北师大版初中数学九年级上册第三章第三课时：用树状图或表格求概率（3）教案

北师大版初中数学九年级上册第三章第三课时：用树状图或表格求概率（3）教案

第一部分：课标、教材与学情深度分析

一、课标依据与核心素养解析

本节课内容严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的课程理念与目标要求。在“统计与概率”领域，课标明确要求初中阶段的学生能够“通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，从而了解并获得事件的概率”。本节课作为该内容的深化与综合应用课时，直接承载着以下核心素养的培育任务：

1.数据观念：引导学生从复杂现实背景中抽象出随机现象，识别其中的关键变量（因素），并运用树状图或表格系统化、结构化地呈现所有可能结果，这是形成数据意识、掌握数据分析方法的基础。重点在于理解方法的适用性、操作的程序性和结果的完备性。

2.模型观念：将实际问题抽象为概率模型（古典概型）的过程，本身就是数学建模的初级体现。学生需要理解，树状图和表格是两种用于枚举所有等可能结果的“可视化”数学模型工具。本节课通过解决更复杂的多步骤、多因素问题，强化学生根据问题特征选择或构建合适模型的意识与能力。

3.应用意识：课程设计将贯穿从实际情境中发现问题、转化为概率问题、运用工具求解、并回归情境解释结果的完整链条。通过跨学科、跨领域的情境设置，使学生深刻体会概率工具在决策预测、风险评估等方面的广泛应用价值，激发学习内驱力。

4.逻辑推理：在列举所有可能结果时，需要遵循不重不漏的原则；在计算概率时，需要严谨应用概率公式。这一过程训练了学生的有序思维和逻辑推理能力。对“放回”与“不放回”等条件的辨析，更是对逻辑严谨性的高阶要求。

二、教材内容立体化剖析

本节课在北师大版九年级上册第三章“概率的进一步认识”中，处于承上启下的关键位置。前两课时学生已学习了用树状图或表格求两步试验概率的基本方法，掌握了处理类似“抛两枚硬币”、“掷两次骰子”（放回）等标准模型的能力。

本课时（第3课时）的教材定位与深化点在于：

1.复杂度的提升：从单纯的“两步”试验，拓展到“两步以上”或“一步但涉及多个因素”的问题。例如，三人依次抽签、连续转动多次转盘等。

2.条件的深化：核心突破点在于引入“不放回”抽样这一关键条件。在前两课时的“放回”情境中，各步试验是相互独立的，第二步的可能性结果不受第一步影响。而“不放回”则意味着试验步骤之间相互影响，第二步的样本空间因第一步的结果而改变。这是学生认知上的一个难点，也是概率思维从“独立”走向“关联”的重要飞跃。

3.方法的择优与综合：当试验步骤超过两步时，树状图的层级会变多，可能显得繁琐；表格在处理两步试验时直观，但三步及以上则无能为力。教材通过例题引导学生对比、反思，体会树状图在处理多步骤问题时的系统性优势，以及表格在处理两步问题（尤其涉及两个因素）时的简洁性，从而学会根据问题特征灵活选择或结合使用工具。

4.向后续学习铺垫：本节课对复杂等可能事件概率的枚举计算，为高中学习排列组合、条件概率、乘法原理等更抽象、更一般的计数方法奠定了坚实的直观经验和思维基础。

三、学情精准诊断与教学预设

已有基础：

1.知识层面：学生已掌握概率的古典定义，能用列举法（直接列表或画树状图）求简单的两步等可能事件的概率。

2.技能层面：具备绘制简单树状图和二维表格的基本操作能力。

3.思维层面：初步形成了“等可能”假设下的概率思维，理解“所有可能结果数”与“指定事件结果数”之比的基本计算逻辑。

潜在困难与误区：

1.“不放回”情境的理解障碍：学生容易混淆“放回”与“不放回”对第二步及后续步骤样本空间的影响。常犯的错误是，在“不放回”情境中，错误地认为每一步的可能性结果数量保持不变。

