黑龙江省齐齐哈尔市2026届高三数学上学期期中测试含解析

考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本卷命题范围：集合，逻辑，不等式，函数及导数，向量，复数，三角函数，数列．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【详解】因为集合，，所以．故选：B．2.若复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【详解】，故选：A．3.已知函数是奇函数，且时，，则（）A.10 B.9 C. D.【答案】D【详解】由奇函数的定义得，故选：D.4.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【详解】解：不等式可化为，解得，所以不等式的解集为（4，3）．故选C．5.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.图（正八边形）是由图（八卦模型图）抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【详解】方法一：过作，，垂足分别是，，四边形为正方形，，又，，即，；方法二：分别以射线为轴，轴的正半轴建立直角坐标系，设，则，，，，由得：，，解得：，.故选：A.6.已知向量，且向量与夹角为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【详解】因为，则，由平面向量数量积的定义可得，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选：C.7.若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【详解】已知，由题意知在内有变号零点，显然在单调递增，故原条件等价于，解得，故实数a的取值范围是.故选：C.8.已知两个等差数列前项和分别是，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【详解】由题意，在两个等差数列中，前项和分别是，，对于一般等差数列前项和为二次型函数：（为常数），∴设，，为常数∴，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知都是实数，下列命题是真命题的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，则 D.若，，则【答案】ABD【详解】当，时，，，，故A正确；当，时，，，，故B正确；令时，成立，不成立，故C错误；当时，，又，，故D正确．故选：．10.下列结论正确的是（）A.若，则的最小值为4 B.若，则的最小值为4C.若，则的最大值为 D.函数的最大值为【答案】BCD【详解】对于A，取，，满足条件，但此时，故A错误；对于B，因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4，故B正确；对于C，，因为，所以，，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为－2，故C正确；对于D，因为，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故D正确．故选：BCD11.已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，时，恒成立，则“不等式成立”的一个充分不必要条件为（）A. B.C. D.【答案】BC【详解】因为对任意的，，时，恒成立，设，则，所以函数在上单调递减，又，所以不等式成立等价于，又定义域为R的函数满足，即函数关于直线对称，当时，，解得；当时，因为关于直线对称，即，所以，解得，综上不等式成立的条件为，所以“不等式成立”一个充分不必要条件为其子集，即或.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则______．【答案】##【详解】，，，，．故答案为：．13.若命题：，使得为假命题，则实数m的取值范围为_____【答案】【详解】由题意可得，：，为真命题，即当时，恒成立.因为函数的对称轴为，所以当时，，所以，即，解得或，即实数m的取值范围为.故答案为：.14.若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】令，得，即，令，，所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点.，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且时，时，所以的图象如图所示，设是经过点的的图象的切线，切点为，则切线斜率为，所以的方程为，又经过点，所以，即，解得或，或，所以由图可知，当或，即或时，函数的图象与的图象有两个交点，即函数恰有2个零点，所以实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合或，．（1）求，；（2）若，且，求实数k的取值范围．【答案】（1）或，（2）【小问1详解】集合，或或，．【小问2详解】，，由（1）知，，当集合时，需满足，无实数解；当时，需满足，解得，实数k的取值范围是．16.已知幂函数为偶函数，且．（1）求；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【小问1详解】因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数，所以，解得，又因为，则m的值为，函数为偶函数，所以为偶数，所以．【小问2详解】由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数，所以不等式，即为，解得或，即的取值范围是．17.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数.（1）求的最小值；（2）当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合.【答案】（1）（2）【小问1详解】由，向左平移个单位长度可得：，因为是奇函数，所以，，所以，，因为，所以当时，取到最小值为.【小问2详解】由（1）知，，所以时，取得最大值，此时，由，得.所以的取值集合为.18.已知数列满足，且，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【小问1详解】已知，则.又，，所以.那么（常数）.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知，等式两边同时除以得：.设，则，且.所以数列是以为首项，为公差的等差数列.所以.因为，所以.【小问3详解】已知，则..所以.假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列，则，即，两边同时乘以得：.因为，，所以，，则是的倍数，除以余，等式不成立.所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.19.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若，求曲线与曲线的公切线；（3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围.【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减（2）（3）【小问1详解】，当时，在时恒成立，此时在单调递增；当时，令，当时，，单调递增，当时，，单调递减，综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调