2025年安徽芜湖市第一中学自主招生数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年高一自主招生考试数学试卷（满分：150分）一、选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中）1．如果关于x的方程有三个根，且这三个根可以作为一个三角形的三边之长，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．若（其中x可取任意实数），则下列选项中不正确的是（

）A． B．C． D．3．在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标有（

）个．A．9 B．7 C．5 D．34．如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（

）A．3 B． C．4 D．5．如图，为的重心，点在延长线上，且，连接并延长交于点，则（

）A． B． C． D．6．若关于x的方程恰有3个解，则所有符合条件的a之和为（

）．A．70 B．65 C．50 D．457．如图，为等腰直角三角形，，若，则、、之间满足（

）A． B．C． D．二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）8．分解因式：________．9．已知，则多项式________．10．已知x，y，为正数，，，则与的大小关系是________．11．如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，则被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为________．12．定义新运算：，其中为正整数．如果，则________．13．如图，已知是等边三角形，边长为3，以为顶点，作等边，边长为6，连接、，若等边绕点在平面内旋转，则的最小值为________．14．如图，曲线是由函数在第一象限内的图像绕坐标原点逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线相交于点、，则的面积为________．三、解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤）15．按要求完成下列各题：(1)解方程：；(2)设x，y为实数，求的最小值．16．如图，在正方形ABCD中，点为延长线上任一点，连接．过点作，交BC的延长线于点，过点作于点．(1)求证：；(2)求的值．17．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，在x轴上有一动点，过点作x轴的垂线交直线AB于点，交抛物线于点，过点作于点．(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设的周长为，的周长为，若，求的值；(3)如图2，在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．18．已知抛物线，直线交抛物线于，两点，设，．(1)，是否为定值，如果是定值则求出该值；(2)设直线与y轴交于点，求抛物线上的任意一点到点的最小距离；(3)是否为定值，如果是定值则求出该值；(4)证明：以线段AB为直径的圆与直线相切．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】原方程已有一个根，方程有三个根要求二次式对应的一元二次方程有两个实根，则，再结合三角形三边关系列出不等式求解的范围即可．【详解】解：由方程，可得一个根，∵方程有三个根，∴有两个实根，∴，解得，设一元二次方程的两个根为，∴，，∵三角形边长为正数，，

