北师大版（2024）八年级下册数学 暑假专题训练：线段的垂直平分线（含答案）

北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：线段的垂直平分线一、选择题1.线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB等于（）A.80°B.90°C.100°D.110°2.如图所示，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，若EM和FN分别垂直平分AB和AC，垂足分别为E，F，M，N都在BC边上，且EM=FN=4，则BC的长度为（）A.12B.16C.20D.243.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（）A.13B.15C.18D.214.如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（）A.小明说得对B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B”C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”D.两人说得都不对5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC=140°，则∠EAF的度数为（）A.95°B.100°C.105°D.110°6.如图，在△ABC中，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，若∠MAP+∠NCP=64°，则∠PAC+∠PCA的度数为（）A.116°B.64°C.68°D.118°7.如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（）A.22cmB.20cmC.18cmD.15cm8.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC=22°，∠PCB=33°，则∠PAB的度数为（）A.33°B.35°C.37°D.39°9.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A.6B.5C.4D.310.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D．若AC=9，则AE的值是（

）A.63B.43C.6D.411.如图，∠ACD＝90°，∠D＝15°，点B在AD的垂直平分线上，若AC＝4，则AB为()A.4B.6C.8D.1012.如图，在△ABC中，∠A=70°，OD垂直平分AB，垂足为点D，OE垂直平分AC，垂足为点E，连接OC，则∠BCO的度数为（）A.20°B.30°C.25°D.35°二、填空题13.如图，在△ABC中，D为AB上的一点，且DE垂直平分AC，∠B=115°，且∠ACD∶∠BCD=5∶3，则∠ACB=__________度．14.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是_______．15.点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，则PA=

．16.如图，已知△ABC，BC=10，BC边的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D．若△ACE的周长为12，则△ABC的周长为

．17.已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是_____________．三、解答题18.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于E，△ABC和△BEC的周长分别是24和14，求线段AB的长.19.如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，BC=BD+AD．点D在哪条线段的垂直平分线上？证明你的结论．20.如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）21.如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．求证：△AED≌△CFD．22.如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B，C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，求证：（1）△DEF一定为等腰三角形；（2）△CFG一定为等边三角形；（3）△FDC不可能为等腰三角形.北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：线段的垂直平分线（参考答案）一、选择题1.线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB等于（）A.80°B.90°C.100°D.110°【答案】C【解析】由已知条件易得CD的连线垂直平分AB，所以AM=BM，∠AMD=∠BMD=90°，从而可证Rt△AMD≌Rt△BMD，Rt△AMC≌Rt△BMC，所以∠ACB=2∠ACM=2（∠ADM+∠CAD）=2×（∠ADB+10°）=2×（×80°+10°）=100°.2.如图所示，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，若EM和FN分别垂直平分AB和AC，垂足分别为E，F，M，N都在BC边上，且EM=FN=4，则BC的长度为（）A.12B.16C.20D.24【答案】D【解析】等腰三角形底角相等，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．BM=AM=2EM，CN=AN=2FN，△AMN为等边三角形，AM=AN=MN，则BC=6EM=24．3.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（）A.13B.15C.18D.21【答案】A【解析】∵AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴△BCD的周长为CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．4.如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（）A.小明说得对B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B”C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”D.两人说得都不对【答案】C【解析】可添条件为PO⊥AB才能说直线l是AB的垂直平分线，证明如下：∵PO⊥AB，∴∠POA=∠POB=90°，在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA=PB，PO=PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴AO=BO，∴直线l是AB的垂直平分线．5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC=140°，则∠EAF的度数为（）A.95°B.100°C.105°D.110°【答案】B【解析】∵∠BAC=140°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=40°，∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，∴EA=EB，FA=FC，∴∠B=∠BAE，∠C=∠FAC，∴∠BAE+∠FAC=40°，∴∠EAF=∠BAC-（∠BAE+∠FAC）=100°．6.如图，在△ABC中，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，若∠MAP+∠NCP=64°，则∠PAC+∠PCA的度数为（）A.116°B.64°C.68°D.118°【答案】B【解析】∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，∴AM=PM，PN=CN．∴∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN．∵∠MAP+∠NCP=64°，∴∠APM+∠CPN=∠MAP+∠NCP=64°，∴∠APC=180°-(∠APM+∠CPN)=116°，在△APC中，∠PAC+∠PCA=180°-∠APC=64°．7.如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（）A.22cmB.20cmC.18cmD.15cm【答案】A【解析】由题意可知，DE是AC的垂直平分线，所以DA=DC，CE=AE=4(cm)，那么AC=CE+AE=8(cm)，所以△ABD的周长是AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=△ABC的周长-AC=30-8=22(cm).8.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC=22°，∠PCB=33°，则∠PAB的度数为（）A.33°B.35°C.37°D.39°【答案】B【解析】∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴PA=PB=PC，∴∠PCA=∠PAC=22°，∠PBC=∠PCB=33°，∠PAB=∠PBA，∵∠PCA+∠PAC+∠PBC+∠PCB+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠PAB=∠PBA=35°．9.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A.6B.5C.4D.3【答案】B【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA，又PA=5，∴PB=5．10.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D．若AC=9，则AE的值是（

