数学模块基础4

平面解析几何第6章43目录6.1直线的倾斜角和斜率6.2直线的方程6.3两条直线的位置关系6.4曲线和方程6.5圆6.6椭圆6.7双曲线6.8抛物线44教学要求：1.掌握两点间的距离公式和线段的中点坐标公式.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线（不垂直于x轴）的斜率的计算公式.2.由一次函数、二元一次方程与直线之间的关系，理解直线方程的概念.了解直线的点向式、两点式及截距式方程，掌握直线的点斜式、斜截式及一般式方程，掌握直线的斜截式方程与一般式方程之间的互化.3.掌握两条直线平行或垂直的判定方法.会求两条相交直线的交点坐标.45教学要求：4.了解点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.5.了解曲线与方程的对应关系.了解求曲线方程的基本思路与方法.6.回顾确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程，会写出圆的参数方程.7.能根据给定的直线与圆，判断直线与圆的位置关系.初步掌握用直线和圆的方程解决实际问题的方法.8.经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的概念及标准方程.初步掌握它们的几何性质及应用.9.通过本章的学习，进一步体会数形结合的思想.466.1直线的倾斜角和斜率47知识回顾在直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面上的任意两点，点M（x0，y0）是线段AB

的中点.在平面向量的学习中，我们利用向量知识得到了两点之间的距离公式和线段AB的中点坐标公式.两点之间的距离公式中点坐标公式48实例考察用代数的方法可以计算平面内两点间的距离，并能确定线段的中点位置.除此之外，能否用代数方法解决几何中有关直线的问题呢?钢索所在的直线我们知道，平面上两点能确定一条直线l，这两个已知点就是确定直线l的几何要素.观察钢索斜拉桥（下图中的上海徐浦大桥），就会发现，用于固定桥塔的每条斜拉钢索所在的直线都是由两个已知点（桥塔和桥栏上各一个点）来确定的.一个点能确定一条直线l的位置吗?49通过观察可以发现，在同一平面内的两条斜拉钢索尽管都过一个定点，但由于倾斜程度不同，拉索所在的直线也不同.也就是说，如果知道了它的倾斜程度，则直线l就被确定了.那么，直线的倾斜程度应该用什么来表示呢?50如图a所示，在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所形成的最小正角α，可以很好地反映直线l的倾斜程度，我们把α称为直线l的倾斜角.下图b可以表示上海徐浦大桥桥塔上过同一点P

的两条拉索（同一平面内），左侧拉索所在直线的倾斜角α1是锐角，右侧拉索所在直线的倾斜角α2

是钝角.下图c中的直线l垂直于x轴，它的倾斜角α是90°.下图d中直线l垂直于y轴，我们规定它的倾斜角α是0°.因此，直线l的倾斜角α的取值范围是5152这样，平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等.当直线l的倾斜角α≠90°时，α与其正切tanα是一一对应的，因此，直线的倾斜程度也可用tanα表示.我们把直线倾斜角α（α≠90°）的正切称为直线的斜率.通常用小写英文字母k表示，即根据正切函数的知识，可以得到直线的倾斜角α与斜率k之间的关系如下：当直线垂直于y轴时，α=0°⇔k=0；当直线的倾斜角是锐角时，0°<α<90°⇔k>0；当直线垂直于x轴时，α=90°⇔k不存在；当直线的倾斜角是钝角时，90°<α<180°⇔k<0.53在平面直角坐标系中，经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式是设向量=（v1，v2）与直线l平行，则向量

