数学双锥曲线题目及答案

数学双锥曲线题目及答案考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高三/理科

数学双锥曲线题目及答案

一、选择题

1.双曲线的标准方程为，其中，则双曲线的离心率为（）

A.2

B.

C.

D.

2.双曲线的渐近线方程为（）

A.

B.

C.

D.

3.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）

A.1

B.

C.

D.2

4.双曲线的实轴长为（）

A.2a

B.2b

C.2c

D.

5.双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）

A.

B.

C.

D.

6.双曲线的焦点坐标为（）

A.(±a,0)

B.(0,±a)

C.(±c,0)

D.(0,±c)

7.双曲线的渐近线夹角为（）

A.

B.

C.

D.

8.双曲线的实轴与虚轴的比为（）

A.a:b

B.b:a

C.c:a

D.a:c

9.双曲线的离心率为，则其焦点到准线的距离为（）

A.

B.

C.

D.

10.双曲线的焦点到顶点的距离为（）

A.a

B.b

C.c

D.

二、填空题

1.双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为________。

2.双曲线的焦点坐标为(±5,0)，则其标准方程为________。

3.双曲线的渐近线方程为，则其标准方程为________。

4.双曲线的实轴长为6，虚轴长为4，则其标准方程为________。

5.双曲线的离心率为，则其焦点到渐近线的距离为________。

6.双曲线的焦点坐标为(0,±8)，则其标准方程为________。

7.双曲线的渐近线夹角为，则其离心率为________。

8.双曲线的实轴与虚轴的比为，则其渐近线方程为________。

9.双曲线的焦点到准线的距离为4，则其离心率为________。

10.双曲线的焦点到顶点的距离为3，则其标准方程为________。

三、多选题

1.双曲线的离心率大于1，以下说法正确的有（）

A.双曲线的焦点在x轴上

B.双曲线的焦点在y轴上

C.双曲线的渐近线方程为

D.双曲线的实轴长大于虚轴长

2.双曲线的渐近线方程为，以下说法正确的有（）

A.双曲线的焦点在x轴上

B.双曲线的焦点在y轴上

C.双曲线的离心率为

D.双曲线的实轴长为4

3.双曲线的焦点坐标为(±7,0)，以下说法正确的有（）

A.双曲线的实轴长为6

B.双曲线的虚轴长为8

C.双曲线的离心率为

D.双曲线的渐近线方程为

4.双曲线的离心率为，以下说法正确的有（）

A.双曲线的焦点在x轴上

B.双曲线的焦点在y轴上

C.双曲线的焦点到顶点的距离为3

D.双曲线的渐近线夹角为

5.双曲线的实轴与虚轴的比为，以下说法正确的有（）

A.双曲线的焦点在x轴上

B.双曲线的焦点在y轴上

C.双曲线的离心率为

D.双曲线的渐近线方程为

6.双曲线的焦点到准线的距离为5，以下说法正确的有（）

A.双曲线的离心率为

B.双曲线的焦点在x轴上

C.双曲线的焦点在y轴上

D.双曲线的实轴长为6

7.双曲线的渐近线夹角为，以下说法正确的有（）

A.双曲线的焦点在x轴上

B.双曲线的焦点在y轴上

C.双曲线的离心率为

D.双曲线的虚轴长为4

8.双曲线的焦点坐标为(0,±9)，以下说法正确的有（）

A.双曲线的实轴长为8

B.双曲线的虚轴长为6

C.双曲线的离心率为

D.双曲线的渐近线方程为

9.双曲线的实轴与虚轴的比为，以下说法正确的有（）

A.双曲线的焦点在x轴上

B.双曲线的焦点在y轴上

C.双曲线的离心率为

D.双曲线的焦点到顶点的距离为5

10.双曲线的离心率为2，以下说法正确的有（）

A.双曲线的焦点在x轴上

B.双曲线的焦点在y轴上

C.双曲线的焦点到准线的距离为3

D.双曲线的渐近线方程为

四、判断题

1.双曲线的离心率总是大于1。

2.双曲线的渐近线相交于双曲线的中心。

3.双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长。

4.双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。

5.双曲线的离心率越小，其开口越大。

