2.7.2 余角和补角 同步课件

2.7.2余角和补角第2章几何图形的初步认识1.了解两角互余和两角互补的定义.2.通过探究了解“同角(或等角)的余角相等”“同角(或等角)的补角相等”并能利用这些性质进行角的计算，发展推理能力.OAB

要测量两堵墙所成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量?你能帮他解决这个问题吗？例如图，已知∠1＝103°24′28"，∠2＝30°54"，求∠1+∠2和∠1－∠2的度数.∠1+∠2＝103°24′28"＋30°54".103°24′28"＋30°54"133°24′82"所以∠1+∠2＝133°25′22".(82"＝1′22")解：∠1－∠2＝103°24′28"＋30°54".103°24′28"－30°54"73°23′34"所以∠1-∠2＝73°23′34"(24′28"＝23′88")解：已知∠α和∠β.如果∠α+∠β=90°，那么我们就称∠α与∠β互为余角，简称互余.其中，∠α(∠β)叫作∠β(∠α)的余角.如果∠α+∠β=180°，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补.其中，∠α(∠β)叫作∠β(∠α)的补角.做一做1.如果∠α=46°,那么它的余角是多少度,它的补角是多少度?2.(1)在图2.7-4(1)中,∠AOB=90°.请写出图中互为余角的角.(2)在图2.7-4(2)中,∠DSE=180°.请写出图中互为补角的角.解：（1）余角为90°-46°=44°补角为180°-46°=134°（2）∠AOC和∠BOC互为余角∠DSF和∠EDF互为补角大家谈谈如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等吗?请说明理由，并和同学互相交流.如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等.理由:因为∠1与∠α互余,所以∠1+∠α=90°.因为∠2与∠α互余,所以∠2+∠α=90°.所以∠1=90°-∠α,∠2=90°-∠α.所以∠1=∠2.用同样的方式可以说明:如果∠3和∠4都是∠β的补角，那么∠3=∠4.同角(或等角)的余角相等，同角(或等角)的补角相等.1.如图，已知∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°.请在∠1，∠2，∠3，∠4中找出相等的角，并试着说明理由.解：∠1=∠2，因为它们同为∠3的余角；∠3=∠4，因为它们同为∠1的余角。2.(1)请用一副三角板画出一个三角形，要求它的三个角都是利

用三角板的角(可运用角的和与差)画出的.(2)比较大家画出的三角形，其中最大的角是多少度？解：（1）利用角的和差画图即可.（2）最大的角是150°.知识点1余角和补角的定义1.若∠

A

＝40°，则∠

A

的余角的大小是(

A

)A.50°B.60°C.140°D.160°A2.如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的

度数是(

C

)A.50°B.70°C.130°D.160°【点拨】设这个角的度数是

x

°.根据题意，得

x

＝2(180－

x

)＋30，解得

x

＝130，即这个角的度数是130°.C3.将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是(

A

)A.∠α＋∠β＝180°－90°＝90°，∠α与∠β互余；

B.同角的余角相等，则∠α＝∠β，但∠α与∠β不一定互余；C.∠α＝∠β＝180°－45°＝135°，∠α与∠β不互余；D.∠α＋∠β＝180°，∠α与∠β不互余，故选A.【点拨】A【答案】知识点2余角和补角的性质4.如图，直线

AB

，

CD

交于点

O

，因为∠1＋∠3＝180°，

∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2.此判断的依据是

(

C

)A.同角的余角相等B.等角的余角相等C.同角的补角相等D.等角的补角相等C5.如图，点C，O，B在同一条直线上，∠AOB＝90°，∠1＝∠2，则下列结论：①∠EOD＝90°；②∠3＝∠4；③∠2＝∠3；④∠2＋∠3＝90°.其中正确的有(

C

)A.1个B.2个C.3个D.4个【点拨】

因为∠AOB＝90°，所以∠2＋∠4＝90°.又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠4＝90°，即∠EOD＝90°，故①正确；因为∠AOC＝180°－∠AOB＝90°，所以∠1＋∠3＝90°，所以∠3＝∠4，故②正确；因为∠EOD＝90°，所以∠2＋∠3＝180°－90°＝90°，∠2与∠3不一定相等，故③错误，④正确.综上，正确的有3个，故选C.C【答案】6.[情境题·2023·衢州·生活应用]如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠

O

的大小，需将∠

O

转化为与它相等的角(图中∠

CBO

＝∠

DAO

＝90°)，则图中与∠

O

相等的角是(

B

)A.∠

BEA

B.∠

DEB

C.∠

ECA

D.∠

ADO

B7.[2024·邯郸丛台区期末]如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为(

C

)A.α＋β＋γ＝90°B.α＋β－γ＝90°C.α－β＋γ＝90°D.α＋2β－γ＝90°【点拨】如图，由题意得α＋∠1＝∠1＋β＋∠2＝∠2＋γ＝90°，所以∠1＝90°－α，∠2＝90°－γ，所以β＝90°－∠1－∠2＝90°－90°＋α－90°＋γ＝α＋γ－90°，即α－β＋γ＝90°.故选C.C【答案】易错点

对余角和补角的定义理解不透彻致错8.[新考法·定义辨析法]下列说法中，正确的有

.(填序号)①钝角与锐角互补；②锐角∠α的余角是90°－∠α；③∠β的补角是180°－∠β；④若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余.②③

利用方位角及相关信息求钟面角的度数及时间9.如图，已知∠

AOB

＝20°，∠

AOE

＝86°，

OB

平分∠

AOC

，

OD

平分∠

COE

.

(1)∠

COD

的度数为

⁠.【点拨】因为∠

AOB

＝20°，

OB

平分∠

AOC

，所以∠

AOC

＝2∠

AOB

＝40°.又因为∠

AOE

＝86°，所以∠

COE

＝∠

AOE

－∠

AOC

＝46°.因为

OD

平分∠

COE

，23°

(2)若以点

O

为观察中心，

OA

为正东方向，射线

OD

在什么位置？【解】因为∠

AOD

＝∠

AOC

＋∠

COD

＝63°，所以90°－∠

AOD

＝90°－63°＝27°.所以射线

OD

在北偏东27°方向.(3)若

OA

为钟面上的时针，

OD

为分针，且

OA

正好在“3”的下方不远处，你知道此时的时刻吗？

利用角的运算探究折叠中角的关系10.[新考法·折叠法]如图，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点

B

落在点B'的位置，折痕为

EF

；再沿

GF

折叠，使点

C

落在点C'的位置，点

D

落在点D'的位置，且C'F与FB'在同一条直线上.【解】∠1＋∠

CFE

＝180°，∠2＋∠

BFG

＝180°.(1)分别写出∠1与∠

CFE

、∠2与∠

BFG

之间所满足的数量关系.(2)写出∠1与∠2之间的数量关系.【解】∠1＝90°－∠2.(或∠1＋∠2＝90°，或∠2＝90°－∠1)(3)∠

EFG

是什么角？【解】∠

EFG

是直角.利用角互余、互补关系探究角的关系11.[新考法·探究比较法]点

O

是直线

AB

上的点，∠

COD

＝90°，射线

OE

是∠

BOD

的平分线.(1)当∠

COD

的位置如图①时，试说明∠

AOD

与∠

COE

的数量关系；

(