第07讲 实数（4种题型）（学生版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

第07讲实数（4种题型）【知识梳理】一．实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：按定义分：实数按与0的大小关系分：实数二．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．三.实数与数轴上的点的关系（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．我们尝试用数轴上的一个点来表示．由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．这样，就在数轴上确定一个点来表示．要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。四．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．【考点剖析】一．实数（共7小题）1．（2022秋•大田县期中）把下列各数填入相应的括号内：，，0.，﹣3.14，，（﹣）2，1.010010001⋯（1）无理数：{…}；（2）负实数：{…}；（3）整数：{…}；（4）分数：{…}．2．（2022秋•城阳区期中）把下列各数填入相应的集合内：0，，﹣，，﹣，，，3.1011，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）．（1）整数集合{…}；（2）分数集合{…}；（3）无理数集合{…}．3．（2023春•凯里市校级期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：﹣2.4，π，2.022，，﹣0.15，0，﹣10，﹣1.1010010001…．整数集合：{}；负分数集合：{}；正实数集合：{}；无理数集合：{}．4．（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：，﹣，，，﹣，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）5．（2022秋•浑南区月考）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：1，﹣0.25，2.3，，0，﹣，﹣2，，；负实数集合{…}；有理数集合{…}；无理数集合{…}．6．（2022秋•浚县期中）把下列各实数填在相应的大括号内；，﹣|﹣3|，，，1.1010010001…整数：{}；分数：{}；无理数：{}；负数：{}．7．（2023春•东莞市月考）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：①2；②﹣；③；④0.54：⑤0.1；⑥；⑦0；⑧﹣23；⑨（）2；⑩0.3020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加一）有理数集合：{…}．无理数集合：{…}．正实数集合：{…}．负实数集合：{…}．二．实数的性质（共6小题）8．（2023春•仙游县校级期中）的相反数是（）A．﹣0.236 B．+2 C．2﹣ D．﹣2+9．（2023•泗县校级模拟）的倒数是（）A． B． C． D．10．（2023春•晋安区期中）在下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣3与 B．|﹣3|与﹣ C．|﹣|与﹣ D．3与11．（2023春•景县期中）﹣的绝对值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．212．（2022春•海淀区校级期中）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数，求a+2b的值．13．（2022秋•苏州期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数；②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7；③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：（1）＝；（2）若，则x＝；已知，且与互为相反数，求x，y的值．三．实数与数轴（共7小题）14．（2023春•上思县期中）如图，点A表示的实数是（）A． B． C． D．15．（2023春•长沙期中）如图，3，在数轴上的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（）A．﹣ B．3﹣ C．﹣3 D．6﹣16．（2023春•东莞市校级期中）如图，点E表示的数为（）A．1 B． C． D．17．（2023春•郯城县期中）如图，实数a在数轴上的位置如图所示，化简：＝（）A． B． C． D．18．（2022秋•济南期末）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，AB表示A，B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C为点A，B的“n节点”．例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A，B的“4节点”（1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝；（2）若点D为点A，B的“节点”，请直接写出点D在数轴上表示的数为；（3）若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的倍，且点E为点A，B的“n节点”，求n的值．19．（2021秋•绥宁县期末）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．（1）求出这个魔方的棱长．（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为．20．（2023春•雷州市校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．四．实数的运算（共7小题）21．（2023•大安市四模）计算：＝．22．（2022秋•沧州期末）对于任意的实数m，n，定义一种词“*”，m*n＝mn+n+m，则＝（）A．﹣4 B．4 C． D．23．（2023春•长垣市期末）计算：＝．24．（2023•鼓楼区校级一模）计算：．25．（2023春•东莞市期中）计算：．26．（2023•金安区校级三模）计算：．27．（2023春•利川市期中）计算：．【过关检测】一、单选题1．（2023·江苏·八年级假期作业）在实数，0，，，，，（每两个1之间依次多1个0），这8个实数中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022秋·八年级单元测试）的立方根与81的平方根的和是（

）A．6 B．0 C．6或 D．0或63．（2023·江苏·八年级假期作业）已知，则a、b、c的大小关系是(

)A． B． C． D．4．（2022秋·甘肃兰州·八年级统考期末）在实数中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，矩形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心以对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为(

)

A． B． C． D．6．（2022春·八年级单元测试）在数轴上，下列各数所表示的点在表示2的点右侧的数是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）关于的叙述错误的是（

）A．是无理数 B．在数轴上存在表示的点C． D．8．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在数轴上标有O，A，B，C，D五个点，根据图中各点所表示的数，判断应该在下列线段的（

）

A．上 B．上 C．上 D．上9．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）在下列四个数中，最大的数是（

）A． B． C． D．10．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，输入，则输出的数为（

）A．8 B．16 C．32 D．64二、填空题11．（2023·江苏·八年级假期作业）在下列数中：，，，，，（为正整数），．有理数是____________；无理数是________．12．（2023·江苏·八年级假期作业）把下列各数的标号填在相应的大括号内：①2，②，③，④，⑤，⑥（每两个4多一个0）．（1）有理数集合：{________}；（2）无理数集合：{_______}．13．（2023·全国·八年级假期作业）小华编写了一个程序：输入x→立方根→算术平方根→2，则x为___．14．（2023春·辽宁·八年级期末）计算：______．15．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）若，为实数，且，则的值是________．16．（2022秋·八年级单元测试）的相反数是_______．的绝对值是________．17．（2022秋·广东清远·八年级校联考期中）若，则

______．18．（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）观察下列依次排列的一列数，，2，，，，…，按这个规律写出第n个数：______（第n个数）．19．（2023春·安徽·八年级统考期末）如图，A、B、C分别为数轴上的三点，且，若点B对应的实数为1，点对应的实数为，则点A对应的实数为___________．

三、解答题20．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）计算：．21．（2023春·云南昭通·八年级校考期末）计算：．22．（2022秋·山东青岛·八年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：，0，，，，，，有理数集合：{______}；无理数集合：{______}；负实数集合：{______}．23．（2023·全国·八年级假期作业）如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号）24．（2022春·八年级单元测试）观察下列各式：；；；请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：(1)猜想：．(2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式；(3)应用计算：．25．（2022秋·上海·八年级专题练习