4.1 不定积分的概念与性质

第四章

不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节不定积分换元积分法第四节有理函数的不定积分1第三节不定积分分部积分法则本章思维导图引导案例

----已知边际函数，求总函数分析：已知“边际成本函数”，由“边际成本”的概念，即已知总成本函数的导数，求总成本函数。故该问题为：由导函数求原函数的过程，即求导的逆过程，称为不定积分的过程。4第一节

不定积分的概念与性质本节学习目标010203掌握不定积分与一阶导数的关系掌握不定积分的概念与基本运算法则理解原函数的概念能熟练根据不定积分的概念与法则计算不定积分及求导

0405掌握不定积分基本公式一、不定积分在实际问题中,往往会提出一阶导数的逆运算问题.例1平面曲线已知平面曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率f'(x),求平面曲线y=f(x)的表达式.例2运动方程已知作直线运动的物体在任意时刻t的瞬时速度s'(t),求运动方程s=s(t)的表达式.61.原函数定义4.1

已知函数F(x)在区间I(可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间)上可导,

若一阶导数F'(x)=f(x),则称函数F(x)为f(x)在区间I上的原函数.72.原函数与一阶导数关系在满足关系式F'(x)=f(x)的情况下,已知函数F(x)求f(x)是求一阶导数运算,已知函数f(x)求F(x)是求原函数运算,于是求一阶导数与求原函数互为逆运算.由此可知:在存在一阶导数的条件下,任何函数都为其一阶导数的原函数;在存在原函数的条件下,任何函数都为其原函数的一阶导数.根据原函数的定义,在例1中,平面曲线上任意点的纵坐标为该点处切线斜率的原函数;在例2中,作直线运动物体从出发到任意时刻走过的路程为该时刻瞬时速度的原函数83.如果函数存在原函数,那么原函数是否只有一个?如在开区间(-∞,+∞)内,由于一阶导数(x2)'=2x因而函数x2为2x的原函数又由于一阶导数(x2+1)'=2x因而函数x2+1也为2x的原函数9一般地,由于一阶导数(x2+c)'=2x

(c为任意常数)因而函数x2+c为2x的原函数.这说明函数2x的原函数不止一个,而是无穷多个,它们之间仅相差一个常数.10结论：定理4.1

如果函数F(x)为f(x)的一个原函数,则函数族F(x)+c(c为任意常数)也为函数f(x)的原函数,且函数f(x)的任意一个原函数都是这个函数族中的一个函数.11证:由于函数F(x)为f(x)的一个原函数,当然有关系式F'(x)=f(x),因而得到一阶导数(F(x)+c)'=F'(x)=f(x)所以函数族F(x)+c也为函数f(x)的原函数.设函数Φ(x)为f(x)的任意一个原函数,当然有关系式Φ'(x)=f(x),又由于有关系式F'(x)=f(x),从而一阶导数Φ'(x)=F'(x)12根据§3.1拉格朗日定理的推论2,所以Φ(x)=F(x)+c0

(c0为常数)说明函数Φ(x)是函数族F(x)+c中任意常数c取值为c0所对应的那一个函数.根据这个定理,如果函数f(x)存在原函数F(x),则原函数不止一个,而是无穷多个,它们之间仅相差一个常数,构成一个函数族F(x)+c(c为任意常数),它是函数f(x)的所有原函数的一般表达式.134.不定积分定义4.2若函数F(x)为f(x)的一个原函数,则函数f(x)的所有原函数的一般表达式F(x)+c(c为任意常数)称为函数f(x)的不定积分,也称为函数f(x)对变量x的不定积分,记作∫f(x)dx=F(x)+c其中变量x称为积分变量,函数f(x)称为被积函数,乘积f(x)dx称为被积表达式,任意常数c称为积分常数,记号“∫”称为积分记号.141.求不定积分与求微分定理4.2如果函数f(x)存在原函数,则

15证:设函数F(x)为f(x)的一个原函数,当然有关系式F'(x)=f(x),所以一阶导数

=(F(x)+c)'=F'(x)=f(x)

二、求不定积分与求微分、一阶导数关系2.求不定积分与求一阶导数定理4.3如果函数F(x)可导,则∫F'(x)dx=F(x)+c16证:由于函数F(x)为其一阶导数F'(x)的一个原函数,所以不定积分∫F'(x)dx=F(x)+c推论