∴，∵三个根可作为三角形三边，，已满足两边之和大于第三边，∴，∴，∴，代入，得，，解得，综上所述，的取值范围为．2．D【分析】利用赋值法，给x代入不同特殊值，结合等式变形计算各选项的结果，然后再判断正误即可．【详解】解：A．令，代入原式得，即，故A正确．B．令，得；令，得，即；得，整理得，故B正确．C．由的等式，移项得，故C正确；D．令，代入原式得即，整理得，故D错误．3．C【分析】先对原不等式配方变形，根据平方的非负性确定x，y的可能取值，再列举所有满足条件的整数点，统计个数即可．【详解】解：移项得配方得整理得∵为整数，和均为非负整数．满足和不超过1的情况有：1．，得整数点；2．，得整数点；3．，得整数点；若两个平方都大于等于1，和最小为，不满足条件．综上，满足条件的整数点共个．4．B【分析】设点坐标为，则，由为线段的中点，得到，，从而求出．【详解】解：设点坐标为，轴，，，、、三点均在二次函数的图象上，，为线段的中点，，，，，，，，．5．B【分析】延长交BC于点，过点作交延长线于点，根据重心的性质可得，，再根据得到，推出，通过证明得到，推出，再证明得到，再利用比例的性质即可求解．【详解】解：如图，延长交BC于点，过点作交延长线于点，∵G为的重心，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴．6．A【分析】本题可理解为求函数的图象与直线的交点个数问题，，画出函数图像，运用数形结合思想作答即可．【详解】解：依题意，令，当时，，当时，，当时，，当时，，综上，．根据题意画出函数图像如下：∵关于x的方程恰有3个解，∴与的图像有3个交点，由图像可知：a的值为45或25．∴所有符合条件的a之和为．7．D【分析】设，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点作交延长线于点H，可得是等腰直角三角形，证明是直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点作交延长线于点H，设，，，，由旋转的性质得：，∴，，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，根据勾股定理得：，即，整理得，，∴．8．【分析】把原式拆项可得：原式，再利用分组法分解因式．【详解】解：．9．【分析】先求出x，再将两边平方得出，然后将多项式依次降幂代入以及计算即可．【详解】解：∵∴．∴，两边平方得：，得，整理得：，∴，．10．##【分析】本题主要考查用点坐标表示两点之间距离、完全平方公式的应用和三角形三边关系等知识点，解题的关键是熟悉点坐标的表示和三角形三边关系应用．首先将A和B表达式构造成两点间距离公式的形式，再设点，点，点，则A可以写成点到点的距离和点到点的距离和，B可以写成点到点的距离，再次根据三角形三边关系可得，当点Q在线段上时取等号即可．【详解】解：，，设点，点，点，则A可以写成点到点的距离和点到点的距离和，B可以写成点到点的距离，根据三角形三边关系可得，当点Q在线段上时取等号，那么，．11．【分析】由题意知，给其中任意三个小正方形染色，染第一个小正方形时有25种选择，染第二个小正方形时有24种选择，染第三个小正方形有23种选择，故共有种情况．由于要求被染色的三个小正方形不同行不同列，所以染第二个小正方形时只有种选择，染第三个小正方形时只有种选择，故三个小正方形不同行也不同列的共有种情况，然后求概率即可．【详解】解：由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况，∵，∴被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为．12．【分析】根据定义得出，令，则，展开得出，建立关于x的一元二次方程，利用十字相乘法得出x，再验算即可得出正确答案．【详解】解：∵，∴，令，则，∵，∴，即，∴解得，．当，则，与为正整数不符舍去，当，则，与为正整数符合．13．【分析】取的中点，连接并延长至点，使得，用判定证明，进而用判定证明，所以可得，所以当三点共线时，最短，最短为，求出的长即可求出最终答案．【详解】解：∵、是等边三角形，∴，，，取的中点，连接并延长至点，使得，，，，，，即，又，，，，，∴当且仅当三点共线时，最短，最短为，∵点F为的中点，，，因此的最小值为．14．24【分析】作轴，作轴，根据题意可得，再根据勾股定理求出，然后以点O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立直角坐标系，可得点，接下来求出直线AB的关系式，再将两个函数关系式联立求出解，可得点，最后根据得出答案．【详解】解：如图，过点A作轴，于点C，过点B作轴，于点D，∵点，∴，∴根据勾股定理，得，∴，以点O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立直角坐标系，∴点，设直线AB的关系式为，根据题意，得，解得，∴直线AB的关系式为．根据题意，可知曲线l的关系式为，将两个函数关系式联立，得，解得或，∴点，∴．15．(1)，，，(2)【分析】（1）先整理、变形得，令，原方程可化为，解得或，从而或，求解检验即可；（2）将展开计算并整理为，再根据平方的性质，可得的最小值．【详解】（1）解：原方程可整理为，，，令，则原方程为，解得或，即或，或，解得，或，，经检验：，，，是原方程的解；（2）解：，当且仅当，时，即，时，取得最小值．16．(1)如图1，在上取一点，使得，连接、，，，四边形ABCD为正方形，，，在和中，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，．(2)【分析】（1）在上取一点，使得，连接、，证明，得出，，从而推出，证明，得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得；（2）连接，证明四边形是平行四边形，进而得出，，证明得出，进而根据等腰直角三角形的性质，得出结论．【详解】（1）略（2）连接，如图2，四边形ABCD为正方形，，，四边形是平行四边形，，，，四边形是平行四边形，，，，，即，，，．17．(1)，(2)(3)的最小值为【分析】（1）把代入可得，进而根据抛物线解析式求得的坐标，最后运用待定系数法即可求解直线的解析式；（2）先证明，，根据周长比可得，；再根据，，即，从而由勾股定理求得，进而代入比例式表示出，接着根据解析式表示出点P和点N的坐标，从而表示出，再代入得到方程求解即可；（3）如图2，在y轴上取一点使得，连接，在上取一点使得，先根据两边对应成比例且夹角相等证得，得到，即，则当，，三点共线时，，此时最小，再利用勾股定理求得即可解答．【详解】（1）解：把代入，得，解得，，令，则，即，设直线AB的解析式为，把，代入，得，解得，直线AB的解析式为．（2）解：如图1，，，，，，，，，，∴，∵，，∴，，即∴，，，，，，解得（舍去），，经检验，是原方程的根，．（3）解：如图2，在y轴上取一点使得，连接，在上取一点使得．由（2）可知，，，，，，，，，当，，三点共线时，，此时最小，最小值为，即的最小值为．18．(1)是定值．，(2)(3)是定值，定值为(4)线段AB为直径，圆心的坐标为，圆心到直线的距离为，由（1）知：，，，，，，，，圆心到直线的距离等于半径，以线段AB为直径的圆与直线相切．【分析】（1）联立函数解析式，得到一元二次方程，根据根与