2.列举的系统性与完备性不足：面对步骤增多或情况复杂时，学生的列举容易陷入混乱，出现重复或遗漏。特别是在使用树状图时，可能因层级不清或分支标记不完整而导致错误。

3.工具选择依赖与僵化：部分学生可能对某一种工具（如表格）形成依赖，当遇到不适用的情境时（如三步试验），不能主动转换思维，尝试使用树状图。

4.“等可能性”的隐含假设忽视：在实际问题中（如质量不均的抽奖签、转盘扇形不等圆心角等），学生可能未经思考直接套用工具，忽略了对问题是否满足“等可能”前提的判断。

5.计算结果与直观感知的冲突：对于一些反直觉的概率结果（如“三门问题”的简化版），学生可能难以接受计算结论，这需要教师精心设计认知冲突和验证活动。

教学应对策略预设：

1.针对“不放回”难点，采用对比教学法，将“放回”与“不放回”的同类问题并列呈现，通过实物演示（如抽卡片）或动画模拟，让学生在动态对比中直观感知样本空间的变化。

2.针对列举的系统性，强调“步骤感”和“顺序感”，训练学生先分解事件步骤，再逐层展开，并用统一的符号或标记进行系统编号。

3.针对工具选择，设计对比性任务组，让学生在解决问题的过程中自然感受不同工具的优劣，通过集体评议，总结选择策略。

4.全程渗透“问题是否等可能？”的元认知提问，培养学生严谨审题的习惯。

5.引入少量经典悖论或有趣实例，激发思辨，引导学生认识到数学计算相对于主观直觉的可靠性。

第二部分：教学目标与重难点

一、教学目标

基于以上分析，设定如下三维教学目标：

1.知识与技能：

1.能准确区分随机试验中的“放回”与“不放回”条件，并理解其对后续步骤可能性的影响。

2.熟练运用树状图列举三步及三步以上简单随机试验的所有等可能结果。

3.能根据问题特征（试验步骤数、因素数量），灵活选择使用树状图或表格来清晰、不重不漏地列举所有可能结果。

4.会计算较复杂的等可能事件的概率，并能用概率公式进行规范表述和计算。

2.过程与方法：

1.经历从复杂实际问题中抽象出概率模型、选择合适枚举工具、求解并解释结果的完整数学活动过程。

2.通过对比“放回”与“不放回”情境下树状图的异同，体会条件变化对模型的影响，掌握分析动态样本空间的方法。

3.在解决实际问题的过程中，发展有序思考、分类讨论的数学思维能力和数学建模能力。

3.情感、态度与价值观：

1.在解决跨学科、生活化的概率问题中，感受数学的实用价值和应用之美，增强数学应用意识。

2.通过小组合作探究，体验交流、协作在解决复杂问题中的重要性，培养团队精神。

3.在克服“不放回”等学习难点的过程中，锻炼思维的严谨性和克服困难的意志品质。

二、教学重难点

教学重点：

1.在“不放回”条件下，正确画出树状图，理解每一步可能结果数的变化。

2.能根据具体问题的特征，灵活、恰当地选择树状图或表格作为枚举工具。

教学难点：

1.理解“不放回”抽样中各步试验结果的非独立性，及其在树状图上的动态呈现。

2.面对多步骤、多因素的复杂情境，能有条理、系统地构建树状图模型，确保列举的完备性。

第三部分：教学准备与资源

资源类型

具体内容

设计意图

教师准备

1.交互式课件：包含“放回”与“不放回”的动画对比、动态树状图生成演示。

2.实物教具：不透明袋子、编号小球/卡片、转盘模型。

3.学习任务单（纸质或电子）：包含阶梯式探究问题、课堂练习与分层作业。

4.经典概率史话或应用案例资料（备用）。

利用多媒体和实物增强直观感知；任务单引导学习进程，支持个性化学习。

学生准备