称为直线l的方向向量.若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是l上的两点，则向量=（x2-x1，y2-y1）为直线l的方向向量.由直线l的斜率公式k=（x2≠x1）可得546.2直线的方程55实例考察已知一次函数y=x+1，在直角坐标系中画出它的图像并指出点P（2，3）是否在它的图像上.当x=0时，y=1；当x=-1时，y=0.在坐标系中找出两点（0，1）和（-1，0），经过这两点画出一条直线l，即为所求图像（如图所示）.56当x=2时，y=3，因此，点P（2，3）在直线l上.由上例我们看到，满足函数y=x+1的每一对x，y的值都是直线l上的点的坐标；而直线l上每一点的坐标都满足函数式.一般地，一次函数y=kx+b的图像是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x，y的值为坐标的点构成的.但函数式y=kx+b也可看成是二元一次方程，所以我们也可以说，这个方程的解和直线上的点也有这样的对应关系.以一个二元一次方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解.这时，这个方程就称为这条直线的方程，这条直线称为这个方程的直线.如何根据已知条件求出直线的方程呢?下面我们来讨论这个问题.57直线的点向式方程如图所示，如果直线l与两条坐标轴都不垂直（斜率存在且不等于0），方向向量=（v1，v2），且经过点P1（x1，y1），求直线l的方程.58设点C（x，y）是直线l上的不同于点P1的任意一点，因为

为直线l的方向向量，且=（x-x1，y-y1），所以方程①称为直线的点向式方程.若直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则向量=（x2-x1，y2-y1）为直线l的方向向量.如果直线l与两条坐标轴都不垂直，由点向式方程可得方程②称为直线的两点式方程.59直线的点斜式方程如图所示，已知直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k.设点P（x，y）是直线l上不同于点P0的任意一点，由直线的斜率公式，得60将上式两边同乘以x-x0，得因为点P0

的坐标（x0，y0）同样满足上述关系式，所以关系式③就是所求直线l的方程.由于这个方程是由直线l上一定点P0（x0，y0）和直线l的斜率k所确定的，所以把方程③称为直线的点斜式方程.61直线的斜截式方程与截距式方程如图所示，点P0

是直线l与y轴的交点，设其坐标为

（0，b），我们把b称为直线l在y轴上的截距.此时，直线l的点斜式方程为y-b=k（x-0），即方程④是由直线l的斜率k和在y轴上的截距b确定的，所以把方程④称为直线的斜截式方程.62若直线l与x轴相交于点A，设其坐标为（a，0），我们把a称为直线l在x轴上的截距.我们把方程称为直线的截距式方程.63直线的一般式方程从上述讨论可知，直线的方程无论是点斜式还是斜截式，都是关于x，y的二元一次方程.二元一次方程的一般形式是：Ax+By+C=0（A，B

不全为零）.那么，形如Ax+By+C=0（A，B

不全为零）的二元一次方程的图形是否为一条直线呢?我们通过下表来讨论这个问题.6465综上所述，方程Ax+By+C=0（A，B

不全为零）在平面直角坐标系中表示的是一条直线.我们把形如的二元一次方程称为直线的一般式方程.666.3两条直线的位置关系67实例考察已知两直线l1：y=x+1，l2：y=x+2.求它们的倾斜角，并作图说明l1，l2有什么关系.不难得到，两直线的斜率均为

，所以l1，l2的倾斜角也相等，均为60°.如图所示，由平面几何知识，同位角相等，两直线平行.故l1∥l2.从本例能否推出直线位置关系的一般规律呢?下面我们就来研究一下.68两条直线平行的判定如图所示，设直线l1和l2的倾斜角分别为α1和α2，斜率分别为k1和k2.如果l1∥l2，那么直线l1与l2的倾斜角相等，即α1=α2，则tanα1=tanα2，即k1=k2.因此，若l1∥l2，则k1=k2.69如果直线l1

与l2

不重合，且k1=k2，即tanα1=tanα2（α1，α2∈[0，π）），则α1=α2，得到l1∥l2.因此，若k1=k2，则l1∥l2.于是，对于两条不重合的直线l1

