两条平行直线间的距离课件2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.4两条平行直线间的距离新课程标准解读核心素养1.理解两条平行直线间的距离公式的

推导逻辑推理、直观想象2.会求两条平行直线间的距离数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

当今城市，一座座高楼大厦拔地而起，道路两旁树木茂盛、花朵

五颜六色、灯火辉煌，一盏盏路灯就像两条平行的彩虹线.【问题】

如何准确测量两盏路灯间的距离？

知识点

两条平行直线间的距离1.定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的

⁠

的长.2.图示：公垂

线段3.公式：两条平行直线

l1：

Ax

＋

By

＋

C1＝0与

l2：

Ax

＋

By

＋

C2＝0

（

A

，

B

不同时为0，

C1≠

C2）之间的距离

d

＝

⁠.提醒

使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为

一般式；二是两直线方程中

x

，

y

的系数分别相同.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）连接两平行直线上任意两点，即得两平行直线间的距离.

（

×

）（2）若直线

l1：

x

＋

y

－1＝0上有

A

（1，0），

B

（0，1），

C

（－

1，2）三点，则点

A

，

B

，

C

到直线

l2：

x

＋

y

＋1＝0的距离相

等.

（

√

）（3）已知直线

l1：

x

＝

x1，

l2：2

x

＝

x2，则直线

l1，

l2间的距离为｜

x2－

x1｜.

（

×

）×√×2.已知直线

l1：

x

＋

y

＋1＝0，

l2：

x

＋

y

－1＝0，则

l1，

l2之间的距离

为（

B

）A.1D.2

A.0或－10B.0或－20C.15或－25D.0

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升

B.3

A题型一两平行直线间的距离（2）已知直线5

x

＋12

y

－3＝0与直线10

x

＋

my

＋20＝0平行，则它们

之间的距离为

⁠.

1

通性通法求两平行直线间的距离的方法（1）转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点

到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时，

常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算；（2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中

x

，

y

的系

数对应相等.

D.24

2.（2024·绍兴月考）已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3

x

＋2

y

＋1＝0和3

x

＋2

y

＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为

4

x

－6

y

＋

c1＝0和4

x

－6

y

＋

c2＝0，则｜

c1－

c2｜＝（

）D.6

题型二平行线间距离公式的应用角度1

直线方程的确定【例2】

（多选）已知直线

l1：2

x

＋3

y

－1＝0和

l2：4

x

＋6

y

－9＝

0，若直线

l

到直线

l1的距离与到直线

l2的距离之比为1∶2，则直线

l

的

方程为（

）A.2

x

＋3

y

－8＝0B.4

x

＋6

y

＋5＝0C.6

x

＋9

y

－10＝0D.12

x

＋18

y

－13＝0

通性通法

解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然

后由两条平行直线间的距离求参数，从而确定直线方程.角度2

平行直线间距离的最值问题【例3】

（2024·丽水月考）已知直线

l1经过点

P

（0，1），直线

l2经

过点

Q

（5，0），且

l1∥

l2.（1）求

l1与

l2之间的最大距离，并求此时两直线的方程；

（2）若

l1与

l2间的距离为5，求两直线的方程.

②若

l1，

l2的斜率都不存在，则

l1的方程为

x

＝0，

l2的方程为

x

＝5，

它们之间的距离为5，符合题意.综上所述，两直线的方程为

l1：12

x

－

5

y

＋5＝0，

l2：12

x

－5

y

－60＝0或

l1：

x

＝0，

l2：

x

＝5.通性通法

解决两平行直线间距离的最值问题要深刻理解题目条件所表示的

几何意义，将“数”转化为“形”，利用图形的直观性或两平行直线

特有的性质加以解决.【跟踪训练】1.已知直线

l

与直线

l1：3

x

－

y

＋3＝0和

l2：3

x

－

y

－1＝0的距离相

等，则直线

l

的方程是（

）A.3

x

－

y

＋2＝0B.3

x

－

y

－2＝0C.3

x

－

y

－3＝0D.3

x

－

y

＋1＝0

2.

P

，

Q

分别为直线3

x

＋4

y

－12＝0与6

x

＋8

y

＋6＝0上任一点，则｜

PQ

｜的最小值为

⁠.

3

1.两平行直线

x

＋

y

－1＝0与2

x

＋2

y

＋1＝0之间的距离是（

）C.2D.1

2.（2024·舟山月考）两条平行直线3

x

＋4

y

－12＝0与

ax

＋8

y

＋11＝0

间的距离为（

）

3.分别过点

A

（－2，1）和点

B

（3，－5）的两条直线均垂直于

x

轴，则这两条直线间的距离是

⁠.解析：两直线方程分别是

x

＝－2和

x

＝3，故两条直线间的距离

d

＝｜－2－3｜＝5.5

4.求与三条直线

l1：

x

－

y

＋2＝0，

l2：

x

－

y

－3＝0，

l3：

x

＋

y

－5＝

0可围成正方形的直线方程.

解得

c

＝0或－10，所以所求直线方程为

x

＋

y

＝0或

x

＋

y

－10＝0.知能演练·扣课标03课后巩固核心素养落地

1.两条平行直线3

x

－4

y

－2＝0与3

x

－4

y

＋3＝0之间的距离为

（

）A.1B.2C.3D.4

123456789101112131415162.（2024·温州月考）两条平行直线2

x

－

y

＋3＝0和

ax

－3

y

＋4＝0间

的距离为

d

，则（

）

123456789101112131415163.若直线

l1：2

x

－

ay

＋1＝0与

l2：（

a

－1）

x

－

y

－1＝0平行，则

l1与

l2之间的距离为（

）12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.（－∞，4]B.[－16，4]C.[－4，16]D.[4，16]

12345678910111213141516

A.2

x

＋

y

－1＝0B.2

x

＋

y

－2＝0C.2

x

＋

y

＝0D.2

x

＋

y

＋2＝012345678910111213141516

12345678910111213141516

A.3B.－17C.－3D.17

12345678910111213141516

11或－15

123456789101112131415168.已知直线

l

过点

A

（－1，3），直线

l

上任意一点到直线

x

－2

y

＋3

＝0的距离都相等，则直线

l

的方程为

⁠.解析：由题意知，直线

l

与

x

－2

y

＋3＝0平行，设直线

l

的方程为

x

－2

y

＋

a

＝0，将

A

（－1，3）代入可得

a

＝7，故直线

l

的方程为

x

－2

y

＋7＝0.x

－2

y

＋7＝0

12345678910111213141516

3

x

－

y

＋9＝0或3

x

－

y

－3＝0

1234567891011121314151610.已知直线

l1：2

x

＋

y

＋2＝0；

l2：

mx

＋4

y

＋

n

＝0.（1）若

l1⊥

l2，求

m

的值；

12345678910111213141516

12345678910111213141516

11.已知两平行直线

l1，

l2分别过点

P

（－1，3），

Q

（2，－1），它

们分别绕点

P

，

Q

旋转，但始终保持平行，则

l1，

l2之间的距离的

取值范围是（

）A.（0，＋∞）B.[0，5]C.（0，5]

12345678910111213141516

C.1

123456