2027届新高考数学热点突破复习导数的综合应用（微观视角+固本强源）

复习课2027届新高考数学热点突破复习导数的综合应用已知函数

．当

时，

恒成立，求实数a的取值范围.恒成立问题法一：参变分离（思想）法二：几何意义（切线）

法三：分类讨论（技能）

已知函数

．当

时，

恒成立，求实数a的取值范围.恒成立问题法一：参变分离（思想）当x=0时，

成立当

时分离参数法特别需要注意分离参数研究函数二阶导思想令

在

上单调递减。所以所以

在区间上单调递减所以已知函数

．当

时，

恒成立，求实数a的取值范围.恒成立问题法二：几何意义（切线）

由题设切线斜率xyo1.所以已知函数

．当

时，

恒成立，求实数a的取值范围.恒成立问题法三：分类讨论（技能）

分类讨论函数取最小值的情况当a<0时成立好判别当a>0时和都是正数！两式相减的正负性未知，要用零点来分段。分为三类来讨论：其根本核心是在讨论恒正；恒负；不定。由题分类的依据（标准）是什么？已知函数

．当

时，

恒成立，求实数a的取值范围.恒成立问题法三：分类讨论（技能）

当

时则存在当

时令使得所以单调递减单调递增即当

时单调递减所以舍单调递减成立由题已知函数

．当

时，

恒成立，求实数a的取值范围.恒成立问题法三：分类讨论（技能）

当

时成立则存在当

时令使得所以单调递减单调递增即当

时单调递减而不成立已知函数导数的几何意义“在点”与“过点”“存在性”与“任意性”定值问题零点的个数问题转化分离参数法举一反三换个问法其中一类极值点偏移现象（1）证明：存在m∈R，使得曲线y=f(x)在点(m,f(m))处切线的斜率为定值.分类讨论的思想（2）当a>0时，讨论f(x)零点的个数.（3）当f(x)零点个数最多时，证明：f(x)零点之和大于3.由哪些基本初等函数组成已知函数由哪些基本初等函数组成问题1：所给函数由哪些基本初等函数组成，定义域如何？三次函数一次函数指数函数问题2：哪些是变量？哪些是参数？变量参数常数问题3：他们是怎样组合在一起的？三次函数一次函数指数函数已知函数（1）证明：存在x0∈R，使得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率为定值.问题4：请你大声朗读第1问，并说出“研究（求解）的对象”是什么？切线的斜率问题5：请问“研究（求解）的最终效果”是什么？切线的斜率为定值问题6：那么，切线的斜率一定是定值吗？它会受到谁的影响？不一定！切点(x0,f(x0))唯一确定切线！参数a处处影响切线！问题4-1：函数的切线斜率该怎么表达？几何意义是什么？在切点处的导函数值在x=x0处的切线斜率为：问题4-2：求切线方程时，在此处通常会有两种考法？应该注意什么？不同考法怎样应对？在某点处的切线，此点为切点！过某点的切线，需设切点！问题4-3：在求切线斜率时，具体怎样操作？第一步：确定切点第二步：先求导第三步：再代值(x0,f(x0))请你说说此处求导要注意什么？位置大小（值）问题6：那么，切线的斜率一定是定值吗？它会受到谁的影响？已知函数（1）证明：存在x0∈R，使得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率为定值.问题5：请问“研究（求解）的最终效果”是什么？切线的斜率为定值问题5-1：由以上分析，求得切线斜率：问题5-2：此”斜率“是不是定值？还受到哪些的影响？他们是怎样影响“斜率”的？不是！还受到“切点”x0和参数a的影响.切点x0已经被题目暂时固定！斜率k的值，只受a的影响！问题6-1：怎么让斜率是定值呢？基本思想是什么？参数不影响！问题6-2：具体怎样操作？令参数的系数为0不一定！切点(x0,f(x0))唯一确定切线！参数a处处影响切线（值）！已知函数（1）证明：存在x0∈R，使得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率为定值.问题6-3：“令参数的系数为0”是主观行为吗？对于所有情况（所有题目），这样都行吗？