与l2，若它们的斜率分别为k1

与k2，则有若它们的斜率都不存在，那么它们的倾斜角均为90°，也有l1∥l2.70两条直线垂直的判定设两条直线l1

与l2

的倾斜角分别为α1与α2（α1，α2≠90°），l1

的方程为y=k1x+b1（k1≠0），l2

的方程为y=k2x+b2（k2≠0）.下面讨论当l1⊥l2

时，它们的斜率k1与k2

之间的关系.由下图a可得α1+（180°-α2）=90°，71则所以k1=-

，即k1·k2=-1.因此，对斜率都存在的两条直线l1

与l2，当l1⊥l2

时，必有k1·k2=-1.反之，当k1·k2=-1时，有k1=-

，则所以α1+（180°-α2）=90°，72即l1⊥l2.因此，有如果两条直线l1

与l2

的斜率一个等于0，另一个不存在，如上图b所示，显然，这两条直线也垂直.73相交直线的交点设平面内两条不重合的直线的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0.如果l1，l2

不平行，则必然相交于一点，交点的坐标既满足l1

的方程，又满足l2

的方程，是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1

与l2

的交点.因此，求两条相交直线的交点，只需解以下方程组：这个方程组的解就是l1

与l2

的交点坐标.74点到直线的距离如图所示，在平面直角坐标系中，已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0.过点P0作直线l的垂线P0Q，Q为垂足，则垂线段P0Q

的长度就是点P0到直线l的距离，记作d.可以证明，点P0（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离公式为756.4曲线和方程76实例考察下图a中：直线l的方程是

.若点A的坐标满足上述方程，则点A在直线l

；若点P为直线l上任意一点，则点P的坐标（x0，y0）满足方程

.因此，我们把直线l称为方程

的直线，把该方程称为直线l的方程.下图b中：二次函数y=x2

的图像是关于y轴对称的抛物线，这条抛物线是由所有以方程

的解为坐标的点组成.77曲线和方程的概念下面以上图b所示抛物线为例进行分析.二次函数y=x2

的图像是关于y轴对称的抛物线，这条抛物线由所有以方程x2-y=0解为坐标的点组成的.也就是说，如果点P（x0，y0）是这条抛物线上的点，则（x0，y0）一定是这个方程的解.反之，如果（x0，y0）是方程x2-y=0的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上.由此推广到一般情况：在平面直角坐标系中，如果某条曲线C（可以将其看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上点的坐标都是二元方程F（x，y）=0的解；同时以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C

上，那么，方程F（x，y）=0称为曲线C的方程，而曲线C是这个方程F（x，y）=0的曲线.78求曲线的方程以线段AB的中点O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标xOy（如图所示）.设丨AB丨=2a（a>0），则点A，B

的坐标分别为（-a，0），（a，0）.现设点P（x，y），由PA⊥PB，得kPA·kPB=-1，即整理得x2+y2=a2（x≠±a）.所以方程x2+y2=a2（x≠±a）就是点P

的轨迹方程.79由此，我们可以总结出已知平面曲线求曲线方程的主要步骤：（1）建立适当的平面直角坐标系；（2）设曲线上任意一点P（或动点）的坐标为（x，y）；（3）写出点P

的限制条件，即列出等式；（4）将点P的坐标代入等式，得方程F（x，y）=0；（5）化简方程F（x，y）=0（此过程应为同解变形）.由于化简过程是同解变形，所以可以省略证明“以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点”的过程.80求两条曲线的交点两条曲线（包括直线）的交点坐标也就是两条曲线的公共点的坐标.由曲线上点的坐标和其方程的解之间的关系可知，两条曲线交点的坐标，应该是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解.反之，方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；若方程组无实数解，则两条曲线就没有交点.因此，求两条曲线的交点就是求这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解.816.5圆82知识回顾在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线.那么，在平面直角坐标系中，该如何确定一个圆呢?圆是完美的几何图形.在初中，我们就比较系统地学过圆的知识，知道圆是平面内到一个定点C的距离等于定长r的动点的轨迹，定点C

称为这个圆的圆心，定长r称为这个圆的半径.圆上任意一点P到圆心C的距离丨PC丨=r.依照圆的定义，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.83圆的标准方程如图所示，在平面直角坐标系中，已知一个圆以点C（a，b）为圆心、r为半径，设P（x，y）是圆上任意一点，则丨PC丨=r.由两点之间的距离公式，可以得到关于点P