6.双曲线的渐近线方程为。

7.双曲线的焦点到准线的距离等于离心率乘以焦点到顶点的距离。

8.双曲线的实轴长和虚轴长可以相等。

9.双曲线的焦点到顶点的距离等于。

10.双曲线的渐近线夹角越大，其离心率越小。

五、问答题

1.已知双曲线的焦点坐标为(±5,0)，实轴长为6，求双曲线的标准方程。

2.已知双曲线的渐近线方程为，求双曲线的标准方程。

3.已知双曲线的离心率为2，焦点坐标为(0,±8)，求双曲线的标准方程。

试卷答案

一、选择题

1.C

解析：双曲线的标准方程为，离心率e=。选项C为正确答案。

2.D

解析：双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x，选项D为正确答案。

3.A

解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为c/a=1，选项A为正确答案。

4.A

解析：双曲线的实轴长为2a，选项A为正确答案。

5.B

解析：双曲线的离心率e=2，渐近线方程为y=±(b/a)x，其中b/a=√(e^2-1)=√3，选项B为正确答案。

6.C

解析：双曲线的焦点坐标为(±c,0)，选项C为正确答案。

7.A

解析：双曲线的渐近线夹角为2arctan(b/a)，当b/a=1时，夹角为90度，选项A为正确答案。

8.D

解析：双曲线的实轴与虚轴的比为c/a，选项D为正确答案。

9.B

解析：双曲线的离心率e=，焦点到准线的距离为c/e=，选项B为正确答案。

10.C

解析：双曲线的焦点到顶点的距离为c，选项C为正确答案。

二、填空题

1.y=±(b/a)x

解析：双曲线的离心率e=2，渐近线方程为y=±(b/a)x，其中b/a=√(e^2-1)=√3，选项B为正确答案。

2.

解析：双曲线的焦点坐标为(±5,0)，实轴长为2a=6，则a=3，c=5，b^2=c^2-a^2=25-9=16，标准方程为。

3.

解析：双曲线的渐近线方程为y=±(3/4)x，则a/b=4/3，设a=4k，b=3k，c^2=a^2+b^2=16k^2+9k^2=25k^2，c=5k，离心率e=c/a=5k/4k=5/4，标准方程为。

4.

解析：双曲线的实轴长为6，虚轴长为4，则2a=6，a=3，2b=4，b=2，c^2=a^2+b^2=9+4=13，标准方程为。

5.2

解析：双曲线的离心率e=，焦点到渐近线的距离为c/a=2/√3=2。

6.

解析：双曲线的焦点坐标为(0,±8)，则焦点在y轴上，c=8，设a^2=x，b^2=y，标准方程为，离心率e=c/a=8/a，渐近线方程为y=±(b/a)x，即y=±(√(y)/√(x))x，由于焦点在y轴上，b/a=√3，即√(y)/√(x)=√3，y=3x，代入c^2=a^2+b^2，得8^2=a^2+3a^2，64=4a^2，a^2=16，标准方程为。

7.√2

解析：双曲线的渐近线夹角为90度，则b/a=1，离心率e=c/a=√(1+1)=√2。

8.

解析：双曲线的实轴与虚轴的比为1:2，则a/b=1/2，设a=2k，b=4k，c^2=a^2+b^2=4k^2+16k^2=20k^2，c=2√5k，离心率e=c/a=2√5k/2k=√5，渐近线方程为y=±(b/a)x=±2x。

9.√2

解析：双曲线的焦点到准线的距离为4，则c/e=4，离心率e=c/a，代入c^2=a^2+b^2，得e^2=a^2+b^2/a^2，e^2=1+b^2/a^2，c/e=√(1+b^2/a^2)=4，√(1+b^2/a^2)=4，1+b^2/a^2=16，b^2/a^2=15，e=√(1+15)=√16=4，选项D为正确答案。

10.

解析：双曲线的焦点到顶点的距离为3，则c=3，设a^2=x，b^2=y，标准方程为，离心率e=c/a=3/a，渐近线方程为y=±(b/a)x，即y=±(√(y)/√(x))x，由于焦点在x轴上，b/a=1，即√(y)/√(x)=1，y=x，代入c^2=a^2+b^2，得3^2=a^2+a^2，9=2a^2，a^2=4.5，标准方程为。

三、多选题

1.A,C,D

解析：双曲线的离心率大于1，焦点在x轴上，渐近线方程为y=±(b/a)x，实轴长大于虚轴长，选项A,C,D为正确答案。

2.A,B,C

解析：双曲线的渐近线方程为y=±(3/4)x，焦点在x轴上，b/a=3/4，离心率e=√(1+(3/4)^2)=√(1+9/16)=√(25/16)=5/4，实轴长为2a=8，选项A,B,C为正确答案。

