2026-2027学年人教A版高中数学必修一1.2　集合间的基本关系课件

1.2集合间的基本关系【学习目标】1.理解集合之间的包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集.(数学抽象、逻辑推理)2.会判断给定集合间的关系,并会用符号和Venn图表示.(直观想象)3.在具体情境中,了解空集的含义.(数学抽象)一、子集及相关概念1.Venn图:用平面上_______________代表集合,这种图称为Venn图.2.两个集合之间的关系封闭曲线的内部[点睛]1.∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系;⊆表示集合与集合的关系;2.集合相等的等价条件:A=B⇔A⊆B,且B⊆A.二、空集定义不含_________的集合叫做空集记法⌀规定空集是任何集合的_____,即_____任何元素子集⌀⊆A[思考]0,{0}与⌀三者之间有什么关系?提示:项目0和{0}⌀和0⌀和{0}不同点0是实数,{0}是含有一个元素0的集合,⌀表示不含任何元素的集合关系0∈{0}0∉⌀⌀⫋{0}三、子集的性质1.任何一个集合是它本身的子集,即_____.2.对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么_____.[点睛]1.不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”,因为集合A可能是空集,也可能是集合B.2.含n个元素的集合有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.A⊆AA⊆C【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任意两个集合之间一定有包含关系.()提示:不一定,如集合A={2,3},B={1,2,4},这两个集合就没有包含关系.(2)空集是任何集合的真子集.()提示:空集是空集的子集,但不是真子集.(3)若A⫋B,则B中至少有一个元素不属于A.()提示:由真子集的概念可知.(4)若B⊆A,元素a∉A,则a∉B.()提示:因为B是A的子集,所以不属于A的元素一定不属于B.××√√类型1求集合的子集、真子集(逻辑推理)【典例1】(1)填写表格,回答后面的问题:集合元素个数所有子集子集个数⌀

{a}

{a,b}

{a,b,c}

①你能直接说出集合{a,b,c,d,e}的子集的个数吗?②如果一个集合的元素个数为n,你能用n表示该集合子集、真子集的个数吗?【解析】①集合{a,b,c,d,e}共有32个子集.②含n个元素的集合的子集共有2n个,真子集共有2n-1个.集合元素个数所有子集子集个数⌀0⌀1{a}1⌀,{a}2{a,b}2⌀,{a},{b},{a,b}4{a,b,c}3⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}8(2)(2025·杭州高一检测)已知集合M满足{1,2}⊆M⫋{1,2,3,4,5},这样的集合M有(

)A.6个 B.7个 C.8个 D.9个【解析】选B.由题意,得1,2∈M且3,4,5不全部是M的元素,所以集合M可以为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},共7个.√【解题有招】求集合子集、真子集个数的三个步骤

提醒:要注意两个特殊的子集:⌀和自身.

√2.已知集合A={(1,2),(2,1),(2,2)},试写出A的所有子集,并指出哪些是真子集.【解析】因为A={(1,2),(2,1),(2,2)},所以A的子集有:⌀,{(1,2)},{(2,1)},{(2,2)},{(1,2),(2,1)},{(1,2),(2,2)},{(2,1),(2,2)},{(1,2),(2,1),(2,2)}.其中A的真子集为:⌀,{(1,2)},{(2,1)},{(2,2)},{(1,2),(2,1)},{(1,2),(2,2)},{(2,1),(2,2)}.类型2集合间关系的判断(逻辑推理)【典例2】(1)设集合A={x|x是等腰直角三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x是等边三角形},D={x|x是直角三角形},则(

)A.C⊆A B.D⊆AC.C⊆B D.D⊆B【解析】选C.直角三角形不一定是等腰直角三角形,故B错误;等边三角形都是等腰三角形,故C⊆B,故C正确;等边三角形都不是等腰直角三角形,故A错误;直角三角形不一定是等腰三角形,故D错误.√

√【思路引领】读已知集合M,N,判断它们的关系想判断两个集合关系的方法列举观察法集合元素特征法数形结合法算变换k值,有规律列举M,N中的部分元素,观察判断把M,N中元素的特征等式变形为统一的形式,结合特征判断画出两集合的Venn图,结合图形判断思k取哪些值较好?如何把特征等式变形为统一的形式?图中元素怎样得到的?【解析】选A.方法一(列举观察法):观察上表,可以判断M⊆N.k-3-2-1012345601234

【解题有招】判断集合间关系的方法【即学即练】1.已知集合M={-1,0,1},N={x|x2+x=0},则表示它们关系的Venn图是(

)

【解析】选B.根据题意,集合N={0,-1},则N⫋M,B选项符合题意.√2.(2025·韶关高一检测)若A={x|x2=x},则下列说法正确的是(

)A.⌀∈A B.{1}=AC.{-1,1}⊆A

D.{0}⊆A【解析】选D.A={x|x2=x}={0,1},⌀⊆A,故A错误;{1}≠{0,1},故B错误;-1∉{0,1},故C错误;0∈{0,1},即{0}⊆A,故D正确.√

【解题有招】根据集合的相等关系求参数的注意事项由集合相等求参数时要特别注意验证集合中元素的互异性.【即学即练】已知集合A={0,1,a2},B={1,0,3a-2},若A=B,则a=

.

【解析】由题意,得a2=3a-2,解得a=1或2,当a=1时,集合A,B均不满足互异性,舍去,a=2满足题意.答案:2

【解题有招】利用集合的包含关系求参数问题的关注点(1)题目原型:一般涉及两个集合,其中一个是含参数的,另一个是具体的.(2)解题技法:借助数轴.(3)注意事项:弄清哪个集合是子集,注意对含参集合是否为空集的讨论,不要忘记验证端点值.【即学即练】1.已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x≤2},若B⊆A,则实数a的取值范围为(

)A.a<2 B.a≤2C.a>2 D.a≥2【解析】选C.依题意,A={x|0<x<a},B={x|