1.3　第2课时　补集及综合应用-2026-2027学年高中必修一数学人教A版

第2课时补集及综合应用素养目标思维导图1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义(数学抽象).2.能求给定子集的补集(数学运算).3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用(直观想象).

自主探究【核心概念】1.全集含有所研究问题中涉及的______元素的集合,通常记作U.2.补集所有3.性质A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀,(∁UU)=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A,(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B).探究点一

全集、补集的运算【典例1】(1)设全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM=(

)A.U

B.{1,3,5}

C.{3,5,6}

D.{2,4,6}【思维导引】本题考查了补集运算,直接利用补集的运算即可.【解析】选C.因为U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},由补集的定义可知∁UM={3,5,6}.(2)若全集U={x|-3≤x≤3,x∈R},A={x|-3≤x≤0或1<x≤2},则∁UA=

.

【思维导引】本题考查集合的补集运算.在数轴上标出范围,求出补集.【解析】如图,由补集定义可知∁UA表示图中阴影部分,故∁UA={x|0<x≤1或2<x≤3}.答案:{x|0<x≤1或2<x≤3}【类题通法】求补集的方法(1)排除法:全集及其子集是用列举法表示的,从全集U中去掉所有属于集合A的所有元素组成的集合.(2)Venn图法:较为复杂的集合,还可借助于Venn图求解.(3)数轴法:全集及其子集是用不等式表示的,常借助于数轴求解.

探究点二

并集、交集、补集的综合运算【典例2】(1)(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=(

)A.∁U(M∪N) B.

N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.

M∪∁UN(2)已知全集U=R,集合M={x|-1<x<1},N={x|0<x<2},则图中阴影部分表示的集合是(

)A.{x|x≤0或x≥1} B.{x|x≤-1或x≥2} C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<2}【解析】(1)选A.由题意可得M∪N={x|x<2},则∁U(M∪N)={x|x≥2},选项A正确;∁UM={x|x≥1},则N∪∁UM={x|x>-1},选项B错误;M∩N={x|-1<x<1},则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},选项C错误;∁UN={x|x≤-1或x≥2},则M∪∁UN={x|x<1或x≥2},选项D错误.(2)选B.题图中阴影部分对应的集合为∁U(M∪N),因为M={x|-1<x<1},N={x|0<x<2},所以M∪N={x|-1<x<2},所以∁U(M∪N)={x|x≤-1或x≥2}.【类题通法】求解集合混合运算问题的一般顺序解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,然后再运算其他,如求(∁UA)∩B时,可先求出∁UA,再求交集.

探究点三

补集的综合应用【典例3】(一题多解)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.(1)当a=3时,求A∩B;(2)若a>0,且A⊆∁RB,求实数a的取值范围.【思维导引】(1)a=3时化简集合A,根据交集的定义写出A∩B;(2)方法一:直接法,根据A⊆∁RB,得出关于a的不等式,求出解集即可;方法二:转化法,条件A⊆∁RB转化为A∩B=⌀,再求实数a的取值范围.

【类题通法】已知集合的运算结果求参数的值或范围(1)观察得出不同集合中元素之间的关系.(2)列方程(组)或不等式(组)求解.(3)注意对结果进行检验,避免违背元素的互异性.(4)注意对空集的讨论,以避免漏解.

课堂练习1.若全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},则∁U(M∪N)=(

)A.{1,2,3} B.{2} C.{1,3,4} D.{4}【解析】选D.因为全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},所以M∪N={1,2,3},所以∁U(M∪N)={4}.2.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,5},∁UB={4,5,6},则A∩B=(

)A.{1,2} B.{5} C.{1,2,3} D.{3,4,6}【解析】选A.因为∁UB={4,5,6},所以B={1,2,3},所以A∩B={1,2,5}∩{1,2,3}={1,2}.√√3.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={2,4,6},则A∩(∁UB)=(

)A.{1} B.{2}

C.{4}

D.{1,2}【解析】选A.因为∁UB={1,3,5},所以A∩(∁UB)={1}.4.(多选题)设全集U=R,若集合M⊆N,则下列结论正确的是(

)A.M∩N=M B.M∪N=NC.∁UM⊆∁UN D.(M∪N)⊆N【解析】选ABD.如图所示,当M⊆N时,M∩N=M,M∪N=N,故A,B正确;∁UN⊆∁UM,故C不正确;(M∪N)=N⊆N,故D正确.√√√√5.已知A={x|-1<x<2},B={x|0≤x≤1}.求:(1)A∩B.(2)A∪B.(3)(∁RA)∩(∁RB).【解析】(1)由题意得A∩B={x|-1<x<2}∩{x|0≤x≤1}={x|0≤x≤1}.(2)由题意得A∪B={x|-1<x<2}∪{x|0≤x≤1}={x|-1<x<2}.(3)因