3.A,B,C,D

解析：双曲线的焦点坐标为(±7,0)，焦点在x轴上，实轴长为2a=6，则a=3，c=7，b^2=c^2-a^2=49-9=40，渐近线方程为y=±(b/a)x=±(√40/3)x，选项A,B,C,D为正确答案。

4.A,C,D

解析：双曲线的离心率为√2，焦点在x轴上，焦点到顶点的距离为3，即c=3，设a^2=x，b^2=y，标准方程为，离心率e=c/a=√2，渐近线夹角为90度，b/a=1，即√(y)/√(x)=1，y=x，代入c^2=a^2+b^2，得3^2=a^2+a^2，9=2a^2，a^2=4.5，选项A,C,D为正确答案。

5.A,B,C,D

解析：双曲线的实轴与虚轴的比为1:2，焦点在x轴上，a/b=1/2，设a=2k，b=4k，c^2=a^2+b^2=4k^2+16k^2=20k^2，c=2√5k，离心率e=c/a=2√5k/2k=√5，渐近线方程为y=±(b/a)x=±2x，选项A,B,C,D为正确答案。

6.A,B,D

解析：双曲线的焦点到准线的距离为5，则c/e=5，离心率e=c/a，代入c^2=a^2+b^2，得e^2=a^2+b^2/a^2，e^2=1+b^2/a^2，c/e=√(1+b^2/a^2)=5，√(1+b^2/a^2)=5，1+b^2/a^2=25，b^2/a^2=24，e=√(1+24)=√25=5，焦点在x轴上，实轴长为6，即2a=6，a=3，选项A,B,D为正确答案。

7.A,B,C,D

解析：双曲线的渐近线夹角为90度，焦点在x轴上，b/a=1，离心率e=c/a=√(1+1)=√2，焦点到顶点的距离为4，即c=4，设a^2=x，b^2=y，标准方程为，离心率e=c/a=√2，渐近线方程为y=±(b/a)x=±x，选项A,B,C,D为正确答案。

8.A,B,C,D

解析：双曲线的焦点坐标为(0,±9)，焦点在y轴上，c=9，设a^2=x，b^2=y，标准方程为，离心率e=c/a=9/a，渐近线方程为y=±(b/a)x=±(√(y)/√(x))x，由于焦点在y轴上，b/a=√3，即√(y)/√(x)=√3，y=3x，代入c^2=a^2+b^2，得9^2=a^2+3a^2，81=4a^2，a^2=20.25，实轴长为8，即2a=8，a=4，选项A,B,C,D为正确答案。

9.A,B,C,D

解析：双曲线的实轴与虚轴的比为1:2，焦点在x轴上，a/b=1/2，设a=2k，b=4k，c^2=a^2+b^2=4k^2+16k^2=20k^2，c=2√5k，离心率e=c/a=2√5k/2k=√5，焦点到顶点的距离为5，即c=5，设a^2=x，b^2=y，标准方程为，离心率e=c/a=√5，渐近线方程为y=±(b/a)x=±2x，选项A,B,C,D为正确答案。

10.A,C,D

解析：双曲线的离心率为2，焦点在x轴上，c/a=2，设a^2=x，b^2=y，标准方程为，离心率e=c/a=2，渐近线方程为y=±(b/a)x=±(√3)x，选项A,C,D为正确答案。

四、判断题

1.正确

解析：双曲线的离心率e=c/a，总是大于1。

2.错误

解析：双曲线的渐近线相交于双曲线的中心。

3.错误

解析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于c/a。

4.错误

解析：双曲线的实轴是连接两个顶点的线段。

5.错误

解析：双曲线的离心率越小，其开口越小。

6.正确

解析：双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。

7.正确

解析：双曲线的焦点到准线的距离等于离心率乘以焦点到顶点的距离。

8.错误

解析：双曲线的实轴长和虚轴长不相等。

9.正确

解析：双曲线的焦点到顶点的距离等于c。

10.错误

解析：双曲线的渐近线夹角越大，其离心率越大。

五、问答题

1.已知双曲线的焦点坐标为(±5,0)，实轴长为6，求双曲线的标准方程。

解析：双曲线的焦点在x轴上，