四川自贡市普通高中2026届第三次诊断性考试数学试题

四川自贡市普通高中2026届第三次诊断性考试数学试题一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=1−i，则复数1zA．12 B．−12 C．12．设集合A=x∈N0≤x<6，B=A．1,2 B．0,1,2 C．1,2,3 D．0,1,2,33．若e1,e2是夹角为π3A．π6 B．π3 C．2π34．函数fxA． B．C． D．5．已知二项式ax+1x5的展开式中所有项的系数和为32，若ξ∼Nμ,4且A．1 B．32 C．2 D．6．已知各项为正数的数列an的前n项和为Sn，a1=1且SnA．4052 B．4051 C．2027 D．20267．已知函数fx的定义域为R，∀x，y∈R，fx=fA．f0=0 C．fx+1<fx8．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0），l为C的一条渐近线，若双曲线CA．3 B．2 C．3 D．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．已知等比数列an的前n项和为Sn且公比q>0，若a1A．q=32 C．log2an是等差数列 10．函数fx=2lnA．若a=−b=1，则x=1为fxB．若f'1C．若a=0，fx在2,+∞D．若a≤0，b=0，则fx11．已知O为坐标原点，动点M到点F1,0的距离比它到直线x+3=0的距离小2，记动点M的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A，B两点（点A在第一象限），且AFA．直线AB的方程为y=B．△AOB的面积为8C．ABD．若曲线y=kx−1（k>0）与C在第一象限相交于P、Q且∠POF=2∠QOF，则三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知事件A，B相互独立，PA=13，P13．已知f(x)=b+cos(ωx−π4)（2<ω<3）的图象关于点(−π14．三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的表面上，若PA=AC=PC=1，BC=PB=2，AB=3，则球O的表面积为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=7，c（1）求角C的大小；（2）若△ABC是锐角三角形，AC边上的高为332，求16．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a的值；（2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在19,21内的株数为X，求X的分布列及数学期望EX17．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=3，AD=5，点E在线段CD上，且DE=2，AE⊥CD.将三角形DAE沿AE翻折至四边形D'AE，使得平面D'AE（1）证明：BC⊥D（2）动点M在线段AB上运动，当M到平面D'AE的距离为33时，求平面D18．已知椭圆C：x2a2+y2b（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过右焦点F斜率为k（k>0）的直线l与椭圆C相交于B，D两点（点B在x轴上方），点S，T是椭圆C上异于B、D的两点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD.（ⅰ）求BSDS（ⅱ）动点M与两定点H、E的距离之比MHME=λ（λ>0，λ≠1），λ是一个常数，那么动点M的轨迹称为阿波罗尼斯圆，且圆心在直线HE上，将点S，F，T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为81π819．函数fx（1）若a=12，求（2）当x>1时fx<0恒成立，求（3）设an=n+1−n，T

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】A,C10．【答案】B,C,D11．【答案】A,C,D12．【答案】413．【答案】−214．【答案】13π15．【答案】（1）解：由bsinB=因为csinB=bsin又因为b≠0，所以sinC=化简得sinC=3cos因为0<C<π，所以C=π（2）解：如图，BD=33在Rt△BCD中，sinC=BDa由c2=a2+b2−2abcos当b=1时，cosA=b2+c当b=2时，cosA=4+7−92×2×所以b=2．​​​​​​16．【答案】（1）解：依题意，可得0.05+0.075+a+0.15+0.1×2=1，

解得a=0.125（2）解：由（1）可得，高度在19,21的频率为0.125×2=0.25，则X∼B4,0.25所以PX=0=3PX=2=PX=4则X的分布列为：X01234P81272731所以EX17．【答案】（1）证明：由题意，得AE⊥D'E所以∠D'EC是二面角D'−EA−C因为D'E∩EC=E，D'E，EC⊂平面D'EC，由题意，得D'E=DE=2，EC=1，

由余弦定理，可得又因为D'C2取AB中点F，连接FC，因为EC//AF，且EC=AF=1，所以四边形ECFA是平行四边形，则EA//CF，所以CF⊥平面D'EC，

以C为原点，CD，CF，CD'分别为x，则A1,1,0，B−1,1,0，C0,0,0，D'0,0,所以BC=1,−1,0，则BC⋅所以BC⊥D（2）解：设Ma,1,0所以EA=0,1,0，ED设平面D'AE的法向量为则EA⋅n1=0ED'⋅n1=0所以，点M到平面D'AE的距离解得a=13，此时设平面D'CM的法向量为则CD'⋅n2=0CM⋅n2=0所以cosn则平面AED'与平面D'18．【答案】（1）解：由右焦点F2,0，得由e=ca=12，得a=2c=2则椭圆C的标准方程为x2（2）解：（ⅰ）因为SF平分∠BSD，

所以∠BSF=∠DSF，则S△SBF又因为S△SBFS△SDF令BFDF=μ，μ>0，则设Dx0,y0，FD=x因为B，D两点在椭圆上，所以x02则3x02整理得μ+15μ−3−又因为μ>0，所以5μ−3−2μx因为直线l的斜率k>0，点B在x轴上方，所以x0则15−2x则BSDS的取值范围1（ⅱ）由（ⅰ）知，SBSD由阿波罗尼斯圆的定义知，点S，F，T在以BD为顶点的阿波罗尼斯圆上，

设该圆圆心为C1，半径为r，与直线l的另一交点为N则BFDF=NBND，所以BFDF因为△SFT外接圆的面积为81π8，所以S圆C1=πr2又因为DF=所以1解得x0=−2则k=−所以，直线l的方程为y=519．【答案】（1）解：当a=12时，f(x)=x−(x+1)令f'(x)=1−当0<x<1时，F'(x)>0，当x>1时，F'(x)<0，则∀x>0，f'(x)≤f'(1)=0则函数fx的单调递减区间为(0,+（2）当a≥12时，f'当0<x<2a时，F'(x)>0，当x>2a时，F'(x)<0，因为a≥12，所以则f(x)在(1,+∞)单调递减，所以当a≤0时，x=e，f(e)=e当0<a<12时，由0<a<12，得0<34+a2<1，则f(32−a)=下证不等式lnx≤x−1，∀x>0令g(x)=x−1−lnx，x>0，则当1>x>0时，g'(x)<0，当x>1时，g'(x)>0，则∀x>0，g(x)≥g(1)=0，所以不等式成立，综上所述，