【核心素养】长方体和正方体单元复习教学设计（五年级数学）

【核心素养】长方体和正方体单元复习教学设计（五年级数学）  一、教学设计基础信息  课题：长方体和正方体的整理与复习  授课年级：小学五年级  课时安排：1课时（40分钟）  教材版本：人教版小学数学五年级下册第三单元  课型：单元复习课  二、教学内容分析  本单元《长方体和正方体》是小学阶段图形与几何领域的核心内容，是学生从平面图形过渡到立体图形的关键节点。在此之前，学生已经学习了长方形、正方形等平面图形的特征及周长、面积计算，具备了一定的空间观念。本单元系统研究长方体和正方体的特征、表面积、体积及容积，为后续学习圆柱、圆锥等其他立体图形以及解决更复杂的实际问题奠定了坚实的认知基础和方法基础。复习课并非知识的简单重现，而是要引导学生将零散的知识点串联成线、编织成网，形成结构化的认知体系，深化对度量本质的理解，并能在综合情境中灵活应用。  【核心概念】本单元的核心概念是“三维图形的度量”。它包含两个维度：一是“表面”的度量，即表面积，关注的是所有面的面积总和，体现“二维度量在三维空间中的组合”；二是“空间”的度量，即体积和容积，关注的是物体所占空间的大小或容纳空间的大小，体现“三维空间的大小”。体积单位的建立和体积公式的推导，是学生对度量思想的一次重要拓展。复习时要紧扣这一核心，帮助学生理解公式的由来和内在联系，而不是死记硬背。  【知识结构】  1.特征：面、棱、顶点的数量与关系（相对的面完全相同，相对的棱长度相等）。  2.表面积：定义、计算方法（S长=(ab+ah+bh)×2S_{长}=(ab+ah+bh)\times2S长​=(ab+ah+bh)×2；S正=6a2S_{正}=6a^2S正​=6a2）、实际应用（无盖、通风管等）。  3.体积：定义、体积单位（立方厘米、立方分米、立方米）及进率（1m3=1000dm31m^3=1000dm^31m3=1000dm3，1dm3=1000cm31dm^3=1000cm^31dm3=1000cm3）、体积计算公式（V长=abhV_{长}=abhV长​=abh，V正=a3V_{正}=a^3V正​=a3，通用公式V=ShV=ShV=Sh）。  4.容积：定义、容积单位（升、毫升）及与体积单位的关系（1L=1dm31L=1dm^31L=1dm3，1mL=1cm31mL=1cm^31mL=1cm3）、计算方法（与体积相同，但数据从内部测量）。  5.等积变形与不规则物体体积测量（排水法）。  【课标要求】《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“图形与几何”领域指出：要探索并掌握长方体、正方体体积和表面积的计算方法，并能解决简单的实际问题；经历体积单位的产生过程，理解体积的意义，形成量感、空间观念和推理意识。复习课应着力于让学生在回顾、梳理、应用中，进一步发展这些核心素养。  三、学情分析  【知识储备】学生已经初步掌握了长方体和正方体的基本特征、表面积和体积的计算公式，能够进行简单的单位换算和计算。但部分学生对公式的理解停留在机械记忆层面，对公式的推导过程、公式中每个量表示的意义可能已经模糊。在解决稍复杂的实际问题时，容易出现混淆表面积和体积、单位使用错误、找不到隐藏条件等问题。  【能力水平】五年级学生具备了一定的抽象逻辑思维能力，能够进行简单的归纳和概括。但在构建系统的知识网络、灵活运用转化思想（如等积变形）解决问题方面，能力尚有欠缺。空间想象力正处于发展阶段，对于动态变化（如切割、拼接、注水）中的体积、表面积变化，理解和想象存在一定困难。  【心理特征】复习课的知识对学生而言是“旧知”，如果只是重复练习，容易产生倦怠感。因此，需要通过具有挑战性、趣味性和生活性的问题情境，激发学生的探究欲望和参与热情，让复习成为“在旧知中发现新知”的过程。  四、教学目标  【核心素养目标】  1.【关键能力】通过整理与复习，进一步理解长方体和正方体在特征、表面积、体积、容积之间的内在联系，构建系统化、网络化的知识体系。（重点指向：逻辑推理、抽象概括）  2.【关键能力】能熟练运用公式解决生活中的实际问题，经历“现实问题—数学建模—解释应用”的过程，提高分析问题和解决问题的能力。