2026八年级数学下册第二十一章四边形专项培优10与正方形有关的常考模型习题课件新版冀教版

第二十一章四边形专项培优10与正方形有关的常考模型模型1正方形中的“十字模型”【模型展示】图示条件AF⊥BEAF⊥EGHF⊥EG结论AF＝BEAF＝EGHF＝EG1．(1)如图①，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？【解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°.∵DE＝CF，∴AE＝DF.∴△BAE≌△ADF(SAS)．∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF.∴∠ABE＋∠AEB＝∠DAF＋∠AEB＝90°.∴易知BE⊥AF.(2)如图②，四边形ABCD是一块正方形草地，现要在内部修建两条路MN，EF，且MN⊥EF，请问MN，EF相等吗？为什么？【解】MN，EF相等．理由如下：如图，作AR∥EF，交CD于点R，作DT∥MN，交BC于点T，DT和AR交于点O.∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，AD＝CD.∴易知四边形AFER，四边形MNTD是平行四边形，∴DT＝MN，AR＝EF.∵MN⊥EF，∴易得AR⊥DT.∴∠DOR＝90°.∴∠RDO＋∠ARD＝90°.∵∠ADC＝90°，∴∠DAR＋∠ARD＝90°.∴∠RDO＝∠DAR.∴△ADR≌△DCT(ASA)．∴AR＝DT.∴EF＝MN.返回模型2正方形中的“对角互补模型”【模型展示】图示条件∠EOF＝90°结论2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF.【证明】在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°.∵四边形A1B1C1O是正方形，∴∠A1OC1＝90°.∴∠AOE＋∠EOB＝∠BOF＋∠EOB＝90°.∴∠AOE＝∠BOF.∴△AOE≌△BOF.(2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕点O转动时，两个正方形重叠部分的面积等于多少？返回模型3正方形中的“角平分线+垂直”模型【模型展示】图示条件点E在射线BC上，EF交∠DCG的平分线于点F，AE⊥EF结论AE＝EF3．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)AE与EF的数量关系为________．AE＝EF∵CF是正方形ABCD的外角的平分线，∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°＝∠AGE.∵∠AEF＝90°＝∠ABC，∴∠BAE＋∠AEB＝90°＝∠AEB＋∠FEC.∴∠BAE＝∠FEC.∴△AGE≌△ECF(ASA)．∴AE＝EF.(2)如图②，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？________(填“成立”或“不成立”)．成立【点拨】如图②，在AB上取点M，使AM＝EC，连接EM.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°.∵AM＝CE，∴BM＝BE，∴△BME是等腰直角三角形．∴∠BME＝45°.∴易得∠AME＝∠ECF＝135°.∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°.∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠FEC＝∠BAE.(3)如图③，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么(1)中的结论是否成立呢？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．【解】(1)中的结论仍然成立．证明如下：如图③，延长BA至点H，使AH＝CE，连接HE.∵BA＝BC，AH＝CE，∴BH＝BE.∴∠H＝45°.∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝45°，∴∠H＝∠ECF.返回模型4正方形中的“半角模型”【模型展示】图示条件∠EAF＝45°结论EF＝BE＋DF，C△EFC＝2AB，FA平分∠DFE，EA平分∠BEF，MN2＝BM2＋DN2FA平分∠DFE，EF＝DF－BE4．如图①，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF.【证明】在正方形ABCD中，CB＝CD，∠B＝∠CDA＝90°，∴∠CDF＝∠B＝90°.又∵BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)．∴CE＝CF.(2)在图①中，若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？【解】GE＝BE＋GD成立．∵∠BCD＝90°，∠GCE＝45°，∴∠BCE＋∠GCD＝45°.∵△BCE≌△DCF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠GCF＝∠GCD＋∠DCF＝∠GCD＋∠BCE＝45°.∴∠ECG＝∠FCG＝45°.(3)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB的中点，且∠DCE＝45°，求DE的长．【解】如图，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于点H，易得四边形ABCH是边长为6的正方形，DE＝DH＋BE，∠BAH＝90°，设DH＝x，则AD