第三信号分析

第三信号分析演示文稿第1页，共95页。（优选）第三信号分析第2页，共95页。变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信号，或者说，信号用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅立叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。第3页，共95页。3.2信号表示为正交函数集

信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。一、矢量的分量和矢量的分解矢量在矢量上的分量示意图第4页，共95页。图中

——用分量来近似代表原矢量的误差矢量。图中为在上的斜投影，可有无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量时，都大于。结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。第5页，共95页。从几何图上可得：从解析角度：使则令也可导出——是在最小平方误差的意义上标志着和相互近似程度。为最小第6页，共95页。例如：和相同时，时，由图还可看出，其中，与组成一正交矢量。第7页，共95页。平面矢量分解图

和是一组模为1的正交矢量第8页，共95页。空间中的矢量分解图第9页，共95页。矢量空间的概念可以引申到n维。设n维正交矢量集为即则第10页，共95页。二、信号的分量和信号的分解

信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是函数的分解。1、函数的分量设在区间内，用函数在另一函数中的分量来近似的代表原函数。取何值时，得到最佳近似？第11页，共95页。选择误差函数的方均值为最小。即方均值为求此值最小时的第12页，共95页。令解得矢量分解——是在最小方均误差的意义上代表二函数

和间的相关联的程度。第13页，共95页。称和在区间内为正交，构成了一个正交函数集。称与正交，组成正交矢量。第14页，共95页。例1：试用正弦函数sint在区间（0，2）内来近似表示此函数，使均方误差最小。1t01第15页，共95页。所以解：在区间内近似为第16页，共95页。例2：试用函数在区间内近似表示解：也即cost不包含sint分量，或说cost与sint正交。作业：3.1（1）第17页，共95页。2、正交信号空间

设n个函数构成一函数集，如在区间内满足下列正交特性：——常数则称此函数集为正交函数集，这n个构成一个n维正交信号空间。任意一个代表信号的函数f（t），在区间内可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近似。第18页，共95页。理论上讲在使近似式的均方误差最小条件下，可求得均方误差第19页，共95页。3、用完备正交函数集表示信号如果用正交函数集，，…

在区间近似表示函数方均误差为若令趋于无限大，的极限等于零则此函数集称为完备正交函数集定义1：第20页，共95页。定义2：如果在正交函数集之外，不存在函数x（t）满足等式i为任意整数则此函数集称为完备正交函数集。第21页，共95页。这有两层意思：1，如果x（t）在区间内与正交，则x（t）必属于这个正交集。2，若x（t）与正交，但中不包含x（t），则此集不完备。第22页，共95页。4、复变函数的正交特性。

若和是t的复变函数，则有关正交特性的描述如下：

若在区间内可由来近似，使均方误差幅度最小的之最佳值是

两个复变函数和在区间内互相正交的条件是：第23页，共95页。如果在区间内，复变函数集，满足则称此为正交函数集第24页，共95页。例:(1)三角函数集为正交函数集。例：(2)复指数函数集是一个复变函数集，也是完备正交函数集。第25页，共95页。3.3信号表示为傅立叶级数

1822年法国数学家傅立叶（1768——1830）在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理。一、三角函数集、复指数函数集是完备正交函数集1、三角函数集：representationofsignal:FourierSeries第26页，共95页。为任意整数为三角函数的公共周期第27页，共95页。第28页，共95页。2，复指数函数集为指数函数的公共周期为一完备的正交函数集第29页，共95页。在均方误差最小的条件下，任意函数在区间内可用表示第30页，共95页。二、周期信号f（t）表示为傅立叶级数representationofperiodicsignal:FourierSeries

由数学分析知，当周期信号f（t）满足狄氏条件时，可展开为三角付里叶级数或复指数傅立叶级数。狄氏条件：（1）在一周期内，间断点的数目有限；（2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；（3）在一周期内，电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f（t)满足狄氏条件时，才存在。第31页，共95页。1，周期信号f（t）展开为三角傅立叶级数设f（t）是周期为T的函数第32页，共95页。称为基波分量称为n次谐波分量第33页，共95页。2、周期信号f（t）展开为复指数傅立叶级数证明：第34页，共95页。都可展开为傅立叶级数内，在－)(tft¥<<¥\以上讨论只在内可表示为正交函数集中各分量之和，那么区间以外呢？第35页，共95页。三、周期信号的对称性与傅立叶系数的关系。半周重叠（偶谐函数）半周镜像（奇谐函数）第36页，共95页。解：第37页，共95页。第38页，共95页。解：第39页，共95页。第40页，共95页。解：第41页，共95页。第42页，共95页。第43页，共95页。解：)(tf下形式在一个周期内可写为如第44页，共95页。为奇数为偶数,k=1,2,3...第45页，共95页。第46页，共95页。3.4周期信号的频谱

