高中数学选修第二册教案4.3.2（第2课时）等比数列的前n项和的性质及应用 教案

4.3.2（第2课时）等比数列的前n项和的性质及应用教学设计课题等比数列的前n项和的性质及应用单元第一单元学科数学年级高二教材分析《等比数列前n项和》是2019人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。本节教材的编排与《等差数列前n项和》类似，也利用等比数列的通项公式和性质导出前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。最后举例说明前n项和公式在解决问题中的应用。教学目标与核心素养1数学抽象：等比数列的前n项和公式2逻辑推理：等比数列的前n项和公式的运用3数学运算：等比数列的前n项和公式的运用4数学建模：运用等比数列的前n项和公式解决实际问题5数据分析：从“等比数列的前n项和公式”到“等比数列的前n项和的性质”再到实际问题，最后到课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性、严密性及系统性重点等比数列前n项和公式及其应用难点运用等比数列解决实际问题教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课温故知新等比数列前n项和公式已知量aaa求和公式SSS思考1.类比等差数列，等比数列{an}的前n项和提示：1.①等比数列的前n项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q=1时是不同的公式形式，不可忽略q=1的情况②当q=1时，Sn=na1当公比q≠1时，等比数列的前nS它可以变形为S设A=a1是一个指数式与一个常数的和，且指数式的系数与常数项互为相反数.其中A复习导入复习旧知识，使学生更快地接受新知识，即加强新旧知识间的联系，同时又使整节课教学结构紧密。讲授新课拓展等比数列前n项和的性质1数列{an}是等比数列2若等比数列{an}的前nSn、（其中Sn、S2n-S3若等比数列{an}S4等比数列的项数是偶数时，S偶S等比数列的项数是奇数时，S奇-例10如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.解：设正方形ABCD的面积a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，⋯，aa由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以a因此，{an}是以25为首项，1设{an}的前n（1）S所以，当10个正方形的面积之和为25575512cm（2）当n无限增大时，Sn无限趋近于所有四方形的面积和a1S随着n的无限增大，12n将趋近于0，Sn所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.例11去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bnabS当n=5时，S所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.例12某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c（1）写出一个递推公式，表示cn+1与c（2）将（1）中的递推公式表示成cn+1-k=r(cn（3）求S10=c1+分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与c（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答.解：（1）由题意，得c1cn+1=1.08c（2）将cn+1-k=r(cn+1=rc比较①②的系数，可得r=1.08解这个方程组，得r=1.08所以，（1）中的递推公式可以化为c（3）由（2）可知，数列{cn-1250}是以-50为首项，c所以S课堂练习：1在数列{an}中，an+1=can（c提示：由题知，{a∴3n而3n的系数为13（同类巩固）若等比数列{an}中，Sn=m已知等比数列{an}的前n项和为Sn已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2数列{an}是首项为1，公比为2等比数列，其前n项和为Sn，若Sn+1分析：直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用求和公式的应用求出结果.解：数列{an}是首项为1故an=所以，S所以k=43（裂项求和）数列{an}，{bn}满足anbnA．413B．513C．839解：数列{an}，{bn}∴b∴{bn}的前S故选：D4（等比数列前n项和性质）各项均为正数的等比数列{an}中，若S解：法一设{an}的公比为q由已知条件可列出方程组S两式作商得1+q10=3∴S法二由性质Sn+mS20=S10∴q∴S法三运用性质Sn、∵S10、而S∴(即(∴S30法四由Sn=a1(1-q所以由已知S10=10，S故即101-q10=又S101-q105已知{an}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn（1）求q;（2）设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Tn，当n≥2时，试比较Tn解：（1）当q=1时，若S3=-3，则应有S6=-6，这与S由S6=两式相除，得1+q3=7（2）由题意知bT当n≥2时，Tn所以当2≤n≤9时，Tn>当n=10时，Tn=当n≥11时，Tn<你能说明理由吗？以正方形面积求和问题为背景，引导学生运用等比数列求和的知识解决问题。体会等比数列与指数函数的关系。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。以垃圾处理问题为背景，引导学生运用数列的知识解决问题。发展学生数学抽象