1.复习前两课时内容，特别是树状图和表格的基本画法。

2.准备铅笔、尺子、彩笔（用于画树状图时分色标注）。

3.预习本课时导读问题。

建立新旧知识联系，为课堂深度探究做好认知准备。

环境准备

1.多媒体教学平台。

2.小组合作布局的课桌椅。

3.实物投影仪，便于展示学生作品。

创设利于互动、合作、展示的物理与信息环境。

第四部分：教学过程实施环节（核心部分）

环节一：情境激疑，温故引新（预计时间：8分钟）

活动1：快速反应，回顾旧知

教师出示两个基础问题，学生口答并简述方法。

1.（两步，放回）一个盒子中装有红、白两个小球，除颜色外其他均相同。随机摸出一个小球，记录颜色后放回搅匀，再摸出一个。用树状图或表格求两次都摸到红球的概率。

2.（两步，因素不同）掷一枚质地均匀的骰子，同时转动一个被平均分成红、黄、蓝三部分的转盘。用树状图或表格求骰子点数大于4且转盘指针指向红色区域的概率。

设计意图：快速激活学生关于两步试验概率求法的记忆，并隐含提示表格在涉及两个不同因素（骰子与转盘）时的适用性。

活动2：创设认知冲突，引出新问题

教师呈现核心情境：【跨学科情境：生物遗传简化模型】豌豆的高茎（D）对矮茎（d）是显性。将纯种高茎豌豆（DD）与纯种矮茎豌豆（dd）杂交，得到第一代子一代（均为Dd，高茎）。再将两个子一代豌豆（Dd）进行杂交，产生子二代。问：子二代表现为高茎的概率是多少？

（教师简略解释遗传学背景，突出“等可能结合”的数学本质）

学生尝试解决。部分学生可能试图用表格，但发现亲本双方各提供两种等可能的配子（D和d），这是一个两步试验（第一步：第一个亲本提供配子；第二步：第二个亲本提供配子），但两步的结果类型相同且相互独立（可视为“放回”心理模型）。引导学生初步尝试画树状图。

设计意图：

1.引入跨学科（生物学）情境，体现数学的工具性，激发兴趣。

2.问题本质是三步吗？学生会思考。实则是两步（两个亲本各产生一个配子），但结果组合（DD，Dd，dD，dd）需要理解。这为后续复杂树状图做铺垫。

3.自然过渡到：“如果试验不止两步，或者条件发生变化，我们如何系统处理？”从而引出课题。

环节二：探究新知，突破难点（预计时间：22分钟）

核心探究一：从“放回”到“不放回”的思维跨越

问题链呈现：

问题A（放回）：一个不透明的袋子中装有红（R）、黄（Y）、蓝（B）三个除颜色外完全相同的小球。小明随机摸出一个球，记录颜色后放回袋子搅匀，再摸出一个。求两次摸到同色球的概率。

1.学生独立用树状图法求解。教师巡视，选取典型正确作品用实物投影展示。

2.师生共同梳理标准树状图：第一层3个分支（R，Y，B），第二层每个节点下仍有3个分支，共9种等可能结果。

问题B（不放回）：条件改为：小明随机摸出一个球，记录颜色后不放回，再从剩余球中摸出一个。求两次摸到同色球的概率。

1.学生尝试画树状图。预设会出现错误：第二层每个节点下仍然画了3个分支。

2.教师不直接否定，而是请两位学生上台进行实物模拟演示（一个学生操作，全班观察记录）。通过操作，学生直观感受到：第一次摸走一个球后，袋中只剩下两个球，因此第二次摸球时，可能性结果只有2种，且颜色取决于第一次的结果。

3.关键讨论：对比问题A和问题B的树状图，有什么根本不同？

1.4.引导结论：在“放回”条件下，每一步试验的样本空间相同，树状图每一层的分支数相同。在“不放回”条件下，后一步试验的样本空间依赖于前一步的结果，是动态变化的，因此树状图从第二层开始，分支数减少。