为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。一、频谱图的概念由上一节知周期信号f（t）可用傅立叶级数来表示。或与的关系图（线图）－－幅度频谱与的关系图（线图）－－幅度频谱第47页，共95页。二、典型周期信号的频谱周期矩形脉冲信号f（t）TtT：脉冲周期：脉冲宽度A：脉冲幅度第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数f(t)是偶函数T：三角函数公共周期第48页，共95页。第二步：频谱分析为离散频率之比值有关，取

与的包络线均为当时即第49页，共95页。计算第一个振幅为零的谐波次数n幅度频谱图1抽样函数令：，把

带入得第50页，共95页。0相位频谱图为复数振幅即即第51页，共95页。-第四步：讨论频谱结构与、的关系1.当不变，增大，谱线间隔减小，谱线逐渐密集，幅度减小

当非周期信号连续频率成立时

此例中为一实数。幅度频谱与相位频谱可以和画在一张图上。第52页，共95页。对于一般频谱，常以从0频率开始振幅为包络线最大值的1/10的频率之间的频带定义为信号的频带宽度2.当不变减小时不变

间隔不变振幅为0的谐波频率3.频带宽度的定义对于周期矩形信号，一般或周期矩形信号的时间特性：f(t)变化快

f(t)变化慢频率特性：变化快的信号必然具有较宽的频带第53页，共95页。三、周期信号的频谱特点(1)离散性——谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为。这种频谱常称为离散频谱。(2)谐波性——谱线在频谱轴上的位置是基频的整数倍。(3)收敛性——各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。第54页，共95页。3.5非周期信号的频谱分析

以上两节讨论了周期信号的傅立叶级数，并得到周期信号的频谱具有离散性、谐波性、收敛性三个特点，本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信号中，导出非周期信号的傅立叶变换FT。一、频谱密度函数以周期矩形信号为例，当周期（周期信号为非周期信号），（离散频谱变成连续频谱），即谱线长度趋于零（无穷小）。此时，原分析方法失效，但谱线长度（振幅）虽同为无穷小，但它们的大小并不相同，相对值仍有差别。第55页，共95页。为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入一个新的量——称为“频谱密度函数”。设周期信号两边同乘以：若为周期信号，时，离散频率连续频率则：第56页，共95页。“频谱密度函数”FouriertransformforthenonperiodicSignals二、非周期信号的傅立叶变换从量纲上来看：，反映了单位频带的频谱值－－频谱密度的概念。称为原函数的频谱密度函数，简称频谱函数。

为周期信号第57页，共95页。换。的频谱密度或傅立叶变称为)()(tfjFw{}）（－—谐和振荡函数集（完备正交）—这里wjwwwjtjejFjFe)()(=第58页，共95页。第59页，共95页。从上式可以看出：非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。不同的是，由于非周期信号的于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。同时，三角函数振幅，故用频谱不能直接画出，必须用它的密度函数作出。最后必须指出，从理论上讲，FT也应满足类似狄氏条件。讨论：第60页，共95页。3.6常用信号频谱函数举例0(b)0(c)1t0(a)第61页，共95页。0(b)不存在。不收敛，时，FT0dtetò¥¥--<aa0t(a)第62页，共95页。第63页，共95页。3、矩形单冲信号（门函数）(d)(a)(b)(c)第64页，共95页。第65页，共95页。常数频谱1不满足绝对可积条件，反变换求解过书P152物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱“或”白色谱“。反变换式：傅立叶变换）的）、（(FT14、单位冲激信号第66页，共95页。（2）冲激函数的逆变换（IFT）将与作变量代换：傅立叶变换：第67页，共95页。第68页，共95页。01t第69页，共95页。6、指数函数的FT即：第70页，共95页。7、周期信号的FT基频：－－周期信号的FT故周期信号的频谱是离散的。将周期信号与非周期信号的分析方法统一起来。第71页，共95页。-2T-T0T2T3Tt(a)周期单位冲激序列表示在无穷小的频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱密度值。序列的傅立叶变换。例一：求周期单位冲激(b)傅立叶变换频谱第72页，共95页。比较（1），（2）两式得8、周期信号的FS与截取其一个周期的信号的FT之间的关系已知第73页，共95页。例2：傅立叶变换傅立叶变换傅立叶级数-2T–T0T2Tt0t00t第74页，共95页。例3：第75页，共95页。3.7傅立叶变换的性质说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。FF第76页，共95页。F说明：一个信号在时域中乘以，等效于在频域中将整个频谱向频率增加方向搬移。频谱搬移技术，在通信系统中得到广泛应用，如调幅、同步解调、变频等过程在此基础上完成。第77页，共95页。F第78页，共95页。第79页，共95页。的傅立叶变换。例1：求函数12)()(-=ttfe第80页，共95页。另可证明：F由尺度变换特性知：又知：第81页，共95页。分析：(1)是实函数与是的偶函数与是的奇函数第82页，共95页。F(3)是实奇函数，即则

必为的虚奇函数第83页，共95页。第84页，共95页。F第85页，共