高中数学必修一册教案5.2.1三角函数的概念（第2课时）教学设计-

《5.2.1三角函数的概念》第2课时三角函数值的符号及公式一教学设计本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第二节《三角函数的概念》。以下是本节的课时安排：课时内容三角函数的概念同角三角函数的基本关系所在位置教材第177页教材第182页新教材内容分析教材首先通过锐角的三角函数的求法，引导学生思考任意角的三角函数的求法，引发学生的认知冲突，然后用具体的例子，得到任意角的三角函数的定义。根据任意角的三角函数的定义，不难找到同角三角函数的基本关系，通过具体例子，巩固所学概念和公式，进一步认识同角三角函数的基本关系，并让学生在探究和解决问题的过程中，为学习三角函数奠定基础。核心素养培养理解任意角三角函数的定义，体现了数学抽象的核心素养；通过三角函数定义的应用，提升数学运算的核心素养.通过实例，引导学生理解同角三角函数的基本关系，培养数学抽象的核心素养；通过同角三角函数的基本关系的应用，提升数学运算的核心素养。教学主线任意角的三角函数的定义通过上一节课的学习，将锐角三角函数推广到任意角的三角函数,任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系，那么任意角的三角函数在四个象限的符号、终边相同的角的三角函数值之间的关系都是学生比较感兴趣的问题，学习起来比较容易，是下一步研究三角函数性质的基础。1.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号，培养数学抽象的核心素养；2.掌握公式一并会应用，提升数学运算的核心素养。重点：掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.利用公式一进行化简求值。难点：理解任意角三角函数在个象限符号的规律；公式一的识记与应用．（一）新知导入【探究1】根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sinα,cosα,tanα在不同象限内的符号吗?【提示】根据各个象限点的坐标的符号去探究。当α在第一象限时,sinα>0,cosα>0,tanα>0;当α在第二象限时,sinα>0,cosα<0,tanα<0;当α在第三象限时,sinα<0,cosα<0,tanα>0;当α在第四象限时,sinα<0,cosα>0,tanα<0.【探究2】30°,390°,-330°三个角的终边有什么关系?它们与单位圆的交点坐标相同吗?这三个角的正弦值、余弦值、正切值相等吗?【提示】终边相同,所以角的终边与单位圆的交点坐标相同,三个角的正弦值、余弦值、正切值相等.【设计意图】通过复习任意角的三角函数的定义，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力。（二）三角函数值的符号正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanαeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))三角函数值在各象限的符号：正弦:一二象限正,三四象限负;余弦:一四象限正,二三象限负;正切:一三象限正,二四象限负.简记口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。【思考1】若sinα>0,则α的终边落在第一象限或第二象限内？【提示】若sinα>0,则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内,有可能终边落在y轴的非负半轴上.【做一做1】sin145°0，cos(-210°)0，tan405°0.【做一做2】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.()(2)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．()【设计意图】通过探究让学生理解判断任意角的三角函数值的正负，提高学生解决问题的能力。（三）公式一【探究1】终边相同的角的同名三角函数值相等吗?【提示】相等.由三角函数的定义可知,终边相同的角的三角函数值相等.【探究2】若sinα=sinβ,则一定有α=β吗?【提示】不一定.由终边相同的角的表示可知,当α与β的终边相同时,它们的正弦值虽然相等,但这两个角不一定相等.【探究3】同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？【提示】不一定，如sin30°＝sin150°＝eq\f(1,2).公式一：语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等．式子表示：sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.(1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．(2)公式一的作用利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.【做一做1】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()【做一做2】tan765°=；cos405°=；sineq\f(25π,3)=.【答案】1；22；3典型例题1.三角函数值的符号判断例1.确定下列式子的符号：(1)tan108°·cos305°；(2)eq\f(cos\f(5π,6)·tan\f(11π,6),sin\f(2π,3))；(3)tan120°·sin269°.【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan108°＜0.∵305°是第四象限角，∴cos305°＞0.从而tan108°·cos305°＜0.(2)∵eq\f(5π,6)是第二象限角，eq\f(11π,6)是第四象限角，eq\f(2π,3)是第二象限角，∴coseq\f(5π,6)＜0，taneq\f(11π,6)＜0，sineq\f(2π,3)＞0.从而eq\f(cos\f(5π,6)·tan\f(11π,6),sin\f(2π,3))＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin269°＜0.从而tan120°sin269°＞0.【类题通法】判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．【巩固练习1】(1)若α是第四象限角，则点P(cosα，tanα)在第________象限．(2)判断下列各式的符号：①sin183°；②taneq\f(7π,4)；③cos5.【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cosα>0，tanα<0，∴点P(cosα，tanα)在第四象限．(2)①∵180°<183°<270°，在第三象限，∴sin183°<0；②∵eq\f(3π,2)<eq\f(7π,4)<2π，在第四象限，∴taneq\f(7π,4)<0；③∵eq\f(3π,2)<5<2π，在第四象限∴cos5>0.2.公式一的应用例2.求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sineq\f(7π,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))coseq\f(13π,3).【解析】(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,4)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(5,4).【类题通法】利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．【巩固练习2】化简下列各式：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan4π.【解析】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＋coseq\f(12,5)π·tan4π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan0＝sineq\f(π,6)＋0＝eq\f(1,2).（五）操作演练素养提升1．若α是第二象限角，则点P(sinα，cosα)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2.若sinθcosθ>0，则θ在()A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第一、四象限 D．第二、四象限3.若点P坐标为(cos2014°，sin2014°)，则点P在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4.sineq\f(13,6)π的值为________．【答案】1.D2.B3.C4.eq\f(1,2)【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（六）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第182页练习第1，2，3,4,5题第185页习题5.2第5,8,10题