2.5.教师强调：画“不放回”的树状图时，必须时刻关注“剩余情况”，这是保证列举正确的关键。

6.学生修正自己的树状图，并完成概率计算。正确树状图显示共3×2=6种等可能结果，两次同色的结果有(RR?不存在，因为只有一个红球)，实际只有(R,Y,B)中第一次摸到某色，第二次不可能再摸到同色，所以概率为0。这个反直觉的结果（概率为0）会再次强化学生对“不放回”条件的理解。

设计意图：通过对比和实物操作，将抽象的“条件概率”雏形化为直观感知，强力突破“不放回”这一难点。让学生自己发现错误、通过实践纠正错误，建构正确的认知。

核心探究二：多步骤试验与方法的择优

问题C（三步试验）：在问题B（不放回）的基础上，小明摸出两个球后，仍不放回，最后摸出剩下的那个球。求三次摸出的球颜色恰好依次为“红、黄、蓝”的概率。

1.教师引导审题：这现在是几步试验？（三步）还能用表格吗？（不能）用什么工具更清晰？（树状图）

2.小组合作绘制：以4人小组为单位，合作画出完整的树状图。要求：分工明确（一人画第一层，一人根据第一层结果画第二层，一人画第三层，一人检查并计算概率），用不同颜色笔标注不同层级，最终列出所有等可能结果。

3.小组展示与互评。教师利用交互课件，动态生成三层树状图，验证学生结果。总结果数为3×2×1=6种，指定事件概率为1/6。

4.方法反思：教师提问：如果步骤增加到4步、5步呢？树状图还方便吗？引导学生认识到树状图在原理上可以处理任意多步，但步骤太多时，实际绘制会繁琐，需要寻找更高效的计数方法（为后续学习排列组合埋下伏笔），但目前对于三步，树状图仍是最直观可靠的工具。

设计意图：

1.将“不放回”情境延伸到三步，巩固难点，训练复杂树状图的绘制能力。

2.通过小组合作，培养学生的协作能力和系统性操作能力。

3.引导学生体会工具的优势与局限性，形成理性选择工具的意识。

环节三：变式演练，深化理解（预计时间：10分钟）

分层练习（学生根据自身情况至少完成两组）

基础巩固组：

1.从甲、乙、丙三人中随机抽取两人参加志愿服务，用树状图列举所有可能结果，并求甲被抽中的概率。（本质两步不放回）

2.抛掷一枚质地均匀的硬币三次，用树状图求至少出现两次正面的概率。

能力提升组：

3.【跨学科情境：化学实验】实验台上有三瓶无标签的溶液，已知分别是稀盐酸（H）、氢氧化钠溶液（Na）、氯化钠溶液（Cl）。化学老师随机取出一瓶用于演示，不放回，再取出一瓶用于学生实验。用树状图求两次取出的溶液恰好能发生中和反应（H与Na）的概率。

4.小颖有红色、白色两件上衣，蓝色、黑色、灰色三条裤子。她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上。请用合适的方法列举所有搭配，并求她穿上红色上衣和蓝色裤子的概率。（引导学生辨析：这是一步试验，但涉及两个独立因素，用表格更简洁）

设计意图：

1.基础题确保全体学生掌握核心技能。

2.提升题引入新的跨学科情境（化学），保持学习新鲜感，强化应用意识。第4题特意设计为“一步两因素”，与多步骤试验形成对比，让学生在实际选择中深化对表格适用场景（两步或一步但有两个独立变化的因素）的理解。

