平方根与立方根课件2026-2027学年数学北师大版八年级上册

2平方根与立方根第1课时

算数平方根情境导入知识讲解随堂小测课堂小结学习目标1.了解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根和平方根。（重点）2.了解平方和开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。（难点）情境导入学校要举行绘画比赛，小宇很高兴，他想裁出一块面积为9m2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？3m因为32=9，所以正方形画布的边长是3m。知识讲解知识点

算数平方根的概念

填一填已知正方形的面积，求出其边长：正方形的面积1916360.25边长13460.5算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”。特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即=0。

中的a是一个非负数,a的算术平方根（）也是一个非负数,这也是算术平方根的性质——双重非负性。

例1

求下列各数的算术平方根.

（提示：要求一个数的算术平方根，一般的方法是先按平方的概念来找哪个数的平方等于这个数.）解:(1)因为

(2)因为

随堂小测1.A2.下列说法正确的是(

)A．因为62＝36，所以6是36的算术平方根B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根D．以上说法都不对A

C

B

知识拓展

随堂小测5.

D6.

非负数≥非负数≥非负数＜7.下列说法中不正确的有(

)①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10，记作＝10；③(3.14－π)2的算术平方根是3.14－π；④a2的算术平方根为a；⑤算术平方根不可能是负数．A．2个B．3个C．4个D．5个B

课堂小结

2平方根与立方根第2课时

平方根情境导入知识讲解随堂小测课堂小结学习目标1.了解平方根的概念，会表示一个数的平方根。（重点）2.了解平方和开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根。（难点）复习引入1.什么叫算术平方根？

2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算.加法与减法互逆；乘法与除法互逆.思考：乘方有没有逆运算？情境导入前面我们学习算术平方根,知道9的算术平方根是3,根据七年级我们学过的平方的意义,-3的平方也是9,也就是说,平方为9的数有两个:3和-3。一个正数a的算术平方根有一个,通过进一步的思考知道平方为a的数有两个,另外一个我们也不能把它给丢了,今天再学习一个平方根的概念。新知构建（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9.还有其他的数，它的平方也是9吗？（2）平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？知识讲解知识点1平方根的概念及性质

填一填

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平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫作a的平方根，也叫作二次方根。平方根的表示方法、读法根号被开方数（a是非负数）读作：正、负根号a举例：3和-3的平方都是9，即9的平方根有两个3和-3；9的算术平方根只有一个，是3。平方根的性质：一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根。特别提醒平方根的定义中a是非负数，即a≥0；其中正的平方根就是它的算术平方根。平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫作幂，而开平方的结果叫作平方根。例1

导引：因为(±7)2＝49，所以49的平方根为±7。

随堂小测1.7的平方根是________。2.23.【昆明三中月考】某正数的两个不同的平方根是2a－1与－a＋2，则这个数是(

)A．1B．3C．-3D．9D4.【中考·南京】若方程(x－5)2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是(

)A．a是19的算术平方根B．b是19的平方根C．a－5是19的算术平方根D．b＋5是19的平方根C3例2

一个正数的平方根是2a－1和a－5，则这个正数是多少？解：根据题意，得（2a－1）＋(5－a)＝0.解得a＝2,所以这个正数为（2a－1）2

＝（2×2－1）2＝9。随堂小测1.若一个数的平方等于5，则这个数等于________．2.D3.C归纳总结

平方根与算术平方根的联系与区别：

联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.2.只有非负数才有平方根和算术平方根.3.0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.2.表示法不同：平方根带±号.知识讲解知识点2开平方及相关运算

+1-1+2-2+3-3149x

x2149+1-1+2-2+3-3x2

x平方运算这是什么运算？

求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数。

可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关系可以求出一个数的平方根。平方与开平方有什么关系？开平方的定义：例3求下列各数的平方根:(1)64；(2)(4)

(5)

11.(3)0.0004；解：（1）∵，∴64的平方根为±8;（2）∵，∴的平方根为;

（3）∵，∴0.0004的平方根为±0.02;（4）∵，∴的平方根为±25;

（5）11的平方根是.