（重点指向：模型意识、应用意识）  3.【核心素养】在观察、想象、操作、推理等活动中，进一步发展空间观念和量感，体会“转化”、“类比”等数学思想方法的价值。（重点指向：空间观念、量感、推理意识）  4.【情感态度】感受数学与生活的紧密联系，体验数学学习的乐趣和价值，增强学好数学的信心。  五、教学重难点  【教学重点】梳理知识脉络，沟通表面积、体积、容积等概念的内在联系，构建完整的认知结构。并能熟练运用公式进行正确计算。  【教学难点】灵活运用所学知识解决生活中的实际问题，尤其是涉及等积变形、拼接切割、不规则物体体积测量等综合性、灵活性较强的问题，实现知识向能力的转化。  六、教学准备  教师：多媒体课件（PPT）、长方体、正方体模型（可拆卸）、土豆、量杯、水槽、若干个小正方体。  学生：长方体和正方体学具（可自带药盒、魔方等）、思维导图纸、彩笔。  七、教学实施过程  （一）创设情境，导入课题（约3分钟）  【基础情境导入】  教师活动：同学们，最近我们学校开展了“书香校园”建设活动，每个班级都要建立一个图书角。老师想请大家当“小小设计师”，为班级图书角设计一个既美观又实用的“收纳整理箱”。不过，这个整理箱的设计可大有学问，它需要我们运用本单元所学的“长方体和正方体”的知识来解决。你们有信心接受挑战吗？  学生活动：齐声回答，兴趣被激发。  教师活动：板书课题：长方体和正方体单元复习。  设计意图：从学生熟悉的校园生活情境出发，以“设计师”的角色驱动，将抽象的数学知识与具体任务相结合，迅速调动学生的学习积极性和主人翁意识，明确本节课的学习目标和任务。  （二）回顾梳理，构建网络（约8分钟）  【核心概念回顾】我们学过了长方体和正方体的哪些知识？它们之间有什么联系呢？请同学们拿出课前准备的思维导图初稿，在小组内交流分享，互相补充完善。  学生活动：小组内交流各自的思维导图，讨论知识的分类、联系与区别。有的学生按“特征—表面积—体积—容积”纵向展开，有的学生将表面积和体积进行横向对比。  教师活动：巡视指导，选取有代表性的思维导图（如树状图、括号图、对比表）通过实物展台进行展示。请小组代表上台讲解本组的整理思路。  【非常重要：知识对比】  小组代表1：我们组把知识分成了两大块：一块是“外表”（表面积），一块是“内部空间”（体积和容积）。我们列表对比了它们的不同：  表面积：表示物体表面的大小，单位是面积单位（平方厘米等），长方体公式是（长×宽+长×高+宽×高）×2，正方体公式是棱长×棱长×6。  体积：表示物体所占空间的大小，单位是体积单位（立方厘米等），长方体公式是长×宽×高，正方体公式是棱长×棱长×棱长，都可以用底面积×高。  容积：表示容器所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，但数据要从里面量，单位常用升和毫升。  教师活动：这位小组总结得非常清晰！特别是抓住了表面积和体积的本质区别：一个是“面”的度量，一个是“空间”的度量。那它们之间有没有联系呢？  【难点突破：公式推导】  小组代表2：我们认为它们是有联系的。比如，体积公式V=ShV=ShV=Sh就联系了底面积这个“面”和高这个“线”，线的运动产生了面，面的运动产生了体。  教师活动：非常棒的数学思考！（课件动态演示：一条线段平移形成一个面，一个面（如长方形）垂直平移形成一个长方体。）正是这种运动，把一维的线、二维的面和三维的体联系在了一起。我们在推导体积公式时，也是用体积单位（小正方体）去铺满这个“体”，用到的就是“数形结合”的思想。  教师小结：通过大家的梳理，我们发现长方体和正方体虽然形状略有不同，但本质是相同的。正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体。它们的所有知识都围绕着“度量”二字展开。现在请同学们根据刚才的交流，再次完善自己的思维导图。  设计意图：本环节充分发挥学生的主体性，通过“展示—交流—评价—完善”的流程，让学生经历知识的自主建构过程。教师的适时追问和动态演示，引导学生从“是什么”走向“为什么”，揭示了知识之间的内在逻辑和数学思想方法，使知识网络从平面走向立体，从记忆走向理解。  （三）分层练习，应用提升（约22分钟）  【基础练习——小小质检员】（约5分钟）  教师活动：作为设计师，首先要确保设计方案准确无误。请同学们快速判断下面的说法是否正确，并说明理由。（课件出示）  1.一个长方体（非正方体）最多有4个面面积相等。（）  2.棱长6厘米的正方体，它的表面积和体积相等。（）  3.一个冰箱的容积就是它的体积。（）  4.把两个相同的正方体拼成一个长方体，体积不变，表面积减少。（）  学生活动：独立思考，举手回答。第1题用手势判断，并举例说明（如特殊长方体有两个相对的面是正方形，则其余四个面面积相等）。第2题学生容易出错，引导学生明确“数值”相等，但“单位和意义”完全不同，不能比较。第3题强调容积与体积的区别。第4题借助学具演示，理解拼接后表面积的变化规律。  【高频考点：单位换算】  教师活动：（课件出示）  5.3.2立方米=（）立方分米  6.8500毫升=（）升=（）立方分米  7.一块橡皮的体积约是8（）。  8.一个教室的占地面积约是60（）。  学生活动：口答，并说出思考过程（高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率）。选择合适的单位，强调要根据实际物体的大小进行判断。  设计意图：此环节针对单元核心概念和易错点进行诊断性练习，帮助学生澄清模糊认识，夯实基础知识，强化单位观念，为后续解决复杂问题扫清障碍。  【重点练习——小小设计师】（约8分钟）  教师活动：回到我们“设计师”的角色。要为班级设计一个长方体整理箱，我们需要考虑哪些数学问题？  【热点问题：实际应用】  问题1（材料问题）：如果整理箱的长是6分米，宽是4分米，高是5分米。制作这个整理箱，至少需要多少平方分米的纸板？（接头处忽略不计）  学生活动：独立计算，汇报交流。  预设1：(6×4+6×5+4×5)×2=148(6\times4+6\times5+4\times5)\times2=148(6×4+6×5+4×5)×2=148（平方分米）  教师提问：148平方分米是什么？为什么这样算？  学生：是表面积，因为要算制作箱子需要多少材料，就是算它的六个面的总面积。  教师追问：如果老师要求这个整理箱没有盖子，需要多少材料？如果是一个只有四周和底面的无盖箱子，又该怎样计算？  学生讨论，得出：无盖就是少一个上面，6×4+(6×5+4×5)×2=1246\times4+(6\times5+4\times5)\times2=1246×4+(6×5+4×5)×2=124（平方分米）。  问题2（空间问题）：这个整理箱的体积是多少立方分米？它最多能容纳多少升的物品？  学生活动：独立计算。  V=6×4×5=120V=6\times4\times5=120V=6×4×5=120（立方分米）  120120120立方分米=120120120升  教师追问：体积和容积的计算结果为什么相同？要注意什么？  学生：计算方法相同，但容积要从箱子内部测量数据。如果箱子壁很厚，容积就会小于体积。  【非常重要：表面积与体积对比应用】  问题3（优化问题）：如果老师想做一个同样容积（120升）但更省材料的整理箱，你觉得长、宽、高可以怎么设计？（长、宽、高取整分米数）  学生活动：小组合作，讨论设计方案。引导学生思考“积固定，和最小”的问题（初步感知，不要求严格证明）。  可能的设计方案：  方案A：6×4×5=1206\times4\times5=1206×4×5=120，表面积148  方案B：8×3×5=1208\times3\times5=1208×3×5=120，表面积(8×3+8×5+3×5)×2=158(8\times3+8\times5+3\times5)\times2=158(8×3+8×5+3×5)×2=158（更大）  方案C：5×5×4.85\times5\times4.85×5×4.8（非整数，暂不考虑）  方案D：10×3×4=12010\times3\times4=12010×3×4=120，表面积(10×3+10×4+3×4)×2=164(10\times3+10\times4+3\times4)\times2=164(10×3+10×4+3×4)×2=164（更大）  学生发现：在体积相等的情况下，长、宽、高越接近，表面积越小。