的坐标的关系式将上式两边平方，得84若点P（x，y）在圆上，由上述讨论可知，点P

的坐标满足方程①；反之，若点P的坐标（x，y）满足方程①，则表明点P到圆心C的距离为r，即点P

在以点C为圆心的圆上.所以方程①就是以点C（a，b）为圆心、r为半径的圆的方程.我们称这个方程为圆的标准方程.如果圆心在坐标系的原点，这时a=0，b=0，那么圆的标准方程就是85圆的一般方程下图中，已知圆的圆心为C（6，-5），半径r为4.由此，我们可以写出这个圆的标准方程（x-6）2+（y+5）2=16.将上面的方程展开并整理得x2+y2-12x+10y+45=0.我们把方程x2+y2-12x+10y+45=0称为这个圆的一般方程.86通常，如果形如的方程能够表示一个圆，我们就把它称为圆的一般方程.需注意的是，与方程③类似的方程并不是都能表示一个圆.例如方程x2+y2-6x+4y+15=0，经配方得（x-3）2+（y+2）2=-2.由于这个方程无解，也就是说不存在点的坐标（x，y）满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形.又如方程x2+y2+8x-2y+17=0，经配方得（x+4）2+（y-1）2=0.由于这个方程只有一组解，即x=-4，y=1，所以这个方程表示的图形是一个点，即点（-4，1）.87直线与圆的位置关系已知圆C的半径为r，设圆心C到直线l的距离为d.1.直线和圆有两个公共点，称为直线与圆相交（如右图a），这时直线称为圆的割线.直线l与圆C

相交⇔d<r.2.直线和圆有唯一公共点，称为直线与圆相切（如右图b），这时直线称为圆的切线，唯一公共点称为切点.直线l与圆C相切⇔d=r.3.直线和圆没有公共点，称为直线与圆相离（如右图c）.直线l与圆C相离⇔d>r.88以上应用了几何方法判定直线与圆的位置关系.在平面直角坐标系中，圆的圆心为C（a，b），直线l的方程为Ax+By+C=0，则圆心C到直线l的距离d为比较d与r的大小，即可判定直线与圆的位置关系.应用代数方法，从联立方程组的解的个数，也能判定直线与圆的位置关系.通过方程组中的第一式用含有x的式子表示出y，代入第二式，得出一个关于x的一元二次方程，由这个一元二次方程的判别式Δ的符号就能判定直线与圆是相交、相切还是相离.89我们把上述讨论的直线与圆的位置关系及判定方法总结如下：90如图a所示，设直线l：Ax+By+C=0与圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2相交于P和Q两点，则线段PQ为圆的一条弦.求这条弦的长度丨PQ丨.如图b所示，因为圆心C与弦PQ

的中点R

的连线垂直且平分弦PQ，所以91圆的参数方程我们前面学习了直线的方程Ax+By+C=0（A，B

不全为零）和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）.直线和圆的方程都可以表示为F（x，y）=0的形式.方程F（x，y）=0描述了曲线上任一点的坐标x，y之间的关系，习惯上，我们把方程F（x，y）=0称为曲线的普通方程.92如图所示，设圆心在原点、半径为r的圆O与x轴的正半轴的交点是A.设在圆上的点从点A

开始按逆时针方向运动到达点P，∠AOP=θ，则点P

的位置与旋转角θ有关.当θ确定时，点P在圆上的位置也就确定了.点P

在圆上的位置是随θ的变化而变化.点P

的横坐标与纵坐标都是θ的函数，由三角函数的定义得并且对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P（x，y）都在圆O

上.93方程组①称为圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，其中θ是参数.一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点P

的坐标x，y都是某个变量t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点P（x，y）都在这条曲线上，则方程组就称为这条曲线的参数方程.变量t称为参变数，简称参数.94由上述讨论可知，圆心在原点O、半径为r的圆的参数方程为圆心为C（a，b）、半径为r的圆可以看成是由圆心为原点O、半径为r的圆沿向量v=（a，b）平移得到的（如图所示）.此时，圆的参数方程为95将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，它们都表示曲线上任意一点的坐标之间的关系.曲线的参数方程

