2026届江苏省顶尖九校高三3月联考数学试题及答案

高中江苏联考1．若，则A． B. C． D．2．设集合，，若含有4个元素，则 A． B． C． D．3．的展开式中常数项为A. B. C. D.4．已知两条直线m，n和平面，则下列命题为真命题的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5．科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有概率变为状态，状态的粒子有概率变为状态，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占A.39% B.51% C.64% D.73% 6．若直线上存在点A，圆上存在点B，使得，则的最大值为 A.0 B.2 C.3 D.47．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则△ABC的面积为 A. B. C. D.8．已知正数，满足，则 A． B． C． D．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．下列说法正确的是A．若随机变量，则B．若事件A，B相互独立，则C．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好10．已知函数，，则A．曲线与曲线存在相同的对称中心B．曲线与曲线存在相同的对称轴C．曲线向左平移个单位得到曲线D．曲线与曲线关于y轴对称11.已知四棱锥P-ABCD的体积为12，四边形ABCD是平行四边形，Q为PA的中点，经过直线CQ的平面与侧棱PB，PD分别交于点M，N，设，，则时，平面CMNB.时，C.四面体PQBC的体积为3D.四棱锥P-MCNQ的体积的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量a，ab，且ab，则．13．已知抛物线（）的焦点为，直线与C有唯一的公共点A，则．14．已知函数，对任意，都有≤m，则m的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，已知是圆锥PO的轴截面，，．(1)求圆锥PO的外接球的表面积；(2)若为弧的中点，求二面角的正切值．OOCPAB16．（15分）已知数列各项均不为零，，，．(1)当时，求的前50项和；(2)若，求正整数t的最小值.17．（15分）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，选2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分．学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为，记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分．(1)若，求；(2)求的概率分布列和数学期望；(3)证明：当且仅当时，．18．（17分）已知双曲线（）的离心率为，是C上一点.直线l的斜率为，且与C交于A，B两点．求C的方程；若，求l的方程；证明：△PAB的外接圆的圆心Q在定直线上．19．（17分）已知函数.(1)对任意，是的必要条件，求a的最小值；(2)对任意，函数存在两个零点，.(ⅰ)求a的取值范围；(ⅱ)对于(ⅰ)中给定的a，证明：当取得最小值时，.

江苏联考1．若，则A． B. C． D．【答案】C【解析】因为，所以．故选C．2．设集合，，若含有4个元素，则 A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，且，当时，含有3个元素，不符合；当时，含有5个元素，不符合．故选B．3．的展开式中常数项为A. B. C. D.【答案】A【解析】的展开式中常数项为．故选C．4．已知两条直线m，n和平面，则下列命题为真命题的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【解析】对于A，或，故A错误；对于B，m，n的关系不确定，故B错误；对于D，m可绕n任意旋转，故n与关系不确定，故D错误．故选C．5．科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有概率变为状态，状态的粒子有概率变为状态，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占A.39% B.51% C.64% D.73% 【答案】C【解析】由题意，经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占．故选C．6．若直线上存在点A，圆上存在点B，使得，则的最大值为 A.0 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】不妨设，因为，所以，故在直线上运动，故直线与圆有交点，所以，解得，故的最大值为4．故选D．7．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则△ABC的面积为 A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，故△ABC的面积为．故选C．8．已知正数，满足，则 A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一因为，为正数，所以，故由得，令，易见单调递增，则，所以．故选A．解法二因为，为正数，所以，令，易见单调递增，，，所以在上有零点．故选A．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．下列说法正确的是A．若随机变量，则B．若事件A，B相互独立，则C．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好【答案】ACD【解析】对于A，由正态分布的对称性，A正确；对于B，由题意，又，故B错误；对于C，若样本数据的方差为，则数据的方差为；对于D，由相关指数(决定系数)的概念，故D正确．