当长、宽、高都相等（即正方体）时，表面积最小。  教师小结：这不仅是数学知识，在生活中也很有用。比如，同样容量的牛奶盒，为什么有的设计成长方体，有的设计成正方体？这就要综合考虑材料成本、包装运输、美观实用等多种因素。  设计意图：以“设计整理箱”为主线，将求表面积、体积、容积以及优化设计等核心问题串珠成链。通过层层递进的追问，引导学生从单一的计算走向综合的分析和决策，让学生在解决真实问题的过程中，深刻理解数学知识的实用价值，发展模型意识和应用意识，并初步触及极值思想。  【难点突破——挑战不可能】（约5分钟）  教师活动：我们的设计任务还在继续。现在老师遇到了一个新难题：我从市场买回一个形状不规则的漂亮石头（土豆），想把它放进我们设计的整理箱里做装饰。可是，我不知道它的体积是多少，无法判断能否放得下。你们有什么好办法吗？  【高频考点：排水法】  学生活动：小组讨论，提出“排水法”。  学生代表：可以把石头放入盛有水的长方体容器中，测量水面上升的高度，用“容器的底面积×水面上升的高度”来计算石头的体积。  教师活动：这个方法可行吗？它的数学原理是什么？  学生：石头的体积等于它排开的水的体积。  教师：非常好！这就是数学中重要的“转化”思想（板书：转化），把不规则物体的体积转化成了可计算的长方体体积。  教师活动：课件出示一个实验场景：一个长方体玻璃缸，长20厘米，宽15厘米，水深10厘米。放入一块石头后，水深上升到12厘米。石头的体积是多少？  学生独立完成：20×15×(12−10)=60020\times15\times(1210)=60020×15×(12−10)=600（立方厘米）  教师追问：如果石头放入后，水面超过了容器的高度（水溢出了），又该怎么计算呢？  学生思考后回答：可以用“水和石头的总体积”减去“原来水的体积”，但需要知道溢出部分的水的体积。或者用“容器的底面积×容器的高度”得到容器容积，再用“放入石头后水和石头的总体积”减去容器容积，得到溢出水的体积，最后用V石=V_{石}=V石​=上升部分体积（未溢出时）+++溢出部分体积。这是一个更复杂的情况，但核心思想还是“转化”。  设计意图：通过“测量不规则物体体积”这一挑战性任务，激发学生的探究欲望。从提出方法、阐述原理到解决具体问题，层层深入，不仅巩固了“排水法”，更让学生深刻体会到“转化”这一数学思想方法的强大力量，有效突破了本课难点，发展了学生的空间想象和推理能力。  （四）拓展延伸，文化渗透（约3分钟）  【数学文化】  教师活动：同学们，你们知道吗？古代伟大的数学家阿基米德也用过类似的方法解决了一个难题。国王让他判断皇冠是不是纯金的，但不能损坏皇冠。阿基米德苦思冥想，终于在洗澡时发现，身体浸入水中会排开水，他恍然大悟，用排水法测出了皇冠的体积，从而证明了工匠是否掺假。这就是著名的“阿基米德测皇冠”的故事。  教师活动：展示图片：阿基米德头像和浴缸场景。  设计意图：在紧张的知识应用之后，插入一段生动的数学史话，不仅能调节课堂节奏，更能让学生感受到数学文化的魅力，了解数学知识的源远流长，激发民族自豪感和学习数学的热情，实现数学学科育人价值的升华。  （五）全课总结，畅谈收获（约2分钟）  教师活动：同学们，今天这节课，我们通过担任“小小设计师”，对方体和正方体的知识进行了系统的复习和应用。现在请大家闭上眼睛，静静地回顾一下，这节课你有哪些收获？可以是知识上的，可以是方法上的，也可以是感受上的。  学生活动：静思默想后，踊跃发言。  预设：  学生1：我知道了表面积和体积虽然公式有联系，但意义完全不同。  学生2：我学会了用排水法测不规则物体的体积，知道了“转化”很重要。  学生3：我觉得数学知识在生活中真的很有用，设计一个箱子要考虑很多问题。  学生4：我知道了阿基米德的故事，他很聪明，我也要像他一样善于观察和思考。  教师总结：同学们的收获真多！长方体和正方体的世界，是一个充满度量的世界。我们用“特征”认识它，用“表面积”装扮它，用“体积”衡量它。希望同学们带着今天的收获，继续去探索更多图形与几何的奥秘，用数学的眼光观察世界，用数学的思维