黑龙江省齐齐哈尔市2025-2026学年高二数学上学期期中测试含解析

2025-2026学年高二数学上学期期中考试试题

一、单选题

1．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则

不同的选法种数有（）

A．18B．9C．8D．7

2．一组数据：1，2，3，4，5的第60百分位数是（）

A．4B．3.5C．3D．2.5

*22

3．已知nN，若5An3C2n1，则n（）

A．1B．2C．3D．1或3

4．工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的

频数如下表：

分组(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]

频数46x10y4

已知样本数据在(20,40]范围内的频率为0.35，则样本数据在50,60范围内的频率为（）

A．0.70B．0.50C．0.25D．0.20

5．某科研团队对某一物理量进行多次测量，发现测量结果X~N10,2，则下列结论中错误的是（）

A．P(X10)0.5B．P(X9.8)P(X10.2)

C．P(9X9.5)P(10.5X11)D．越小，P(10X10)越小

6．某疾病在人群中的患病率为5%，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为95%，阴性人群被检测

为阳性的概率为10%，则一个人检测结果为阳性的概率为（）

A．10.25%B．14.25%C．48.26%D．57.35%

7．在学校的书画展板上，将3幅书法作品，3幅美术作品按一圆形排列，要求美术作品不相邻，则不同排

列方法有（）

A．12种B．18种C．24种D．36种

n1n2nk2n

8．已知fx1x21xk1xn1xnN且n4，则fx的展开式中含xn

项的系数是（）

n1n1n2n2

A．n2C2nB．n1C2nC．n2C2n1D．n1C2n1

二、多选题

929

9．已知(x1)a0a1xa2xa9x，则（）

A．a01

B．a0a1a2a90

C．a0a1a2a3a8a9512

D．a0a2a4a6a8256

10．下列说法正确的是（）

A．用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以排成1080个可重复数字的四位数

B．用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以排成300个无重复数字的四位数

C．用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位奇数

D．用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数

11．在n维空间中n2,nN，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标a1,a2,,an，

L

其中ai0,11in,iN.定义：在n维空间中两点a1,a2,,an与b1,b2,,bn的曼哈顿距离为

a1b1a2b2anbn.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距

离为随机变量X，则（）

20

A．6维“立方体”的顶点有36个B．PX3

63

64608

C．EXD．DX

21441

三、填空题

1

12．已知随机变量XB4,，则PX2.

3

13．某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽

取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，

方差为1.4.若男､女样本量按比例分配，则可估计总体方差为.

111

14．已知随机事件A，B满足P(A),P(AB)，且P(AB)P(AB)2P(B)，则P(B∣A).

714

四、解答题

15．已知(2x1)nnN*,n2的展开式中第3项与第n1项的二项式系数之和为30.

(1)求n的值；

n2n

(2)记(2x)a0a1xa2xanx，从a0,a1,a2,,an中任取两个相乘，求积为负数的概率.

16．某奶茶连锁店研制了新品，在五个店按不同的价格进行试销售，通过一天的试销售得到的数据如下表：

单价x（元/杯）1010.51111.512

销售量y（杯/店）3028252220

通过分析，发现该新品的销售量y（杯/店）与单价x（元/杯）具有线性相关关系.

(1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；

(2)已知此奶茶连锁店一共有500家奶茶店，若为了提高销量，此奶茶连锁店规定该新品的单价是9元/杯，

根据（1）所得的回归直线方程，请估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量.

n

xiyinxy5

ˆˆi1ˆ2

附：在回归直线方程yˆbxaˆ中，bn,aˆybx,xi607.5.

22i1

xinx

i1

17．某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，

将数据整理后得到如下22列联表：

近视学生非近视学生合计

每天使用时长不低于2小

105250

时

每天使用时长低于2小时

合计175400

(1)完善22列联表，并根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产

品的时长是否低于2小时”有关联？

(2)按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进

一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记X为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小

时的人数，求X的分布列和数学期望．

n(adbc)2

参考公式：2，其中，nabcd.

