2.7.1 角的和与差及角平分线 同步课件

2.7.1角的和与差及角平分线第2章几何图形的初步认识1.结合具体图形，了解两个角的和与差的意义,并会进行角的和差运算，发展运算能力.2.了解角平分线的概念及其表示方法，通过折纸活动进一步理解角平分线的意义,积累数学活动经验,发展推理能力.两个角可以比较大小，也可以求出它们的和与差.如图2.7-1，在∠AOB的内部画射线OC.那么，∠AOB，∠AOC，∠COB之间有如下关系:∠AOB=∠AOC+∠COB,∠AOC=∠AOB-∠COB,∠COB=∠AOB-∠AOC.这就是用两个角的和与差表示第三个角.有一种特殊的情况：如果从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的角平分线.如图2.7-2，如果∠AOP=∠BOP，那么射线OP是∠AOB的平分线.反之，如果射线OP是∠AOB的平分线，那么∠AOP=∠BOP.有一种特殊的情况：如果从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的角平分线.请按下列步骤操作:(1)在半透明纸上画出∠AOB;(2)折纸，使角的两边重合;(3)把纸展开,以O为端点，沿折痕画射线OP.做一做射线OP是∠AOB的平分线吗?说说理由.解：射线OP是∠AOB的平分线.因为折纸操作过程就是把一个角分成两个完全重合的角，因此这两个角相等，沿折痕所画射线就是角平分线.知识点1角的和差1.如图.(1)∠

AOB

＝∠

AOD

＋

＝

＋∠

BOC

；∠

BOD

∠

AOC

(2)∠

BOD

－∠

BOC

＝

⁠.∠

DOC

3.计算：(1)90°－28°12'36″；【解】原式＝89°59'60″－28°12'36″＝61°47'24″.(2)180°－56°23'48″.【解】原式＝179°59'60″－56°23'48″＝123°36'12″.知识点2角的平分线4.[新考法·定义辨析法]如图，

AM

为∠

BAC

的平分线，下列等式中，错误的是(

C

)B.∠BAM＝∠CAMC.∠BAM＝2∠CAMD.2∠CAM＝∠BAC【点拨】

C【答案】5.[2023·乐山]如图，点

O

在直线

AB

上，

OD

是∠

BOC

的平

分线，若∠

AOC

＝140°，则∠

BOD

的度数为

⁠.(第5题)20°

知识点3角的运算6.如图，点

O

在直线

AB

上，射线

OC

平分∠

BOD

，若∠

COB

＝35°，则∠

AOD

等于(

C

)A.35°B.70°C.110°D.145°【点拨】C因为

OC

平分∠

BOD

，所以∠

BOD

＝2∠

COB

＝2×35°＝70°，所以∠

AOD

＝180°－70°＝110°，故选C.【答案】7.[新考法·方程思想]如图，已知∠

AOC

∶∠

AOB

＝1∶5，

OD

平分∠

AOB

，且∠

COD

＝36°，求∠

AOB

的度数.

易错点

对没有给出图形的题目考虑不全而漏解8.[新考法·分类讨论法]已知∠

AOB

＝70°，以

O

为端点作

射线

OC

，使∠

AOC

＝42°，则∠

BOC

的度数为(

C

)A.28°B.112°C.28°或112°D.68°C利用分类讨论求角的度数9.[2024·唐山路北区期末]如图，点

O

为直线

AB

上一点，∠

BOC

＝130°，

OM

平分∠

AOC

.

(1)求∠

AOM

的度数；

(2)作射线

OP

，若∠

BOP

与∠

AOM

的和为90°，求∠

COP

的度数.【解】因为∠

BOP

与∠

AOM

的和

为90°，∠

AOM

＝25°，所以∠

BOP

＝90°－∠

AOM

＝65°.当射线

OP

在∠

BOC

内部时，如图①，则∠

COP

＝∠

BOC

－∠

BOP

＝130°－65°＝65°；当射线

OP

在∠

BOC

外部时，如图②，则∠

AOP

＝180°－∠

BOP

＝180°－65°＝115°，所以∠

COP

＝∠

AOP

＋∠

AOC

＝115°＋50°＝165°.综上，∠

COP

的度数为65°或165°.利用整体思想求角的度数10.[2024·长沙明德中学模拟]如图，

O

是直线

AB

上一点，

OM

平分∠

AOC

，

ON

平分∠

BOC

.

(1)你能求出∠

MON

的度数吗？你能得出什么结论？

(2)如果∠

AOM

＝51°17'，求∠

BON

的度数.【解】∠

BON

＝∠

AOB

－∠

AOM

－∠

MON

＝180°－51°17'－90°＝38°43'.利用类比法探求角的关系11.[新考法·类比推理法]如图①，已知线段

AB

＝30

cm，

CD

＝4

cm，线段

CD

在线段

AB

上运动，

E

，

F

分别是

AC

，

BD

的中点.(1)若

AC

＝8

cm，则

EF

＝

cm；17

(2)当线段

CD

在线段

AB

上运动时，

EF

的长度是否发生变化？如果不变，请求出

EF

的长度；如果变化，请说明理由.

(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠

COD

在∠

AOB

内部转动，

OE

，

OF

分别平分∠

AOC

和∠

BOD

，则∠

EOF

，∠

AOB

和∠

COD

之间有何数量关系？给出理由.