请从操作性、目的性、有解性三个层面进行思考！问题6：那么，切线的斜率一定是定值吗？它会受到谁的影响？不一定！切点(x0,f(x0))唯一确定切线！参数a处处影响切线（值）！操作性：从主观上，强行操作！目的性：为了达到“参数不影响”的效果！有解性：“有解”即“存在”，无解即“不存在！问题6-4：存在x0吗？存在多少个？因为有解所以，存在！因为解得所以，存在1个x0=0！代入斜率，可知此时斜率k=2改编1:求函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程。思考：还需要“令参数的系数为0”吗？已知函数（2）当a>0时，讨论f(x)零点的个数.问题7：请你大声朗读第2问，并说出让我们做什么？讨论零点的个数问题8：一般情况下，“零点问题”有多少种考法？分别是什么？2种三个等价关系零点的存在性定理问题9：此处考察什么“数学解题思想”？它们分别是怎样呈现的？分类讨论思想通化与化归思想函数与方程思想数形结合思想问题8-1：复习：三个等价关系的转换和零点的存在性定理。问题8-2：判断此题考察哪种？具体怎样操作？函数的零点个数方程的根的个数是其中1个根再令无法解！改造！已知函数（2）当a>0时，讨论f(x)零点的个数.问题7：请你大声朗读第2问，并说出让我们做什么？讨论零点的个数问题8：一般情况下，“零点问题”有多少种考法？分别是什么？2种三个等价关系零点的存在性定理问题8-4：由此，问题转化为“什么问题”？你能在此基础上，改变原题的问法，并举一反三吗？改造！问题8-3：此处使用什么方法？需要注意什么？分离参数法！需注意参数的系数的取值情况改编2:当a>0时，证明f(x)>0恒成立。分离参数时，一定要注意方向问题改编3:已知函数y=f(x)仅有2个零点，求参数a的范围。已知函数（2）当a>0时，讨论f(x)零点的个数.问题7：请你大声朗读第2问，并说出让我们做什么？讨论零点的个数问题8：一般情况下，“零点问题”有多少种考法？分别是什么？2种三个等价关系零点的存在性定理改造！易知，x≠0问题8-5：接下来，具体怎样操作？依据是什么？令研究此函数的图像求导令得问题8-6：由此，定义域被分成了几段？各段的单调性如何？极小值已知函数（2）当a>0时，讨论f(x)零点的个数.问题8：一般情况下，“零点问题”有多少种考法？分别是什么？2种三个等价关系零点的存在性定理问题8-6：由此，定义被分成了几段？各段的单调性如何？极小值但是恒成立但是且无意义不是取不到但是但是2已知函数（2）当a>0时，讨论f(x)零点的个数.问题8：一般情况下，“零点问题”有多少种考法？分别是什么？2种三个等价关系零点的存在性定理问题8-7：参数a的取值对交点的影响如何？aaaa当

时直线与g(x)有1个交点，函数f(x)有2个零点。当

时直线与g(x)有2个交点，函数f(x)有3个零点。当

时直线与g(x)有3个交点，函数f(x)有4个零点。已知函数（3）当f(x)零点个数最多时，证明：f(x)零点之和大于3.问题9：请你大声朗读第2问，并说出“研究的对象”是什么？零点的和问题10：一共多少个零点？请你先将零点表示出来，并将问题转化为数学语言？的范围四个！设零点为：0，x1,x2,x3则，证：x1+x2+x3>3a问题9-1：仔细观察三个“零点”的位置，他们的区别是什么？应该怎么分类？已知函数（3）当f(x)零点个数最多时，证明：f(x)零点之和大于3.问题10：一共多少个零点？请你先将零点表示出来，并将问题转化为数学语言？四个！设零点为：0，x1,x2,x3则，证：x1+x2+x3>3a问题10-1：设点的工作完成了吗？还要注意什么？x1x2x3范围！x1<00<x2<2<x3尽量精确！越精确越好！问题10-2:x1能取到负无穷吗？请讨论x1！x=2所以x1<0探索：令含e无e所以e的次方为零，可能！不是想要的！已知函数（3）当f(x)零点个数最多时，证明：f(x)零点之和大于3.问题11：问题将进行怎样的转化？ax1x2x3x=2x1+x2+x3>3-1<x1<0即证：x2+x3>4问题12：4=2×2！你