）A.63B.43C.6D.4【答案】C【解析】∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，AD=BD，∠EDA=∠EDB=90°，∴Rt△EAD≌Rt△EBD，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．11.如图，∠ACD＝90°，∠D＝15°，点B在AD的垂直平分线上，若AC＝4，则AB为()A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】∵点B在AD的垂直平分线上，∴AB＝BD，∴∠BAD＝∠D＝15°，∴∠ABC＝∠BAD＋∠D＝30°，∵∠ACD＝90°，AC＝4，∴AB＝2AC＝8.12.如图，在△ABC中，∠A=70°，OD垂直平分AB，垂足为点D，OE垂直平分AC，垂足为点E，连接OC，则∠BCO的度数为（）A.20°B.30°C.25°D.35°【答案】A【解析】连接OA、OB，如图，∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°．∵O是AB，AC垂直平分线的交点，∴OA=OB，OA=OC，∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，∴∠OBA+∠OCA=70°，∴∠OBC+∠BCO=110°-70°=40°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠OBC=20°．二、填空题13.如图，在△ABC中，D为AB上的一点，且DE垂直平分AC，∠B=115°，且∠ACD∶∠BCD=5∶3，则∠ACB=__________度．【答案】40【解析】∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°，∴Rt△ADE≌Rt△CDE，∴∠A=∠ACD，又∵∠ACD∶∠BCD=5∶3，∴∠ACD∶∠ACB=5∶8，∴∠A∶∠ACB=5∶8，又∵∠B=115°，∴∠A+∠ACB=65°，∴∠ACB=（65×8）÷13=40°．14.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是_______．【答案】50°【解析】设∠A=x，根据DM为AB的垂直平分线，得∠ABD=∠A=x，则∠ABC=x+15°，根据AB=AC可得∠C=∠ABC=x+15°，根据△ABC的内角和定理可得x+x+15+x+15=180°，解得x=50°．15.点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，则PA=

．【答案】10【解析】∵点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，∴PA=PB=10．故答案为：10．16.如图，已知△ABC，BC=10，BC边的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D．若△ACE的周长为12，则△ABC的周长为

．【答案】22【解析】由BC边的垂直平分线交AB，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由△ACE的周长为12，即可得AB+AC=12，继而求得答案．17.已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是_____________．【答案】∠MAN=∠MBN【解析】如图1，∵MN垂直平分AB，∴MA=MB，AO=BO，∠MOA=∠MOB=90°，∴Rt△MOA≌Rt△MOB，∴∠MAO=∠MBO．同理∠NAO=∠NBO，∴∠MAO+∠NAO=∠MBO+∠NBO，即∠MAN=∠MBN．如图2，同上可知，∠MAO-∠NAO=∠MBO-∠NBO，即∠MAN=∠MBN．三、解答题18.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于E，△ABC和△BEC的周长分别是24和14，求线段AB的长.【答案】解∵边AB的垂直平分线交AC于E，∴BE=AE．∵△ABC和△BEC的周长分别是24和14，∴AB+BC+AC=24，BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14．∴AB=10．19.如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，BC=BD+AD．点D在哪条线段的垂直平分线上？证明你的结论．【答案】解点D在AC的垂直平分线上．证明：∵BC=BD+AD，BC=BD+CD，∴AD=CD，∴点D在AC的垂直平分线上．20.如图，已