(ab)(cd)(ac)(bd)

0.10.050.010.0050.001

x2.7063.8416.6357.87910.828

18．某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制，已知在甲､乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率都

3

为，每局比赛结果相互独立.

5

(1)求前2局中，甲､乙各获胜1局的概率；

(2)求第1局乙获胜且第4局甲获胜的概率；

(3)求甲､乙比赛结束时所用局数不大于4的概率.

19．作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对

抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名

2

居民，其中男性居民与女性居民的人数比为3:2，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在

3

抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛.

(1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率；

P(B∣A)

(2)现定义：LR(B∣A)，其中A,B是随机事件，从这500人中任选1人，M表示“居民观看了这

P(B∣A)

场苏超联赛”，N表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标

LRN∣M

k，请利用样本数据求出k的值；

LRN∣M

(3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随

机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有ii0,1,2名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率

为PXi，求PX0PX1PX2的值.

题号12345678910

答案CBCDDBADBCABC

题号11

答案BCD

1．C

根据分类加法计数原理即可求解.

【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为3238.

故选：C

2．B

根据百分位数的求法，即可求得答案.

【详解】因为560%3，

34

所以这组数据的第60百分位数是3.5.

2

故选：B.

3．C

根据排列组合公式列方程求参数n.

(2n1)(2n2)

【详解】由题意知n2，且5n(n1)3，解得n3．

2

故选：C

4．D

本题根据频数与频率的概念计算，即可求解.

6x

【详解】由题意得0.35，解得x8，

40

所以y404681048，

8

所以样本数据在50,60范围内的频率为0.20.

40

故选：D.

5．D

利用正态分布曲线的对称性可判断ABC选项；利用P(X)为定值可判断D选项.

【详解】由正态曲线关于直线X10对称，可得P(X10)0.5，故A正确；

P(X9.8)P(X100.2)P(X100.2)P(X10.2)，故B正确；

P(9X9.5)P(101X100.5)，P(10.5X11)P(100.5X101)，故

P(9X9.5)P(10.5X11)，故C正确；

而P(10X10)P(X)为定值，D错误．

故选：D.

6．B

由全概率公式即可求解.

【详解】用事件A表示一个人患此种疾病，用事件B表示检测结果为阳性，

则P(A)0.05,P(B∣A)0.95，P(B∣A)0.10，

所以P(B)P(A)P(B∣A)P(A)P(B∣A)

0.050.950.950.100.142514.25%．

故选：B.

7．A

利用插空法可求不同的排列方法总数.

2

【详解】先排列3幅书法作品有A22种排法，

3

再将3幅美术作品插入3幅书法作品形成的3个空中，有A36种排法，

所以不同排列方法有2612种．

故选：A．

8．D

nk

根据k1x展开式中含xn的项的系数可确定fx展开式含xn项的系数，根据组合数的运算可推导得到

nn1

kCnkn1Cnk，结合组合数的运算性质可推导得到结果.

nknnn

【详解】k1x展开式中含x的项是kCnkx，

\nnnnn

f(x)的展开式中含x的项的系数为Cn12Cn2kCnknC2n，

nnk!nk!nk!n1

kCkn1n1C，

nkn!k!n!k1!n1!k1!nk

nnnnn1n1n1n1

Cn12Cn2kCnknC2nn1Cn1Cn2CnkC2n

n2n1n1n1n2n1n1n1

n1Cn2Cn2CnkC2nn1Cn3Cn3CnkC2n

n2n1n1n1n2n1n2

n1Cn4Cn4CnkC2nn1C2nC2nn1C2n1.

故选：D.

9．BC

A选项，令x0可求；B选项令x1可求；C选项，令x1可求；D选项，把x1和x1时的展开式相

加可求.

9

【详解】令x0，得a0(1)1，故A错误；

9

令x1，得a0a1a2a900，故B正确；

9

令x1，得a0a1a2a3a8a9(2)512，故C正确；

将a0a1a2a90与a0a1a2a3a8a9512这两式的左右两边分别相加，

得2a0a2a4a6a8512，解得a0a2a4a6a8256，故D错误.

