一次函数的应用课件2026-2027学年数学北师大版八年级上册

4一次函数的应用第1课时

借助一次函数的表达式解决实际问题情境导入知识讲解随堂小测课堂小结学习目标1.会确定正比例函数的表达式。（重点）2.会确定一次函数的表达式。（重点）复习回顾（1）若y=kx+b(k,b为常数，k≠0)，则称y是x的一次函数。（2）

y＝kx(k≠0)则y是x的正比例函数。（3）一次函数y=kx+b有下列性质：

当k＞0时，y随x的增大而增大；

当k＜0时，y随x的增大而减小。情境导入1.某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s)与其下滑时间t（s）的关系如图所示。(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3s时物体的速度是多少？v/(米/秒)t/秒O（2，5）523412341解：（1）v=2.5t;（2）v=2.5×3=7.5(m/s)。2.假定甲、乙二人在一项赛跑中路程与时间的关系如图所示。（1）这是一次多少米的赛跑？（2）甲、乙二人谁先到达终点？（3）甲、乙二人的速度分别是多少？（4）求甲、乙二人y与x的函数关系式。解：（1）100米。（2）甲先到达终点。（3）甲：5m/s；乙：4m/s。（4）甲：y=5x；乙：y=4x。2010025Ox/sy/m甲乙一个两个1.确定正比例函数的表达式需要几个条件？2.确定一次函数的表达式呢？思

考知识讲解知识点1 确定正比例函数的表达式

例

已知：y与2x成正比例，且当x＝3时，y＝12，求y与x的函数关系式。【点拨】根据正比例函数的定义，按求正比例函数关系式的步骤求解。解：设y＝k·2x(k≠0)。因为当x＝3时，y＝12，

所以12＝2×3×k.所以k＝2。所以所求的函数关系式为y＝4x。例

在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.解：设y=kx+b(k≠0).由题意得14.5=b，16=3k+b，解得b=14.5，

k=0.5，即y=0.5x+14.5。所以在弹性限度内，当x=4时，y=0.5×4＋14.5=16.5（厘米）。即当所挂物体的质量为4千克时，弹簧的长度为16.5厘米。知识点2 确定一次函数的表达式

怎样求一次函数的表达式？1.设一次函数表达式；2.根据已知条件列出有关方程;3.解方程；4.把求出的k，b代回表达式即可。这种求函数解析式的方法叫做待定系数法。总结归纳1、两条直线平行的规律：两条直线平行k值相等2、平移规律：“上加下减”，上、下是形的平移，加、减是数的变化：直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移得到：①当b＞0时，把直线y＝kx向上平移b个单位得到直线y＝kx＋b；②当b＜0时，把直线y＝kx向下平移|b|个单位得到直线y＝kx＋b。知识拓展

由平移规律确定一次函数的表达式

随堂小测2.若一次函数y=2x+b的图象经过A（-1，1），则b=___，该函数图象经过点B(1，__）和点C（___，0）。

1.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求它的表达式。y=-3x53O-3-2-1-1-2-3123123xy3.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为()A．y=2x

B．y=-2x

C．

D．

A

4.已知函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标为-2，且当x=2时，y=1，那么此函数的解析式为

。5.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点（0,2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式。解：因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点（0,2），所以交点到x轴的距离是2，b=2。

设一次函数的图象与x轴的交点是(a,0),则

解得a=2或-2。故y=x+2或y=-x+2。7.一个一次函数的图象平行于直线y＝－2x，且过点A(－4，2)，求这个函数的表达式。解：因为一次函数图象与直线y=-2x平行，所以设y=-2x

+b，把点A（-4,2）代入上式得，2=-2×（-4）+b,所以b=-6。所以这个函数的表达式为y=-2x

-6。6.用每张长6cm的纸条，重叠1cm粘贴成一条纸带，如图。纸带的长度y(cm)与纸条的张数x之间的函数表达式是(

)A．y＝6x＋1B．y＝4x＋1C．y＝4x＋2D．y＝5x＋1D课堂小结确定一次函数的关系式，就是确定一次函数关系式y=kx+b(k≠0)中常数k,b的值。2.求一次函数关系式的步骤为：设→代→求→还原，即：

（1）设：设出一次函数关系式y=kx+b；

（2）代：将所给数据代入函数关系式；

（3）求：求出k的值；

（4）还原：写出一次函数关系式。

4

一次函数的应用第2课时

借助单个一次函数的图象解决实际问题情境导入知识讲解随堂小测课堂小结学习目标1.掌握单个一次函数图象的应用。（重点）2.了解一次函数与一元一次方程的关系。（难点）1.利用函数方法解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题。一次函数的应用主要有两种类型：(1)给出了一次函数关系式，直接应用一次函数的性质解决问题；(2)只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出关系式，进而利用函数性质解决问题。知识讲解2.要点精析：“建模”可以把实际问题转化为关于一次函数的数学问题，它的关键是确定函数与自变量之间的关系式，并确定实际问题中自变量的取值范围。知识讲解

我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关的实际问题呢？例如下面这个实例。

由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量V(万m3)与干旱持续时间t(天)的关系如图所示,回答下列问题:知识点1一次函数的实际应用V/万米301020304050t/天(2)干旱持续10天,蓄水量为多少?1000(1)水库干旱前的蓄水量是多少?120012001000800600400200回