消去参数t后即化为曲线的普通方程，但要注意的是消参数的过程中一定要保证不使方程的取值范围发生改变.966.6椭圆97实例考察观察下面图片中所显示的曲线，你能说出生活中存在的类似的曲线吗?一杯水如图所示水杯的杯口为圆形，杯中盛有水.竖直放置时，杯中水面的轮廓为圆形；现将杯口倾斜（无水溢出），观察杯中水面轮廓形成的曲线.这一曲线与圆相比具有什么特征?一条曲线取一根没有伸缩性的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1

和F2

两点，且使绳长大于F1

和F2

之间的距离.用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，笔尖就画出了如图所示的一条曲线.98椭圆的定义及其标准方程实例考察中，上图中杯中水面的轮廓和上图中画出的曲线都是椭圆.分析上面的作图方法不难看出，椭圆上的任意一点到点F1

和F2

的距离之和为定值.我们定义：99下面，我们来建立椭圆的方程.如图所示，以过焦点F1，F2

的直线为x轴，线段F1F2

的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.设P（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0，c称为椭圆的半焦距），那么，焦点F1，F2

的坐标分别是（-c，0），（c，0）.又设点P与F1，F2

的距离之和等于常数2a（a>0），于是有100应用两点间的距离公式，并把P，F1

和F2

的坐标代入，得整理得由椭圆的定义可知，2a>2c，即a>c>0，所以a2-c2>0.为了使方程变得简单整齐，可令a2-c2=b2（b>0），则方程变为两边同除以a2b2，得101这个方程称为椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）和F2（c，0），其中a2=b2+c2.如果以经过两个焦点F1和F2的直线为y

轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，如图所示，用同样的方法，可得椭圆的方程为这个方程是一个焦点在y

轴上的椭圆的标准方程，焦点为F1（0，-c）和F2（0，c），其中a，b，c之间仍然满足a2=b2+c2.102椭圆的几何性质1.范围从椭圆的标准方程可知，，因此，，从而可得-a≤x≤a.同理可得，，于是有-b≤y≤b.这说明，椭圆位于四条直线x=-a，x=a，y=-b，y=b所围成的矩形框里，如图所示.1032.对称性在椭圆的标准方程中，将y

换成-y，方程不变.这说明，当点P（x，y）在椭圆上时，其关于x轴的对称点P1（x，-y）也在椭圆上.因此，椭圆关于x轴对称.同理，将x换成-x，方程不变.这说明，当点P（x，y）在椭圆上时，其关于y轴的对称点P1（-x，y）也在椭圆上.因此，椭圆关于y轴对称.进一步，将x换成-x，同时将y换成-y，方程不变.这说明，当点P（x，y）在椭圆上时，其关于原点O

的对称点P1（-x，-y）也在椭圆上.因此，椭圆关于原点O对称.综上所述，椭圆关于x轴对称，又关于y轴的对称，也关于原点对称.我们把x轴与y轴称为椭圆的对称轴，坐标原点O

称为椭圆的对称中心（简称中心）.1043.顶点在椭圆的标准方程

中，令y=0，得x=±a.这说明，椭圆与x轴有两个交点A1（-a，0）和A2（a，0）.同理，令x=0，得y=±b.这说明，椭圆与y轴有两个交点B1（0，-b）和B2（0，b），如图所示.我们把椭圆与它的对称轴的四个交点A1，A2，B1，B2称为椭圆的顶点.线段A1A2

和B1B2称为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.显然，椭圆的焦点的它的长轴上.值得注意的是，由于a，b，c满足关系式a2=b2+c2，所以长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形.如图所示，Rt△B2F2O

直观地反映了a，b，c三者之间的关系.1054.离心率我们把椭圆的焦距2c与长轴长2a之比

称为椭圆的离心率，记作e，即因为a>c>0，所以0<e<1.容易看出，e越接近于1，c越接近于a，从而

越小，椭圆就越扁；反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，椭圆就越接近于圆.因此，离心率e的大小反映了椭圆的扁平程度.同样，我们可以得到椭圆