故选：BC.

10．ABC

根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理逐项求解即可.

【详解】对于A，第一步，千位可以为1,2,3,4,5，有5种排法，

第二步，百、十、个位有666种排法，

所以可以排成56661080个可重复数字的四位数，故A正确；

对于B，第一步，千位可以为1,2,3,4,5，有5种排法；

第二步，百、十、个位有543种排法，

所以可以排成5543300个无重复数字的四位数，故B正确；

对于C，第一步，个位可以为1,3,5，有3种排法；

第二步，千位有除个位和0以外的4种排法，

第三步，百、十位有43种排法，

所以可以排成3443144个无重复数字的四位奇数，故C正确；

对于D，第一种情况：当个位为0时，千､百､十位有54360种排法，

第二种情况：第一步，个位可以为2，4，有2种排法；

第二步，千位有除个位和0以外的4种排法，

第三步，百、十位有43种排法，共有244396种排法，

综上所述，可以排成6096156个无重复数字的四位偶数，故D错误.

故选：ABC.

11．BCD

应用分步乘法原理计算判断A，应用古典概型结合组合数计算判断B，先写出概率再应用数学期望公式及方

差公式计算判断C，D即可.

【详解】对于6维坐标a1,a2,a3,a4,a5,a6，其中ai0,11i6,iN，

6

即ai有2种选择1i6,iN，故共有264种选择，

即6维“立方体”的顶点有64个，故A错误；

当X3时，在a1,a2,a3,a4,a5,a6与b1,b2,b3,b4,b5,b6中有3个坐标值不同，

即有3个i1i6,iN满足aibi，

有3个j1j6,jN满足ajbj，

333640

C62220

所以满足X3的顶点有640组，PX32，故B正确；

2C6463

k6kkCk25Ck

满足的顶点有C622k5组，所以66，

XkC62PXk2k1,2,3,4,5,6

2C6463

2520

即PX1,PX2,PX3，

212163

521

PX4,PX5,PX6，

212163

252052164

所以EX123456，故C正确；

21216321216321

22

642645

而DX12

21212121

2222

6420645642641608

3456，故D正确.

2163212121212163441

故选：BCD.

8

12．

27

利用二项分布的概率求法即可求解.

22

1118

【详解】因为XB4,，所以2.

PX2C41

33327

8

故答案为：

27

13．1.92

先求出总体平均数，然后代入分层抽样方差公式计算即可.

800600

【详解】由题意，总体的平均数为7.777.4小时，

800600800600

根据分层随机抽样的性质，

800600

可得总体的方差为：2.1(7.77.4)21.4(77.4)21.92.

800600800600

故答案为：1.92

3

14．/0.75

4

首先根据概率运算法则将原等式化简，求出PB的值，然后根据已知条件求出PAB的值，最后即可求出

条件概率的值.

【详解】因为P(AB)P(AB)2P(B)，所以P(B)P(AB)[P(A)P(AB)]2[1P(B)]，

1

整理得3PBPA2，因为PA，

7

1

215111

所以2P(A)75，所以PABPAPBPAB，

P(B)771414

337

51

P(AB)P(B)P(AB)3

所以P(B∣A)714．

1

P(A)1P(A)14

7

3

故答案为：.

4

15．(1)n6

4

(2)

7

2n22

（1）由题意，可得CnCn2Cn30，根据组合数的求法，列式计算，即可得答案.

6k6kk

（2）由（1）得n6，进而可得(2x)的通项公式，即可求出akC62(1),k0,1,2,,6，分析可得当

k0,2,4,6时，ak0，当k1,3,5时，ak0，根据古典概型概率公式，列式计算，即可得答案.

2n22

【详解】（1）第3项与第n1项的二项式系数之和为CnCn2Cn30，

即n2n300，解得n6或5，

又nN*,n2，所以n6.