答

下

列

问

题01020304050t/天V/万米3(3)蓄水量小于400时,将发生严重

的干旱警报。干旱多少天后将

发出干旱警报?4060天(4)按照这个规律,预计持续干旱

多少天水库将干涸?1200100800600400200回

答

下

列

问

题如何解答实际情景函数图象的信息

1.理解横、纵坐标分别表示的的实际意义；

3.利用数形结合的思想：

将“数”转化为“形”

由“形”定“数”2.分析已知条件，通过作x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值；例1

某植物t天后的高度为ycm，图l中的反映了y与t之间的关系，根据图象回答下列问题：9631215182124y/cm2468101214t/天（3，12）（12，21）（1）植物刚栽的时候多高？（2）3天后该植物多高？（3）几天后该植物高度可达21cm？9cm12cm12天随堂小测1.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y元与行李质量x千克的关系如图：(1)旅客最多可免费携带多少千克行李？⑵超过30千克后，每千克需付多少元？30千克0.2元知识点2一次函数与一元一次方程的关系做一做如图是某一次函数的图象，根据图象填空：（1）当y=0时，x=_________；（2）这个函数的表达式是_________。议一议一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？1.一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程

的解。从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标就是方程

的解。2．利用一次函数图象解一元一次方程的步骤：(1)转化：将一元一次方程转化为一次函数；(2)画图象：画出一次函数的图象；(3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，得到其横坐标，即

为一元一次方程的解。例2

已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解是(

)A．x＝1B．x＝C．x＝－D．x＝－1C随堂小测1.一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为()A．x＝－1B．x＝2C．x＝0D．x＝3【解析】由函数经过点(0，1)可得b＝1，再将点(2，3)代入y＝kx＋1，可求出k的值为1，故一次函数的表达式为y＝x＋1，再求出方程x＋1＝0的解为x＝－1。方法总结：此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函数的关系式。A2.如图,根据函数y=kx+b(k,b是常数，且k≠0)的图象,求:(1)关于x的方程kx

+b=0的解;(2)关于x的方程kx+b=-3的解.解：(1)由图象可知，当y=0时，x=2。故方程kx+b=0的解是x=2。(2)根据图象知，当y=-3时，x=-1。故方程kx+b=-3的解是x=-l。课堂小结一次函数的应用一次函数与一元一次方程的关系单个一次函数图象的应用

4一次函数的图象第3课时

借助两个一次函数的图象解决问题情境导入知识讲解随堂小测课堂小结学习目标1.掌握两个一次函数图象的应用。（重点）2.能利用函数图象解决数学问题。（难点）情境导入小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面，上午7：00小聪乘电动汽车从古刹出发，沿景区公路去飞瀑，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑，车速为26km/h，如图。10km10km25km（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了草甸？（2）当小聪到达飞瀑时，小慧离飞瀑还有多少千米？【分析】（1）两个人是否同时出发？（3）这个问题中的两个变量是什么？它们涉及的是什么函数关系？（2）在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否相同？出发地点是否相同？两个人的速度各是多少？（4）如果用s表示路程，t表示时间，那么他们的函数解析式一样吗？（5）当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？【思考】你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？解：设经过t时，小聪与小慧离古刹的路程分别为s1，s2，由题意得s1=36t，s2=26t+10。将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，如图，观察图象，得36510203040506015253545550.25O0.50.7511.251.51.75s1=36ts2=26t+10t（时）s（km）（1）两条直线s1=36t，s2=26t+10的交点坐标为（1，36）。这说明当小聪追上小慧时，s1=s2=36km，即离古刹36km，已超过35km，也就是说，他们已经过了草甸。（2）当小聪到达飞瀑，即s1=45km

时，此s2=42.5km，所以小慧离飞瀑还有45－42.5=2.5（km）。【思考】用解析法如何求得这两个问题的结果？知识讲解知识点

从图表中获取信息的应用

例

公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台，租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台，租车费用为280元。315(1)设租用甲种货车x辆(x为非负整数)，试填写表格。【表一】租用甲种货车的数量/辆37x租用的甲种货车最多运送机器的数量/台135

租用的乙种货车最多运送机器的数量/台150

45x30－30x＋240【表二】租用甲种货车的数量/辆37x租用甲种货车的费用/元

2800

租用乙种货车的费用/元

280

1200400x1400－280x＋2240315（1）设租用甲种货车x辆（x为非负整数），试填写表格。【表一】租用甲种货车的数量/辆37x租用的甲种货车最多运送机器的数量/台135

租用的乙种货车最多运送机器的数量/台150

45x30－30x＋240又因为45x＋(－30x＋240)≥330，所以x≥6。

因为120＞0，所以在函数y＝120x＋2240中，y随x的增大而增大。所以当x＝6时，y取得最小值，即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆。解：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆。理由：当租用甲种货车x辆时，设两种货车的总费用为y元，则两种货车的总费用y＝400x＋(－280x＋2240)＝120x＋2240。（2）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由。

假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象湖大下列问题：（1）哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？

（2）甲和乙哪个人的速度快？

（3）30min内甲能否追上乙？（4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？

随堂小测1.甲、乙两商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的图象如图所示．下列说法：①买2件甲、乙两家销售价一样；②买1件买乙家的合算；③买3件买甲家的合算；④买乙家的1件销售价约为3元，其中正确的说法是(

)A．①②B．②③④C．②③D．①②③D2.小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去滨湖湿地公园，小明8：30