第一章 第4节 质数、合数与算术基本定理_第1页
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课程名称：初等数论第4节质数、合数与算术基本定理定义1

大于1的正整数，若它只有1及它本身的正因数，则称为质数（或素数）。否则称为合数。一、质数、合数的定义2是最小的质数，也是唯一的既是质数又是偶数的数，称为偶质数。除2外，其它质数都是奇数，也称单质数。所以质数分为单质数和偶质数两类。自然数则可分为0，1，质数和合数。（1）0和1既不是质数也不是合数；

（2)2是最小的质数，也是唯一的偶质数；

（3）3是最小的奇数的质数；

（4）4是最小的合数，9是最小的奇数的质数。

（5）自然数分为0，1，质数与合数。

（6）自然数包括正奇数和非负偶数两大类。奇偶数有正负之分，质数合数无正负之分。二、质数的性质定理1（质因数的存在性定理）

设是大于1的整数，则的大于1的最小正因数是质数。若是合数，则。推论1若大于1的正整数不能被的所有质数整除，则是质数.推论2大于1的正整数都可以分解成若干个质数相乘.

例1判断下面哪些数是质数，哪些是合数.91，119，239，911分析：（1）的质数有2，3，5，7，验证可知7整除91，所以91是合数；（2）的质数有2，3，5，7，验证可知7整除119，所以119是合数；（3）的质数有2，3，5，7，11，13，验证可知都不整除239，所以239是质数；（4)的质数有2，3,5,7,11,13,17,19,23,29验证可知都不整除911，所以911是质数.

推论设，是质数。若，则一定整除其中的某个.定理2设是质数，，则或.

定理3质数的个数无限.

1894年，法国数学家阿尔方.波利尼亚克提出“波利尼亚克猜想”：对所有的自然数，存在无穷多个素数对.

当时，称为孪生素数猜想.

2013年5月14日，《自然》杂志报道，美国新罕布什尔大学的华裔数学家张益唐证明，存在无穷多个之差小于7000万的素数对，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极问题上取得了重大突破，甚至其对数学界的影响将超过陈景润的“2+1”.虽然7000万貌似一个非常大的数字，但相比从2到7000万的跨越，与7000万到无穷的跨越则不可同日而语.三、关于孪生素数的猜想

张益唐，1955年出生于上海，20多岁才进入北京大学，研究生毕业后去了美国普渡大学，念了7年才拿到博士学位。由于他的博士论文用到了他导师证明的定理，后来被发现有错误，导致他几乎无法毕业。也因此与导师老死不相往来。由于拿不到导师的推荐信，只能打零工，直到1999年才在新罕布什尔大学拿到一个临时讲师的职位，一干就是十几年，难以想象，张益唐就是在这样的学术环境下做出了这样杰出的工作。

自从发表论文后，张益唐一下从助教被聘为教授，被评为院士，获得数论奖，更是被邀请在四年一度的数学

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