6k6kkk

（2）由（1）得n6，则(2x)的通项公式为Tk1C62(1)x，

k6kk

所以akC62(1),k0,1,2,,6，

所以当k0,2,4,6时，ak0，当k1,3,5时，ak0，

C1C1434

43

所以从a0,a1,a2,,a6中任取两个相乘，积为负数的概率为2.

C7217

16．(1)y5.2x82.2

(2)17700杯

5

ˆ

（1）根据题意，分别求得x,y和xiyi，利用公式求得b,aˆ的值，进而求得回归直线方程；

i1

（2）由（1）中的回归方程，当x9时，求得y的值，即可得到答案.

1010.51111.5123028252220

【详解】（1）解：由题意，可得x11,y25，

55

5

且xiyi103010.528112511.52212201362，

i1

136251125

所以bˆ5.2，aˆ255.21182.2，

607.55121

所以y关于x的回归直线方程是y5.2x82.2.

（2）解：由（1）知当x9时，可得y5.2982.235.4，

所以估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量是35.450017700（杯）.

17．(1)列联表见解析，有关联；

7

(2)分布列见解析，.

3

（1）根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得到结论；

（2）根据已知X的可能取值为0，1，2，3，4，5，应用超几何分布的概率公式求对应概率，即可得分布列，

进而求期望.

【详解】（1）22列联表如下：

近视学生非近视学生合计

每天使用时长不低于2小

145105250

时

每天使用时长低于2小时30120150

合计175225400

零假设H0：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联．

4002

因为255.01010.828x，

2501501752250.001

根据小概率值0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，

即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过

0.001．

15

（2）由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取1057人，

225

15

在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取1208人．

225

所以X的可能取值为0，1，2，3，4，5，

54132

C88C8C770C8C716856

所以P(X0)5,P(X1)5,P(X2)5，

C15429C15429C15429143

231405

C8C7140C8C740C8C71

P(X3)5,P(X4)5,P(X5)5，

C15429C15429C15143

故X的分布列为：

X012345

87056140401

P

429429143429429143

8705614040110017

所以E(X)012345.

4294291434294291434293

12

18．(1)；

25

126

(2)；

625

409

(3).

625

（1）列举出甲、乙各获胜1局的情况，根据独立事件概率公式计算即可；

（2）列举出第1局乙获胜且第4局甲获胜的情况，根据独立事件概率公式计算即可；

（3）Pi为甲、乙比赛结束时，只进行ii3,4局比赛的概率，根据独立事件概率公式分别计算得到P3,P4，

加和即可求得结果.

32

【详解】（1）由题意知：每局比赛乙获胜的概率为1；

55

记事件Ai“第i局比赛甲获胜”，事件Bi“第i局比赛乙获胜”，事件C“前2局中，甲、乙各获胜1

局”，则CA1B2B1A2，

322312

PCPABBAPABPBA.

12121212555525

（2）记事件D=“第1局乙获胜且第4局甲获胜”，则DB1B2A3A4B1A2B3A4B1A2A3A4，

PDPB1B2A3A4PB1A2B3A4PB1A2A3A4

223323232333363654126

.

555555555555625625

（3）记Pi为甲、乙比赛结束时，只进行ii3,4局比赛的概率，

只进行三局比赛的结果为A1A2A3，B1B2B3，

33

322787；

P3

5512525

只进行四局比赛且甲获胜的结果为：B1A2A3A4，A1B2A3A4，A1A2B3A4，

只进行四局比赛且乙获胜的结果为：A1B2B3B4，B1A2B3B4，B1B2A3B4，

23333233332332222322

P

455555555555555555555

2232545454242424234

；

5555625625

7234409

甲､乙比赛结束时所用局数不大于4的概率为PP.

3425625625

3

19．(1)

5

1

(2)k

2

1

(3)

15

【详解】（1）由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人，

在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛，

在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛，

2001003

所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为.

5005

用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，

3

估计此人观看了这场苏超联赛的概率为.

5

P(MN)1001P(MN)2002