课堂小结

运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数.平方根平方根的概念开平方及相关运算平方根的性质

＝a(a

≥0).2

平方根与立方根情境导入知识讲解随堂小测课堂小结第3课时

立方根学习目标1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。（重点）2.了解开立方与立方互为逆运算，能用立方根运算求某些数的立方根。（难点）情境导入（1）面积为2的正方形的边长为多少?（2）体积为2的正方体的棱长是多少?请同学们回忆求解a2=2时的情境，那么a3=2呢?回顾旧知16的平方根是______，算术平方根是_________。－16的平方根是____________。0的平方根是________。一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根。±44没有平方根0知识讲解知识点1立方根

问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图），

它的棱长要取多少？你是怎么知道的？思考：（1）3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是27?（2）-3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是-27?什么才是一个数a的立方根呢？一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫作a的立方根（也叫作三次方根）。表示方法：

一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数。特别提醒立方根与平方根的区别:1.被开方数：前者可为任何数，后者为非负数。2.根指数：前者不能省略，后者可省略不写。3.个数：立方根只有一个，平方根有两个（特殊情况0的平方根是0）。知识讲解知识点2立方根的性质

思考：

（1）正数有几个立方根？

（2）负数有几个立方根？

（3）0有几个立方根？

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；

零的立方根是零。性质：（1）正数的立方根是正数；（2）负数的立方根是负数；（3）0的立方根是0；立方根是它本身的数只有0和±1。

知识拓展平方根与立方根的区别与联系区别:（1）在用根号表示平方根时,根指数2可以省略,而用根号表示立方根时,根指数3不能省略;（2）平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有,并且每个数都只有一个立方根;（3）正数的平方根有两个,而正数的立方根只有一个。联系:（1）开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运算;（2）都可归结为非负数的非负方根来研究,平方根主要通过算术平方根来研究,而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究;（3）0的平方根和立方根都是0。随堂小测

C2.面积为4的正方形的边长是(

)A．4的平方根

B．4的算术平方根C．4开平方的结果D．4的立方根B

C4.已知一个正数的两个平方根分别为3a－1和－5－a，则这个正数的立方根是(

)A．－2B．2C．3D．4D5.阅读下面的文字，解答问题：我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们试着得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．(1)上面的结论是否成立？解：成立．

【点拨】本题利用了算术平方根、立方根的意义建立方程，求出字母的值，进而求出2a－3b的立方根，体现了方程思想的应用．立方根立方根的概念及性质开立方及相关运算2

平方根与立方根情境导入知识讲解随堂小测课堂小结第4课时

估算及用计算器开方学习目标1.了解估算的基本方法。(重点)2.能够运用估算解决生活中的实际问题。(难点)3.了解计算器开方的方法。（重点）4.能够运用计算器开方比较数的大小。（重点）情境导入

某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2.(1)公园的宽大约是多少？它有1000m吗？1000S=400000∵2000×1000=2000000>400000，∴公园的宽没有1000m.2000(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？与同伴进行交流.x2xS=400000x•2x=400000,2x2=400000,x2=200000,x=大约是多少呢？解：设公园的宽为x米。知识讲解知识点1估算的基本方法议一议（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流.（2）你能估算的大小吗？（结果精确到1)思考一：下列结果正确吗？你是怎样判断的？通过“精确计算”可比较两个数的大小关系通过“估算”也可比较两个数的大小关系思考二：下列结果正确吗？你是怎样判断的？估算无理数大小的方法：(1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分；(2)根据所要求的误差确定小数部分.要点归纳知识点1.用计算器开平方大多数计算器都有键，用它可以求一个正数的算术平方根(或其近似值)，应注意的是，不同型号的计算器按键的顺序可能不同，

使用计算器时，一定要按照说明书进行操作。知识点2用计算器开方2.用计算器开立方用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平方根的步骤相同，只是按的根指数键不同．

步骤：按键→被开方数→→根据显示结果写出立方根．注意：不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一定要按说明书操作．在用计算器求一个负数的立方根时，可先求出它的绝对值的立方根，再在结果前加上负号．

SHIFT=例1用计算器计算：

(1)

;

(2)

;

(3)

.

解：(1)5.89,

(2)(2÷7),(3)显示2.42693222；显示0.658633756；显示－10.87178969.-1285,SHIFTSHIFT例2

利用计算器比较下列两数的大小.解:按键：3，

2，显示显示按键：1.44224957；1.414213562；所以与SHIFT知识点3用计算器比较数的大小

典例精析

例1估算的近似值．（精确到0.01）导引：对于估算数的大小，我们根据误差的要求，先确

定整数部分，然后依次确定小数部分的每一位，进行的步数越多，估算出的值越精确．

解：因为12＝1，22＝4，所以1＜＜2.因为1.72＝2.89，1.82＝3.24，所以1.7＜＜1.8.因为1.732＝2.9929，1.742＝3.0276，所以1.73＜＜1.74.因为1.7322＝2.999824，1.7332＝3.003289，所以1.732＜＜1.733.所以≈1.73.无理数的估算一般采用夹逼法，“夹”就是从两边确定范围，“逼”就是一点点加强限制，使其所处的范围越来越小，从而达到理想的精确度．要点归纳比较两个无理数的大小，先对计算的结果取近似值，通过比较近似值的大小，判断原来的大小．总

结按要求估算下列无理数：解：练一练例2生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定.现有一长为6m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗?

所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6m高的墙头.例3

比较下列各组数的大小：要点归纳两