环节四：归纳建构，凝练升华（预计时间：5分钟）

学生自主总结，教师引导完善

1.知识线：今天我们重点研究了哪两类问题？（“不放回”问题、多步骤问题）解决它们的主要工具是什么？（树状图）

2.方法线：如何画“不放回”情境的树状图？（关注“剩余”，分支数递减）我们如何选择树状图还是表格？

1.3.师生共同完成决策流程图：

问题：求等可能事件的概率

↓

审题：分析试验步骤或因素

↓

┌—————————┬—————————┐

│试验步骤≥3│试验步骤=2│一步，两因素│

│或虽两步但│且因素可同│(如衣服裤子)│

│“不放回”│可不同││

││││

↓↓↓

首选树状图两者皆可，首选表格

系统清晰树状图通用清晰直观

表格简洁

4.思想线：在解决复杂概率问题时，我们体现了哪些数学思想？（分类讨论、有序思考、数形结合、模型思想）

5.易错点提醒：再次强调“放回”与“不放回”的根本区别；画图时确保不重不漏；计算前再次确认所有结果是否“等可能”。

设计意图：将零散的知识点、技能点串联成线、结成网络，形成结构化认知。通过绘制选择策略图，将经验提炼为可迁移的策略性知识。

第五部分：分层作业设计

为满足不同层次学生的发展需求，作业分为“必做基础题”、“选做拓展题”和“实践探究题”三类。

A.必做基础题（全体完成）

1.教材对应章节的课后练习题。

2.从数字1,2,3中随机抽取两个数字组成一个两位数（数字不放回）。用树状图列出所有可能的两位数，并求这个两位数是偶数的概率。

3.小明、小华、小强三人玩“石头剪刀布”游戏。假设每人随机出手势，用树状图求恰好一人赢、一人输、一人平局的概率。

B.选做拓展题（学有余力者完成）

4.【跨学科情境：信息编码】一个二进制代码锁由三个拨盘组成，每个拨盘可以显示0或1。连续尝试三次不同的密码（每次尝试后锁的状态不变，即“放回”），用树状图求三次尝试中至少有一次猜对密码的概率。（提示：先求一次猜对的概率，再考虑对立事件）

5.（经典问题改编）有三个外观相同的盒子，一个装有两个红球（R,R），一个装有两个白球（W,W），一个装有一个红球一个白球（R,W）。随机选择一个盒子，并从该盒子中随机摸出一个球，发现是红球。此时，用树状图分析，这个盒子中另一个球也是红球的概率是多少？（此题涉及条件概率思想，供顶尖学生挑战）

C.实践探究题（小组合作，一周内完成）

6.生活中的概率调查：小组自行设计或发现一个生活中涉及“不放回”抽样的概率问题。例如：扑克牌游戏（如“抽乌龟”）、超市抽奖活动规则、班级活动抽签等。要求：

*清晰描述情境与规则。

*建立概率模型，用树状图或表格进行分析。

*计算相关事件的概率。

*撰写一份简短的调查报告，包括问题描述、模型建立、求解过程、结论与对实际活动的意义（如公平性评价）。

设计意图：基础题巩固课堂所学；拓展题引入二进制、条件概率雏形等概念，满足资优生需求；实践探究题将数学学习延伸至课外真实世界，培养学生的数学建模、合作探究和综合表达能力。

第六部分：板书设计（思维导图式）

板书采用分区域、动态生成的方式，力求体现知识的结构与探究过程。

主板书区（左侧）

课题：复杂等可能事件概率的求解——树状图与表格的深化应用

一、核心工具对比

特征工具

适用场景

优势

注意事项

树状图

1.多步骤试验（≥2步）

2.“不放回”抽样

3.步骤清晰的过程

系统性强，层次分明，能处理复杂关联

步骤多时图较繁；注意分支递减（不放回）

表格

1.两步试验（因素可同可异）

2.一步试验，两个独立因素

直观简洁，利于对比

仅适用于两步/两因素

二、关键难点突破：“不放回”抽样

1.本质：后一步试验的样本空间依赖于前一步结果→动态变化。

2.树状图特征：从第二步起，分支数减少。

3.口诀：一步一画，看清剩下。

三、一般步骤（思维流程）

1.审：审清题意，判断是否“等可能”。

2.析：分析试验步骤或独立因素。

3.选：根据上表选择合适工具。

4.列：规范作图或制表，不重不漏。

5.数：计算所有可能结果数（n）与事件A结果数（m）。

6.算：应用公式P(A)=m/n。

7.答：回归原题，规范作答。

副板书区（右侧）

1.用于展示学生探究过程中的典型树状图案例（正确与错误对比）。

2.用于记录课堂生成的关键问题与结论。

3.预留空间用于练习题的演算与分析。

第七部