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文档简介

第四节

二阶微分方程本节学习目标010203

了解二阶微分方程常见类型分类04

引例：先看二阶微分方程定义

已知列车在平直的线路上以30米/秒的速度行驶，当制动时列车的加速度为，求制动后列车的运动规律解：设列车开始制动后t秒时行驶了s米由题意得制动后列车的运动规律s=s(t)应满足且满足初始条件：解决该问题就涉及二阶微分方程的求解此式就是一个二阶微分方程若二阶导数能解出来，也可以如下表示：

在上式中出现的情况微分方程可以分成几种不用的情况

根据x，y，y

可见，二阶微分方程的一般形式为：思考：1.定义：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数为二阶，叫做二阶微分方程.1x,y,y

均不出现2x,y,y

只出现一个3x,y,y

只出现其中两个42.四种情况：x,y,y

全部出现对于第一、二种情况只出现x的情况，均可归结为该类型

只需直接积分两次就可得到相应微分方程的解

如：该类型计算方法：对于引例中的微分方程求其通解解：等式两边对自变量t积分，得上式两边再对自变量t积分，得此为方程的通解

例1.计算微分方程满足的特解解：

上式两边再对自变量积分，得故方程的特解为：（1）先求方程的通解对于（2）再求方程的特解将代入解得对于第二种情况只出现和第三种情况只出现x，的情况，均可归结为该类型

例2.求微分方程

的通解解：原式换元，得分离变量法，求解得此为方程的通解方程中缺少项，属于令则即等式两边对自变量积分，得是否可以类似于代数方程部分的降幂法同学们计算总结该类型计算方法：

例3.求微分方程

满足

的通解（2）原式换元变形，得即为原方程的通解解出上面方程的通解p则即等式两边对自变量积分，得出（1）令(3)解：原式变形，得分离变量法，解得故方程的特解为：（1）先求方程的通解对于（2）再求方程的特解将代入解得令则即直接积分，解得同学们计算对于第二种情况只出现及第三种情况只出现

的情况，均可归结为该类型

例4.求微分方程

的通解可以验证：若令下面分析其通解特点，寻求该类型方程的解法则即即P是y的函数，则同学们计算就是上面方程的通解若则根据复合函数求导法则总结该类型计算方法：

训练：按此方法求微分方程

的通解（2）原式换元变形，得再解出即为原方程的通解解出上面一阶微分方程的通解则根据复合函数求导，得（1）令(3)

例4.求微分方程

的通解解：若令分离变量法，解得则即是方程通解同学们计算原式变为即分离变量法，解得对比答案

解：若令则原式变为

分离变量法，解得其通解为

分离变量法或者公式法，解得其通解为

对于第三

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