人教版必修简单线性规划学案含答案

3.5.2简朴线性规划（二）

自主学习

□知识梳理

1.用图解法解线性规划问题的环节：

（1）分析并将已知数据列出表格：（2）确定线性约束条件；（3）确定线性目的函数；（4）画出

可行域：（5）运用线性目口勺函数（直线）求出最优解：根据实际问题的需要，合适调整最优解（如

整数解等）.

2.在线性规划的实际问题中，重要掌握两种类型：一是给定一定数星H、J人力、物力资

源，问怎样运用这些资源能使完毕日勺任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问

怎样统筹安排，能使完毕的这项任务花费的人力、物力资源最小.

3.线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题运用图形直观、形

象、简便地寻找出来.

□自主探究

结合下面U勺详细问题想一想，在什么状况下，目U勺函数的最优解也许有无数多种？

y

C（4,2）

4（1J）fl（5,l；i

~O5

在如图所示的坐标平面U勺可行域内（阴影部分且包括边界），目的函数z=x+av获得最小

值的最优解有无数个，则。的一种也许值为（）

A.—3B.3C.—1D.1

对点讲练

知识点一实际应用中的最优解问题

【例1】某家俱厂有方木料90nR五合板600m2,准备加工成书桌和书橱发售.已知生

产每张书桌需要方木料0』nf,五合板2m2,生产每个书橱需要方木料0.2五合板1m2,

发售一张方桌可获利润80元，发售一种书橱可获利润120元.

(1)假如只安排生产书桌，可获利润多少？

(2)假如只安排生产书橱，可获利润多少？

(3)怎样安排生产可使所得利润最大？

总结运用图解法处理线性规划实际问题，要注意合理运用表格，处理繁杂的数据；另

首先约束条件要注意实际问题口勺规定，假如规定整点，则用逐渐平移法脸证.

变式训练1某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲

产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，

电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元：但每天用煤量不

得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品

吨，乙产品吨时，既能保证完毕生产任务，又能使工厂每天口勺利润最大.

知识点二实际应用中的最优整数解问题

【例2】要将两种大小不同样的钢板截成4、B、C三种规格，每张钢板可同步截得三种

规格的小钢板U勺块数如下表所示:

型

A规格8规格。规格

钢板类型

第一种钢板211

第二种钢板123

今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，间各截这两种钢板多少张可得

所需三种规格成品，且使所用钢板张数至少？

总结在实陆应用问题中，有些最优解往往需要整数解（例如人数、车辆数等）而直接根

据约束条件得到口勺不一定是整数解，可以运用枚举法脸让求最优整数解，或者运用平移直线

求最优整数解.最优整数解有时并非只有一种，很也许是许多种，应详细状况详细分析.

变式训练2某企业招收男职工x名，女职工>'名，x和y需满足约束条件

5x-lly>-22,

*2r+3y>9,则Z=10A+10），的I最大值是.

、2xWll,

⑥课堂小结

1.解答线性规划日勺实际应用问题应注意的问题:

（1）在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要;

获得最大值口勺最优解有无穷多种，则。［总值为（）

A.；B.|

C.4D.j

3.某企业有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按规定对项目甲的投资不不不小

于对项目乙投资的1倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获

得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元H勺利润，该企业对的规划投资后,

在这两个项目上共可获得的最大利润为（）

A.36万元B.31.2万元

C.30.4万元D.24万元

4.如图所示，目口勺函数z=匕—y的可行域为四边形0ABe，仅点8（3,2）是目的函数的

最优解，则攵的J取值范围为（）

2

-

-3

4

-一

二

二、填空题

5.某企业租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品，甲种设备每天能生产4类产品5

件和8类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和8类产品20件.已知设备甲每

天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该企业至少要生产A类产品5。件,

8类产品140件，所需租赁费至少为元.

6.已知平面区域。由以41,3)、8(5,2)、C(3,l)为顶点的三角形内部和边界构成.若在

区域D上有无穷多种点(x,y)可使目的函数z=x+/〃y获得最小值，则〃?=.

三、解答题

7.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目也许的最大盈利率分别

为1(X)%和50%,也许口勺最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万

元，规定保证也许口勺资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,

才能使也许的盈利最大？

8.某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A、B

两种规格的金属板，每张面积分别为2nf与3nf.用一张A种规格的金属板可造甲种产品3

个，乙种产品5个；用一张8种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A、8两种规

格金属板各取多少张，才能完毕计划，并使总H勺用料面积最省？

3.5.2简朴线性规划(二)

自主探究

12-11

A［一厂广7=?・"=-3.

