第二章++第16课时++函数的零点与方程的解+课件-2027届高三数学一轮复习

第16课时函数的零点与方程的解第二章函数的概念与性质[考试要求]1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(

)以题引理·激活思维√A

[根据二分法的概念可知选项A中的函数不能用二分法求零点．]

√

3．(北师大版必修第一册P132练习T3(2)改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(

)A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)B

[函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)f(2)<0，故f(x)的零点所在的区间为(1，2)．]√x1234567f(x)－4－2142－1－34．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(

)A．(1，2) B．(2，3)C．(5，6) D．(6，7)√√BC

[由所给的函数值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(6)f(7)>0，∴函数f(x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)．故选BC．]5．(人教A版必修第一册P156习题4.5T13改编)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为_____________．

1．函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使______________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有____⇔函数y＝f(x)的图象与____有公共点．f(x)＝0零点x轴3．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有_______________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．提醒：函数f(x)的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的解．连续不断f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝04．二分法对于在区间[a，b]上图象________且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点．连续不断f(a)f(b)<0零点1．确定零点所在区间的方法：定理法、数形结合法．2．若连续不断的函数f(x)在[a，b]上是单调函数，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且仅有一个零点．3．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．

精研考点·提升素养√√

名师点评：确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点．[巩固迁移]1．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(

)A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内√A

[函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0．所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．]2

[法一：∵2<a<3，∴f(x)＝logax＋x－b为定义域上的增函数，∵2<a<3<b<4，∴loga2<1<loga3，－2<2－b<－1，－1<3－b<0，∴f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴f(2)·f(3)<0．由x0∈(n，n＋1)，n∈N*，得n＝2．2．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．2法二：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以当函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2．]考点二

确定函数零点的个数[典例2]

(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(

)A．1 B．2C．3 D．4(2)(2021·北京卷)已知f(x)＝|lgx|－kx－2，给出下列四个结论：①若k＝0，则f(x)有两个零点；②∃k<0，使得f(x)有一个零点；③∃k<0，使得f(x)有三个零点；④∃k>0，使得f(x)有三个零点．以上正确结论的序号是____________．√①②④(1)C

(2)①②④

[(1)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．当x>0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有1个零点．根据对称性知，当x<0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3．(2)将问题转化成两个函数y1＝|lg

x|，y2＝kx＋2图象的交点问题．对于①，当k＝0时，|lg

x|＝2，两函数图象有两个交点，①正确；对于②，存在k<0，使y1＝|lg

x|与y2＝kx＋2相切，②正确；对于③，若k<0，y1＝|lg

x|与y2＝kx＋2的图象最多有2个交点，③错误；对于④，当k>0时，过点(0，2)可作曲线y＝g(x)＝lg

x(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于切线的斜率时，就会有3个交点，故④正确．]名师点评：求解函数零点个数问题的基本方法有直接法、定理法、图象法．其中，图象法一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．

√

√C

[画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f(x)的图象交点的个数，由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象只有一个交点；当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点；当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有三个交点；所以直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象不可能有两个交点．故选C．]

√

√A

[若函数g(x)＝f(x)－a恰有3个零点，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有3个交点，f(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1(x≤0)，当x＝0时，f(x)＝3，当x＝－2时，f(x)＝－1，作出函数y＝f(x)的图象如图所示，结合图象可得－1<a≤3．故选A．]

[－1，＋∞)[－1，＋∞)

[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1．]考向2

根据函数零点范围求参数[典例4]

(1)(2026·辽宁抚顺模拟)函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(

)A．[－4，1) B．(－4，1]C．[－1，4) D．(－1，4]√

√

(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，即函数f(x)与函数g(x)的图象在区间[－5，5]上有8个交点，由f(x＋2)＝f(x)知，f(x)是R上周期为2的函数，作函数f(x)与函数g(x)在区间[－5，5]上的图象，如图所示，名师点评：已知函数零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．[巩固迁移]4．(2025·北京昌平区二模)若函数f(x)＝x|x－2a|－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围为(

)A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1，1)C．(－1，0)∪(0，1)D．(－∞，－1)∪(0，1)√

5．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．

一、单项选择题1．函数y＝(x－2)(2x＋1)的零点是(

)A．2 B．(2，0)C．－2 D．2或－1A

[令y＝(x－2)(2x＋1)＝0，因为2x＋1>1>0，所以x－2＝0，即x＝2．]题号135246879101112131415课后作业(十六)函数的零点与方程的解√16题号2134568791011121314152．用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)≈－0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈－0.04，关于下一步的说法正确的是(

)A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.1875)D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.0625)√16

题号213456879101112131415163．(2025·广东广州一模)函数f(x)＝2x3＋3x－7的一个零点所在的区间是(

)A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)题号213456879101112131415√16B

[y＝2x3和y＝3x－7都是增函数，所以函数f(x)＝2x3＋3x－7为增函数，且f(0)＝－7<0，f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(2)＝16＋6－7＝15>0，则f(1)f(2)<0，所以函数在区间(1，2)存在唯一零点，此函数的零点所在区间为(1，2)．故选B．]题号213456879101112131415164．(2025·山西晋城三模)若函数f(x)＝－3x－x＋a在(0，1)内有零点，则实数a的取值范围为(

)A．(1，4) B．(－4，0)C．(0，4) D．(－∞，4)题号213456879101112131415√16A

[易知函数f(x)＝－3x－x＋a在(0，1)内连续且单调递减，又因为函数f(x)＝－3x－x＋a在(0，1)内有零点，所以f(0)f(1)＝(a－1)(a－4)<0，解得1<a<4，所以实数a的取值范围为(1，4)．故选A．]题号213456879101112131415165．(2026·河南郑州模拟)若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，则f(x)在(－2，2)内的零点个数至少为(

)A．5 B．6C．7 D．8题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16C

[由题知函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝(－x)2＋a|－x|＋a2－4＝x2＋a|x|＋a2－4＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，又因为函数f(x)＝x2＋a|x|＋a2－4有唯一零点，根据零点关于y轴对称，得出f(0)＝a2－4＝0，所以a＝±2，当a＝2时，函数f(x)＝x2＋2|x|＝0有唯一零点，符合题意；当a＝－2时，函数f(x)＝x2－2|x|＝0有零点0，2，－2，不符合题意，舍去．故选C．]题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516二、多项选择题9．已知函数f(x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则(

)A．当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点B．当g(x)有3个零点时，f(x)只有1个零点C．当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点D．当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点题号213456879101112131415√16√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516题号21345687910111213141516(－2－a，b)在f(x)＝x2＋2x，x<－2的图象上，要想满足(a，b)同时在f(