的几何性质.106椭圆的几何性质，总结如下表.107借助上表所列的几何性质可以画出椭圆的草图.其步骤是：1.根据椭圆的标准方程标出四个顶点；2.过这四个顶点作坐标轴的平行线，得到椭圆的界定矩形；3.用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆，连接时要注意椭圆的对称性及顶点附近的平滑性.108椭圆的参数方程我们知道在同角三角函数基本关系式中有恒等式cos2θ+sin2θ=1，且椭圆的标准方程为因此，可以令（θ

为参数）这就是椭圆的参数方程.其中，常数a，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.根据椭圆的参数方程，椭圆上任一点的坐标可设成（acosθ，bsinθ），这为解决椭圆问题提供了一条新的途径.

1096.7双曲线110实例考察观察下面的图片中所显示的曲线，你能说出生活中存在的类似的曲线吗?电站通风塔电站通风塔（如图所示）轴心线的平面与塔的侧轮廓面的交线是条什么样的曲线?它有什么特征?111一条曲线取两个小钉，相距2c（c>0）钉在平板上，再取两段长度之差为定长2a（0<a<c）的绳子，两绳的一端分别系在两个小钉上，另一端放在一起打成绳结.用该绳结套住笔尖，右手握笔顺势转动，笔尖在平板上画出一条曲线.交换系在小钉上的两绳端点，可以画出另一支曲线（如图所示）.112双曲线的定义和标准方程显然，如图所画曲线的特点是，其上任意一点到点F1

和F2的距离之差的绝对值相等.我们定义：113与椭圆类似，以过焦点F1，F2

的直线为x轴，线段F1F2

的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图所示）.设P（x，y）是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0，c称为双曲线的半焦距），则两个焦点的坐标分别为F1（-c，0）和F2（c，0）.114又设点P

与F1，F2的距离之差的绝对值为2a（0<a<c），即由两点间的距离公式得所以整理得115由于0<a<c，所以c2-a2>0.令c2-a2=b2（b>0），代入上式，得两边同除以a2b2，得这个方程称为双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上的双曲线，其中a，b，c之间的关系是c2=a2+b2.116如图所示，如果以经过两个焦点F1和F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x

轴，用同样的方法可得双曲线的方程为这个方程是焦点在y轴上的双曲线的标准方程，其中a，b，c间的关系仍然为c2=a2+b2.117双曲线的几何性质1.范围从双曲线的标准方程可知，，因此，，从而可得x≤-a或x≥a.这说明，双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧，如图所示.1182.对称性类似于前面关于椭圆对称性的研究，借助双曲线的标准方程=1可以发现，双曲线关于x轴、y轴对称，也关于原点对称.我们把x轴与y轴称为双曲线的对称轴，坐标原点O

称为双曲线的对称中心（简称中心）.1193.顶点在双曲线的标准方程=1中，令y=0，得x=±a.这说明，双曲线与x轴有两个交点A1（-a，0）和A2（a，0），如上图所示.我们把双曲线与它的对称轴的两个交点A1，A2称为双曲线的顶点.线段A1A2

称为双曲线的实轴，它的长等于2a，a是双曲线的实半轴长.显然，双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上.在双曲线的标准方程=1中，令x=0，得y2=-b，这个方程没有实数解，因此，双曲线与y轴没有交点.但我们仍将点B1（0，-b）和B2（0，a）画在y轴上，如上图所示.把线段B1B2称为双曲线的虚轴，它的长等于2b，b是双曲线的虚半轴长.1204.渐近线经过点A1，A2分别作y轴的平行线x=-a，x=a，经过点B1，B2分别作x轴的平行线y=-b，y=b，这四条直线围成一个矩形，如图所示，则矩形的对角线所在直线的方程为从图中可以看出，当双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近，但又永远不相交.我们把这两条直线y=±x

称为双曲线的渐近线.1215.离