故选ACD．10．已知函数，，则A．曲线与曲线存在相同的对称中心B．曲线与曲线存在相同的对称轴C．曲线向左平移个单位得到曲线D．曲线与曲线关于y轴对称【答案】AC【解析】因为，对于，令，得对称中心，同理，对称轴为．对于，令，得对称中心，同理，对称轴为．故有相同的零点，所以A正确，B错误；对于C，向左平移个单位得到，故C正确；对于D，与显然不关于y轴对称(可由特殊值判断)．故选AC．11.已知四棱锥P-ABCD的体积为12，四边形ABCD是平行四边形，Q为PA的中点，经过直线CQ的平面与侧棱PB，PD分别交于点M，N，设，，则时，平面CMNB.时，C.四面体PQBC的体积为3D.四棱锥P-MCNQ的体积的最小值为4【答案】BCD【解析】因为，所以，因为，，，所以，因为四点共面，故，所以，即．对于A，当时，得，若平面CMN，由平面，平面平面，所以，故为的中点显然不满足，故A错误；对于B，代入到中，得；对于C，因为，故C正确；对于D，因为，因为(当且仅当时取等号)，故D正确．故选BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量a，ab，且ab，则．【答案】【解析】因为ab，a，所以baba，因为ab，所以ab，故．故填．13．已知抛物线（）的焦点为，直线与C有唯一的公共点A，则．【答案】【解析】联立，得，所以，故，此时，所以，所以．故填．14．已知函数，对任意，都有≤m，则m的取值范围为．【答案】【解析】解法一由题意，因为，所以，故．又，故在和上单调递增，在上单调递减，又，而，．若时，此时，故不恒成立，不满足题意；若，此时，故恒成立，符合；若，此时或，必满足恒成立，符合；综上所述：实数的取值范围是．故填．解法二由题意，因为，所以，故．又，故在和上单调递增，在上单调递减，又，而，．此时，故．若，此时，故恒成立，符合；若，此时或，必满足恒成立，符合；综上所述：实数的取值范围是．故填．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。OCPOCPAB如图，已知是圆锥PO的轴截面，，．(1)求圆锥PO的外接球的表面积；(2)若为弧的中点，求二面角的正切值．【解】（1）方法一圆锥外接球半径即为的外接圆半径，记为．在中，由余弦定理得，所以，……2分CPABCPABOO1所以外接球的表面积为．……5分方法二设，因为，所以，因为，且，……2分所以，解得，故，所以外接球的表面积为．……5分（2）方法一因为是弧的中点，所以．因为平面，且平面，所以，，所以两两垂直．……7分建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的法向量为，CPACPABOxyz取，……9分因为平面的一个法向量为，所以．……11分设二面角为，由图可知为锐角，所以，，所以，即二面角的正切值为．……13分方法二在平面内过作，垂足为，连接，因为，，，且平面，所以平面，……7分因为平面，CPABCPABOH因为，，且平面，所以平面，……9分所以，所以为二面角的平面角．……11分因为，，所以，即二面角的正切值为．……13分16．（15分）已知数列各项均不为零，，，．(1)当时，求的前50项和；(2)若，求正整数t的最小值.【解】(1)当时，，故，……2分所以，即，故，所以数列是周期为6的数列，……4分又，……5分故的前50项和为：．……7分方法一由题意，故，……9分因为，，，所以，即，……11分故正整数满足．当时，，所以，从而，……13分即，得，所以，故最小正整数t的值为2．……15分方法二由（1）知，时，，故不合；……9分当时，因为，在两边同除以得，，即，所以是等差数列，……11分因为，，所以的公差为2，所以，即，……13分所以，故最小正整数t的值为2．……15分17．（15分）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，选2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分．学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为，记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分．(1)若，求；(2)求的概率分布列和数学期望；(3)证明：当且仅当时，．【解】（1）记事件A为“该题恰有2个正确选项”，事件B为“该题恰有3个正确选项”，事件C为“甲随机选择1个选项为正确选项”，则，，……1分所以……3分.……5分（2）随机变量的所有可能取值为，，，，……8分所以随机变量X的概率分布列如下：023所以．……10分（3）证明：随机变量的所有可能取值为，，，，所以，……13分所以当且仅当，当且仅当．得证．……15分18．（17分）已知双曲线（）的离心率为，是C上一点.直线l的斜率为，且与C交于A，B两点．求C的方程；若，求l的方程；证明：△PAB的外接圆的圆心Q在定直线上．【解】(1)记，则，……1分设，，（）则，C的方程为：，因为点在C上，所以，……2分即，，所以双曲线C的方程为．……4分(2)不妨设直线的方程为，，，所以，故，所以，即，或，，，……6分.……8分所以，解得（舍），或，故所求直线的方程为．……10分(3)方法一由题意的中垂线为：，，同理的中垂线，……12分联立，消得，得，即，因为，所以，……14分又设圆心为，则，故，所以，所以，故，又，所以，从而，故圆心在直线上．……17分方法二设圆心为，由题意的中垂线为：,故，……12分即，所以，整理得，同理，即是方程的两根，从而，……14分所以，故，若，则此时直线为，过点，故舍；若，则，从而，从而，故圆心在直线上．……17分方法三不妨设圆的方程为：，则，又，所以，即该方程的两个根为，又为方程的两根，故，……12分由点在圆上，故，故，即，……14分所以，故，若，则此时直线为，过点，故舍；若，则，从而，从而，故圆心在直线上．……17分19．（17分）已知函数.(1)对任意，是的必要条件，求a的最小值；(2)对任意，函数存在两个零点，.(ⅰ)求a的取值范围；(ⅱ)对于(ⅰ)中给定的a，证明：当取得最小值时，.【