结论：当目H勺函数对应时直线通过可行域的一条边界时，最优解也许有无数多种.1

对点讲练

W11解由题意可画表格如下:

方木料(m。五合板(n?)利润阮)

书桌(个)0.1280

书橱(个)0.21120

⑴设只生产书桌x个，可获得利润z元,

0.1x^90

则|2AW600xW900

=>A<300.

xW30()

.z=80x

因此当工=30()时，Zmax=80X300=24000(70),

即假如只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润2400()元.

(2)设只生产书橱)，个，可获利润z元，

0.25<90

「

则")W600W450

l)W600=)W450.

2=120)，

因此当y=450时,zmax=120X450=54000(元).

即假如只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元.

"0.1x+0.2)W90

2x+)W600

⑶设生产书桌x张，书橱)，个，利润总额为z元，则<、八

°20

>+2.yW90(),

2x+yW600,

=><

x20,

、y20.

z=80x+120)，.

在直角坐标平面内作出上面不等式组所示的平面区域，即可行域.

作直线/：80x+120y=0,即直线/：2v+3v=0.

把直线/向右上方平移至人的位置时，直线通过可行域上的点M,此时z=80r+12Qy

获得最大值.

卜+2y=900,

[2x+y=600

解得点M日勺坐标为(100,400).

因此当x=100,y=400时，

Znm=80X100+120X400

=56000(元).

因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大.

变式训练I2024

解析

设每天生产甲产品X吨，乙产品），吨，总利润为S万元,

依题意约束条件为:

〃9x+4yW300

4x+5)<200

<3x4-10><300

x215

、后15

目的函数为5=7x+\2y

从图中可以看出，当直线S=7x+12y通过点A时，直线日勺纵截距最大，因此5也取最

大值.

4x+5)，-200=0

解方程组

3x+lOy-300=0

得4（20,24）,故当x=20,y=24时，

Smax=7X20+12X24=428（万元）

m21解设需截第一种钢板X张，第二种钢板y张.

'2x+y215

x+2y218

x+3y227

、x20,y20

作出可行域（如图）：（阴影部分）

O\246Ui012J4l61^22242628x

2x+y=15x+r=12x+2y=：8

目时函数为z=x+y

作出一组平行直线x+y=r,其中通过可行域内的点且和原点距离近来的直线，通过直

线x+3y=27和直线2x+y=15的交点、A（g,斗），直线方程为x+y=y.由于争喏都不是

整数，而最优解(x,〉，)中，X,y必须都是整数，因此可行域内点(号，3不是最优解.通过

可行域内的整点且与原点距离近来的直线是x+y=12,通过的整点是8(3,9)和。(4.8),它们

都是最优解.

答要截得所需三种规格FI勺钢板，且使所载两种钢板的张数至少H勺措施有两种：第一种

截法是截笫一种钢板3张、笫二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二科钢板

8张.两种措施都至少要截两种钢板共12张.

变式训练290

解析

/II介

该不等式组体现平面区域如图阴影所示，由于X,)€N*,计算区域内与点(了，习近来

的整点为(5,4),当x=5,y=4时，z获得最大值为90.

课时作业

1.A

32

2.B［由y=—"+z知当一4=&AC时，最优解有无穷多种.・・・攵共=一9•••〃=£!

3.B［设投资甲项目工万元，投资乙项目)，万元，

G+yW60,

可获得利润为z万元，则<“"袁’

G5,

、代5,

z=0.4x+0.6），.

由图象知，目日勺函数z=0.4x+0.6y在A点获得最大值.

・»max=0.4X24+0.6X36=31.2（万元）.]

4.C[y=^-z.若A0,则目的函数的最优解是点44,0）或点C（0,4）,不符合题意.

・・・收0,・・・只有点（3,2）是目的函数的最优解.

2

k.AH<k<knCy即—2<k<—y]

5.2300

[5x+6y250,

10,r+20y^l40,

解析设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则<x

xEN,

目日勺函数为z=200,v+300y.

作出其可行域，易知当x=4,尸5时，2=200.1+300），有最小值2300元.

6.1

解析如图所示，目的函数可化为尸一%+东

若〃?>0,则Z的最小值对应截距的最小值，可知〃7=1,满足题意；

若〃?<0,则z的最小值对应截距的最大值，机=-1及一2均不合题意.

7.解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知

\+产10,

O.3x+O.lyWL8,

GO,

、y20.

目日勺函数z=x+0.5v.

上述不等式组体现的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.

作直线/o：x+（）.5y=0,并作平行于直线/（）日勺一组直线x+0.5y=z,z£R,与可行域相

交，其中有一条直线通过可行域上日勺M点，且与直线rH）.5y=0时距离最大，这