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文档简介

《线性代数A》练习题练习题说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。一、单项选择题1.已知=3，那么=（）A．-24B．-12C．-6D．122.二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+4x32-2tx2x3正定，则t满足（）A．-4<t<-2B．-2<t<2C．2<t<4D．t<-4或t>43.若A=，B=，C=，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（）A．ABCB．ACTBTC．CBAD．CTBTAT4.设矩阵A的伴随矩阵A*，则A-1=（）A．B．C． D．5.设齐次线性方程组有非零解，则为（）A．-1B．0C．1D．26.若四阶方阵的秩为3，则（）A．A为可逆阵 B．齐次方程组Ax=0有非零解C．齐次方程组Ax=0只有零解 D．非齐次方程组Ax=b必有解7.设A为3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=（）A．0B．1C．2D．38.下列矩阵是正交矩阵的是（）A．B．C． D．9.设A为3阶矩阵，|A|=1，则|-2AT|=（）A．-8B．-2C．2.D．810.设矩阵A=正定，则（）A．k＞0B．k≥0C．k＞1D．k≥1二、填空题1.已知A=，则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.2.向量α=（3，2，t,1）β=(t,-1,2,1)正交，则t=__________.3.二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3的秩为_________.4.若ad≠bc，A=，则A-1=__________.三、计算题1.已知3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，设B=A2+2A-E，求（1）矩阵A的行列式及A的秩.（2）矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.2.设矩阵A=，求矩阵A的全部特征值和特征向量3.求行列式D=的值.4.计算三阶行列式.四、证明题1.若n阶方阵A的各列元素之和均为2，证明n维向量x=(1,1,…,1)T为AT的特征向量，并且相应的特征值为21.已知n阶矩阵A，B满足A2=A，B2=B及(A-B)2=A+B，证明AB=0.参考答案一、单项选择题BBDCABCAAC二、填空题1.-22.3.24.三、计算题1.解：（1）由于A的特征值为-1，1，2，故=（-1）×1×2=-2因为，所以r（A）=3（2）B的三个特征值分别为所以，与B相似的对角矩阵为2.解：令得特征值λ1=λ2=1，λ3=-2（1）当λ1=λ2=1时，得对应于λ1=λ2=1的全部特征向量（2）当λ3=-2时，得对应于λ3=-2的全部特征向量3.原式4.原式==6四、证明题1.证：因A的各列元素之和为2故（1，1，1，…….,1）A=(2，2，2………,2)即ATx=2x故x为AT的特征向量，相应的特征值为22.证：因再由(A-B)2=A+B(A-B)3=(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)展开得A2+BA-AB-B2=A2-BA+AB-B2,从而BA-AB=-BA+AB，即AB=BA因此AB

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