∫dF(x)=F(x)+c3.求不定积分与求微分、一阶导数根据这两个定理,形式上可以认为:微分记号d在积分记号∫前面时,它们相互抵消;积分记号∫在微分记号d前面时,它们也相互抵消,但由于后积分,须加上积分常数c.由于求不定积分是求一阶导数的逆运算,于是用一阶导数运算检验不定积分运算结果是否正确.判别不定积分∫f(x)dx=F(x)+c正确的唯一标准是一阶导数F'(x)=f(x)17根据这个原则,被积函数当然为原函数的一阶导数,容易得到一些比较简单的不定积分结果如由于一阶导数(x2)'=2x,说明函数x2为2x的一个原函数,于是不定积分∫2xdx=x2+c18例3

的一个原函数

19例4若函数f(x)的一个原函数为函数lnx,则一阶导数f'(x)=(

).

解:由于任何函数都为其原函数的一阶导数,因此函数f(x)为其原函数lnx的一阶导数,即函数

再计算函数f(x)的一阶导数,得到

b20例5若不定积分∫f(x)dx=xlnx+c,则被积函数f(x)=

.

解:由于被积函数为原函数的一阶导数,因而所求被积函数f(x)=(xlnx)'

=lnx+1lnx+121例6

解:根据定理4.2,一阶导数

arctanx22例7

解:根据定理4.3,不定积分

b23值得注意的是:

不定积分代表所有原函数的一般表达式,它等于一个原函数加上积分常数c,而不等于一个原函数,因而积分常数c不能丢掉.如不定积分

244.什么函数存在原函数?如果函数f(x)在区间I(可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间)上连续,则函数f(x)在区间I上存在原函数由于所有初等函数在其定义区间上连续,于是所有初等函数在其定义区间上存在原函数当然可以求它们的不定积分,但有一些初等函数的原函数是非初等函数,因而并不是所有初等函数的不定积分都能表示为初等函数.25三、不定积分性质性质1

如果函数u=u(x),v=v(x)都存在原函数,则不

定积分∫(u±v)dx=∫udx±∫vdx26

又由于它本身含积分常数c,所以得到不定积分∫(u±v)dx=∫udx±∫vdx证:由于一阶导数

27性质2如果函数v=v(x)存在原函数,k为非零常数, 则不定积分∫kvdx=k∫vdx证:由于一阶导数

因而函数k∫vdx为kv的原函数,又由于它本身含积分常数c,所以得到不定积分∫kvdx=k∫vdx28四、不定积分基本公式由于一阶导数(0)'=0,所以不定积分∫0dx=0+c291.常数零2.幂函数

30容易看出:

在幂次不等于-1的条件下,幂函数的一个原函数为幂函数与常系数的积,但幂次升高一次,且常系数是升高幂次的倒数.

31例8计算下列不定积分

32

例9求不定积分∫(5x4+x2+7)dx.解:∫(5x4+x2+7)dx=5∫x4dx+∫x2dx+7∫dx

其中三个不定积分应该各含一个积分常数,但由于任意常数的代数和仍为任意常数,因此在整个不定积分结果中只需加上一个积分常数c.33例10

343.指数函数

由于一阶导数(ex)'=ex,所以不定积分∫exdx=ex+c35例11计算下列不定积分

36例12求不定积分∫(xe-ex+ee)dx.解:∫(xe-ex+ee)dx

37例13

=∫(ex+x)dx

384.三角函数由于一阶导数(cosx)'=-sinx,从而容易得到关系式-(cosx)'=sinx,即一阶导数(-cosx)'=sinx,所以不定积分∫sinxdx=-cosx+c由于一阶导数(sinx)'=cosx,所以不定积分∫cosxdx=sinx+c39由于一阶导数(tanx)'=sec2x,所以不定积分∫sec2xdx=tanx+c由于一阶导数(cotx)'=-csc2x,从而容易得到关系式-(cotx)'=csc2x,即一阶导数(-cotx)'=csc2x,所以不定积分∫csc2xdx=-cotx+c40例14求不定积分∫tan2xdx解:∫tan2xdx=∫(sec2x-1)dx=tanx-x+c41

42例15

(被积函数分子加上x2且减去x2)

43二、总结不定积分基本公