沪科版（2024）八年级下册数学 暑假专题训练：勾股定理（含答案）

沪科版（2024）八年级下册暑假专题训练：勾股定理一、选择题1.新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（

）A.1个B.2个C.3个D.4个2.下面图形能够验证勾股定理的有（

）个A.4B.3C.2D.13.如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（

）

A.15海里B.16海里C.17海里D.18海里4.如图，中，，下列等式成立的是（

）A.B.C.D.5.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（

）A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（）

A.B.30C.40D.507.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE．若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(

)A.7B.9C.16D.258.如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（

）A.B.C.D.9.如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为a+b22，乙说：梯形的面积可以表示为ab+c2A.aB.aC.aD.a10.如图是楼梯的一部分，若AD=2，BE=1，AE=3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（

）A.5B.3C.13D.211.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A.12B.7+7C.12或7+7D.以上都不对12.在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=(

)A.10B.15C.30D.50二、填空题13.已知直角三角形的三内角、、所对的边分别是、、，是直角，则、、三者之间的关系是

．14.在中，斜边，则的值为

．15.如图，以的三边分别向外作正方形，其面积分别用，，表示，若，则的形状是

．16.甲、乙两艘客轮同时离开港口O，航行的速度都是40 km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A,B两点的直线距离为10017.如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ=PQ，PR=PS，那么下面四个结论：①AS=AR；②QP//AR；③△BRP≌△QSP；④BR=QS，其中一定正确的是（填写编号）

.三、解答题18.如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部6m处，已知旗杆原长1819.如图在中，，点E，F分别在上，求证：．20.已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？21.如图，一架梯子AB的长为2.5m，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙的距离AO=0.7m，如果梯子顶端B沿墙下滑0.4m到达D，梯子底端A将向左滑动到C，求AC的距离．22.定义：如点M、N把线段AB分割成AM、MN、BN，若以AM、MN、BN，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）如图2，已知点C、D是线段AB的勾股分割点，若AC=3，DB=4，求CD的长；（2）如图3，在正方形ABCD中，∠MAM=45°，角的两边AM、AN分别交BD于E、F（不与端点重合），求证：E、F是BD的勾股分割点．沪科版（2024）八年级下册暑假专题训练：勾股定理（参考答案）一、选择题1.新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（

）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】∵，∴.所以图1，3符合题意；∵图形的面积表示为：，，∴，所以图2符合题意．图4不能验证勾股定理．所以符合题意的有3个．故选：C．2.下面图形能够验证勾股定理的有（

）个A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】第一个图形：两个小正方形的面积分别为4和9，大正方形的面积为13，可得，可得，可以验证勾股定理．第二个图形：梯形的面积，化简得；可以证明勾股定理．第三个图形：中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理．第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积两个直角三角形的面积的和，即，化简得；可以证明勾股定理，能够验证勾股定理的有4个．故选：A．3.如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（

）

A.15海里B.16海里C.17海里D.18海里【答案】A【解析】由题意得：，∴∴顺艺号轮船平每小时航行：（海里）故选：A．4.如图，中，，下列等式成立的是（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵中，，∴，故选A．5.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（

）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解：当x为斜边时，x2=22+42=20，所以x=25；当4为斜边时，x2=16-4=12，x=23．故选B．6.如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（）

A.B.30C.40D.50【答案】D【解析】如图，

由题意得：，，∴，∴，在中，，，∴A，C两港之间的距离为，故选：D．7.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE．若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(

)A.7B.9C.16D.25【答案】C【解析】如图所示：连接AC，与BD交于点O，∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，∴，在中，，在中，，∴，在中，，在中，，∴，∴，故选：C．8.如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】设梯子的长度为，则墙高为，由勾股定理可得：，解得：，梯子的长度为，故选：A．9.如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为a+b22，乙说：梯形的面积可以表示为ab+c2A.aB.aC.aD.a【答案】B【解析】解：根据题意得，(a+b)2∴a2+b2=c2，故选：B．10.如图是楼梯的一部分，若AD=2，BE=1，AE=3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（

）A.5B.3C.13D.2【答案】D【解析】解：将台阶展开，如图，因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，所以AC2=DC2+AD2=20，所以AC=25故选：D．11.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A.12B.7+7C.12或7+7D.以上都不对【答案】C【解析】解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x=32+此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=42此时这个三角形的周长=3+4+7=7+7．故选C12.在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=(

)A.10B.15C.30D.50【答案】D【解析】根据题意可知AB为斜边，因此可根据勾股定理可知AB2=AC故选D.二、填空题13.已知直角三角形的三内角、、所对的边分别是、、，是直角，则、、三者之间的关系是

．【答案】【解析】在直角三角形中，是直角，∴；故答案为.14.在中，斜边，则的值为

．【答案】7215.如图，以的三边分别向外作正方形，其面积分别用，，表示，若，则的形状是

．【答案】直角三角形【解析】，，，是直角三角形．故答案为：直角三角形．16.甲、乙两艘客轮同时离开港口O，航行的速度都是40 km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A,B两点的直线距离为100【答案】南偏东60°【解析】解：依照题意画出图形，如图所示．OA=40×1.5=60(km)，OB=40×2=80(km∵80∴OA∴△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°，∵∠NOA=30°，∴∠SOB=60°∴乙客轮的航行方向为南偏东60°；故答案为：南偏东60°．17.如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ=PQ，PR=PS，那么下面四个结论：①AS=AR；②QP//AR；③△BRP≌△QSP；④BR=QS，其中一定正确的是（填写编号）

.【答案】①，②【解析】解：连接AP①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴①正确；②∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②.三、解答题18.如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部6m处，已知旗杆原长18【答案】解：设旗杆在离底部x米处的位置折断，由图可知：x2解得：x=8即：旗杆在离底部8米处的位置折断．19.如图在中，，点E，F分别在上，求证：．【答案】，均为直角三角形在中，在中，在中，在中，20.已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？【答案】解：在直角三角形中，根据勾股定理可得，，如果梯子的顶度端下滑1米，则．在直角三角形中，根据勾股定理得到：，则梯子滑动的距离就是．21.如图，一架梯子AB的长为2.5m，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙的距离AO=0.7m，如果梯子顶端B沿墙下滑0.4m到达D，梯子底端A将向左滑动到C，求AC的距离．【答案】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可得：BO=DO=BO-BD=2.4-0.4=2m根据Rt△COD的勾股定理可得：CO=CA=CO-AO=1.5-0.7=0.8m故AC的距离是0.8m．22.定义：如点M、N把线段AB分割成AM、MN、BN，若以AM、MN、BN，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）如图2，已知点C、D是线段AB的勾股分割点，若AC=3，DB=4，求CD的长；（2）如图3，在正方形ABCD中，∠MAM=45°，角的两边AM、AN分别交BD于E、F（不与端点重合），求证：E、F是BD的勾股分割点．【答案】（1）解：①当CD为最大线段时，∵点C、D是线段AB的勾股分割点∴CD=AC2+D②当BD为最大线段时，∵点C、D是线段AB的勾股分割点∴CD=DB2−AC综上，CD的长为5或7