以BM=(1-k)BA+kBD,因为E为BA的中点,则BA=2BE,所以BM=2(1-k)BE+kBD,又因为BM=λBE+μBD且BE,BD不共线,则λ=2(1-k),μ=k11.ABC在△ABC中,C=30°,AB=4,AC=b,由正弦定理,得ABsinC=ACsinB,即4sin30°=bsinB,解得sinB=b8.由题意知,当sinB∈12,1时,满足条件的△ABC有两个,12.BC对于A,由cos2A+cos2B=1,得|cosB|=|sinA|,可得A+B=π2或A-B=π2,故A错误;对于B,由|cosB|=|sinA|,得|tanA|=cosBcosA,故B正确;对于C,因为A,B为不同象限的角,所以tanAtanB=-1,所以A,B中必有一角大于π2,所以C∈0,π2,tanC>0,所以tan(A+B)+2tanA+tanB=-tanC+2(tanAtanB-1)·tanC=-tanC+1tanC≤-2,当且仅当tanC=1时,等号成立,故C正确;对于D,因为sin2A+sin2B+sin2C=sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC=2sinCcos(A-B)-2sinCcos(A+B)=4sinAsin13.1∵三个力F1,F2,F3处于平衡状态,∴F1+F2=-F3,∵|F1|=1,|F2|=2,F1与F2的夹角为3π4,∴F32=(F1+F2)2=F12+F22+2F1·F2=1+2∴F3的大小为1.14.22由题意可知△ABC的面积S=12acsin60°=3,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×cos60°=8,所以b=22.15.3由a+b+c=0,得a+b=-c,∴(a+b)2=(-c)2.∵a,b,c是单位向量,∴a·b=-12∴|a-b|=(a16.3-1(方法1)令BD=t,则t>0.如图,以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则C(2t,0),A(1,3),B(-t,0),AC2AB2=(2t-1)2+3(t+1)2+3=4-12t+1+3t+1≥4(方法2)设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得AC2AB2=4t2+4-2×2t×2cos60°t2+4-2t×2cos120°=4t2-4t17.解(1)因为e1=(1,0),e2=(0,1),所以a=3e1-2e2=(3,-2),b=4e1+e2=(4,1),所以a·b=(3,-2)·(4,1)=12-2=10,a+b=(7,-1),所以|a+b|=72+(-1(2)设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·18.解(1)由a∥b,得x-2×3=0,解得x=6.由a⊥c,得1×2+2y=0,解得y=-1.故b=(3,6),c=(2,-1).(2)∵m=2a-b=(-1,-2),n=a+c=(3,1),∴m·n=-1×3-2×1=-5,|m|=(-1)2+(-2∴cos<m,n>=m·n|又0≤