高中数学必修一册教案5.1.1任意角（教学设计）-

《5.1.1任意角》本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第一节《任意角和弧度制》。以下是本节的课时安排：课时内容任意角弧度制所在位置教材第168页教材第172页新教材内容分析教材首先通过实际问题（拨手表、体操中的旋转、齿轮旋转等）引出角的概念的推广问题，引发学生的认知冲突，然后用具体的例子，将初中学过的角的概念推广到任意角，在此基础上引出象限角、终边相同的角的概念。教材通过类比引出弧度，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出弧度与角度的换算方法。在此基础上，通过具体例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性，这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究和解决问题的过程中，更好的形成弧度概念，建立角的集合与实数集的一一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定基础。核心素养培养通过学生已有的知识经验，认识任意角、象限角、终边相同的角等概念，体现了数学抽象的核心素养；通过作出正角、负角、象限角、终边相同的角，提升直观想象的核心素养.通过实例，引导学生理解引入弧度制的必要性，培养数学抽象的核心素养；通过弧度与角度的换算，提升数学运算的核心素养。教学主线任意角、象限角、终边相同的角的概念及表示学生过去接触的角都在0°~360°，关于角的认识形成一定的思维定势，这就需要通过实际问题，如时针与分针、体操等都能形成角1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角，培养直观想象的核心素养；2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合，提升数学抽象的核心素养；3.了解象限角的概念，强化数学抽象的核心素养。1.重点：任意角的概念，象限角的表示；2.难点：终边相同角的表示，区间角的集合书写。（一）新知导入1.创设情境，生成问题在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．你能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？探索交流，解决问题【思考1】初中学过角的概念是什么？范围是多大?【提示】有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.角的范围：0°～360°。【思考2】（1）体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？（2）经过1小时，秒针、分针各转了多少度？（3）在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？【提示】上述问题中，角的度数已经不再局限在360度内，所以角的概念需进行推广。【设计意图】通过复习初中角的概念，引入本节新课,建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。（二）任意角的概念1.角的概念：角描述定义角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形表示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.【做一做】画出下列各角：α=210°，β=-150【提示】2.相等角与相反角①把角的概念推广到了任意角(anyangle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.【设计意图】通过概念学习，让学生进一步理解任意角的概念，提高学生分析问题、概括能力。（三）象限角【探究1】为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？【提示】任意角的终边落在四个象限都有可能，如图。象限角的概念：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限。【做一做】下列各角：-50°，405°，210°,-200°，-450°分别是第几象限的角？【提示】第四象限角第一象限角第三象限角第二象限角轴线角【探究2】第二象限的角一定比第一象限的角大吗？【提示】象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.【探究3】四个象限角如何用集合的形式表示？【提示】象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}【设计意图】通过探究学习，使学生掌握象限角的判断方法，强化数学抽象的核心素养。（四）终边相同的角【探究4】-32°，328°，-392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？【提示】都是第四象限角，这些角的终边相同，相差3600的整数倍。【探究5】所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？【提示】【探究6】一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？【提示】S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}终边相同的角的概念：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．【探究7】终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？【提示】x轴正半轴：α=k·360°，k∈Z；x轴负半轴：α=180°＋k·360°，k∈Z；y轴正半轴：α=90°＋k·360°，k∈Z；y轴负半轴：α=270°＋k·360°，k∈Z。【拓展】终边在x轴的角表示为：α=k∙180°终边在y轴的角表示为：α=90°【辩一辩】1．第二象限角是钝角．(×)2．终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(√)3．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(√)【设计意图】通过探究学习，培养学生数学抽象的核心素养。（五）典型例题1.任意角的概念【例1】(1)下列说法正确的有________．(填序号)①零角的始边和终边重合．②始边和终边重合的角是零角．③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.④绝对值最小的角是零角．(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？[解析](1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5eq\f(5,12)小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋eq\f(5,12))×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(5,12)))×360°＝－1950°.【类题通法】求解任意角问题的步骤(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．【巩固练习1】写出下列说法所表示的角：(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角；(3)向右转体3周．解析：(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角为－720°.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角为900°.(3)向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周，表示的角为－1080°.2.象限角与终边相同的角【例2】(1)与－2010°终边相同的最小正角是________．(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.[解析](1)因为－2010°＝－6×360°＋150°，所以与－2010°终边相同的最小正角是150°.(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.【类题通法】1.判断α是第几象限角的三个步骤第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．2．求解给定范围内终边相同的角的方法先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.【巩固练习2】在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．3.区域角的写法【例3】如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围。[解析]若角α的终边落在OA上，则α＝－60°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.所以角α的终边在图中阴影区域内时，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值范围为{α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．【类题通法】由角的终边的范围求角的集合的步骤(1)写出临界处终边所对应的角，一般在0°～360°内找一个．(2)按照所给的范围写出角的范围．(3)每个临界角都加上360°·k，即得范围内的角的集合．【巩固练习3】如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角θ的集合(不包含边界)．解析：(1)如题图(1)所示，以OA为终边的角是75°，以OB为终边的角是330°，也可看成－30°，∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为{θ|k·360°－30°<θ<k·360°＋75°，k∈Z}．(2)如题图(2)所示，以OA为终边的角是135°，以OB为终边的角是225°，也可看成－135°，∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为{θ|－135°＋k·360°<θ<135°＋k·360°，k∈Z}．【例4】已知α是第二象限角，求角eq\f(α,2)所在的象限．解方法一∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴eq\f(k,2)·360°＋45°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋90°(k∈Z)．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°<eq\f(α,2)<n·360°＋90°，这表明eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°<eq\f(α,2)<n·360°＋270°，这表明eq\f(α,2)是第三象限角．∴eq\f(α,2)为第一或第三象限角．方法二如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为eq\f(α,2)的终边所在的区域，故eq\f(α,2)为第一或第三象限角．【类题通法】已知角α所在象限，要确定角eq\f(α,n)所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角eq\f(α,n)的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据角α终边所在的象限确定角eq\f(α,n)的终边所落在的区域．如此，角eq\f(α,n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．【变式探究1】在本例条件下，求角2α的终边的位置．解∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正s半轴上．【变式探究2】若本例条件中角α变为第三象限角，求角eq\f(α,2)是第几象限角．解如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角eq\f(α,2)的终边所在的区域，故角eq\f(α,2)为第二或第四象限角．【变式探究3】若α是第一象限角，eq\f(α,3)是第几象限角？[解析]∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴k·120°＜eq\f(α,3)＜k·120°＋30°(k∈Z)．法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋30°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第二象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第三象限角．综上可知：eq\f(α,3)是第一、二或第三象限角．法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为eq\f(α,3)终边所落在区域，故eq\f(α,3)为第一、二或第三象限角．（六）操作演练素养提升1．与30°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}2．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．45°－4×360° B．－45°－4×360°C．－45°－5×360° D．315°－5×360°3．若α是锐角，则180°＋α是第________象限角．4．在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________．[答案]1.A2.D3.三4.240°【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（七）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固任意角的推广，树立用数学语言解决相关问题的意识。完成教材：第171页练习第1，2，3,4,5题