第10讲 函数（8种题型）（学生版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

第10讲函数（8种题型）【知识梳理】1．常量与变量（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．2．函数的概念函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．3．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．4．函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．5．函数值函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．6．函数的图象函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．7．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．8．函数的表示方法函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．【考点剖析】一．常量与变量1．（2022春•宝安区校级期中）在公式S＝﹣t+20中，关于变量和常量，下列说法正确的是（）A．﹣1和20是常量，S和t是变量 B．20是常量，S和t是变量 C．﹣1常量，S和t是变量 D．S是自变量，t是因变量2．（2022秋•庐阳区校级月考）一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中是变量的是（）A．a，t，y B．y C．t，y D．a，y3．（2022秋•涡阳县校级月考）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示，下列说法错误的是（）温度（℃）﹣20﹣100102030传播速度（m/s）318324330336342348A．自变量是传播速度，因变量是温度 B．温度越高，传播速度越快 C．当温度为10℃时，声音10s可以传播3360m D．温度每升高10℃，传播速度增加6m/s二．函数的概念4．（2022春•昌平区期中）在平面直角坐标系中，下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．5．（2022秋•霍邱县期中）如图，下列各曲线中，y不是x的函数的是（）A． B． C． D．6．（2022秋•亳州期中）下列式子中，y不是x的函数的是（）A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝2x﹣1 C．y＝ D．|y|＝x7．（2022秋•淮北月考）如图平面直角坐标系中的曲线或折线中，能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．三．函数关系式8．（2022春•滕州市期中）滕州某布店新进了一批花布，卖出的数量x（米）与售价y（元）的关系如表：数量x（米）1234…售价y（元）8+0.316+0.624+0.932+1.2…那么y与x的关系式是（）A．y＝8x+0.3 B．y＝（8+0.3）x C．y＝8+0.3x D．y＝8+0.3+x9．（2022•无锡二模）写出一个函数表达式，经过（1，0），且函数值随着自变量增大而增大的函数．四．函数自变量的取值范围10．（2022•建始县模拟）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≠±3 B．x≤﹣2 C．x≠3 D．x≥﹣2且x≠311．（2022•游仙区校级二模）已知函数y＝在实数范围内有意义，则x的取值范围是．五．函数值12．（2022春•茂南区期中）根据图中的程序计算y的值，若输入的x值为3，则输出的y值为（）A．﹣5 B．5 C． D．413．（2022秋•蚌山区月考）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在正数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“正和谐函数”．下列函数y1和y2是“正和谐函数”的是（）A．y1＝2x+1和y2＝3x+2 B．y1＝﹣x+3和y2＝2x﹣1 C．y1＝﹣x﹣1和y2＝3x﹣2 D．y1＝﹣x+1和y2＝2x+314．（2022秋•霍邱县校级月考）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3六．函数的图象15．（2022•开州区模拟）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是（）A．4点时气温达最低 B．14点到24点之间气温持续下降 C．0点到14点之间气温持续上升 D．14点时气温达最高是8℃16．（2022•安庆一模）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，1min后将容器内注满．那么容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是（）A． B． C． D．17．（2022秋•迎江区期中）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是米．（2）小明在书店停留了分钟．（3）本次上学途中，小明一共行驶了米．一共用了分钟．（4）在整个上学的途中（哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是米/分．七．动点问题的函数图象18．（2022秋•涡阳县校级月考）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止．已知点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的函数图象如图2所示，则长方形ABCD面积为（）cm2A．20 B．28 C．48 D．2419．（2022秋•天长市月考）如图，长方形ABCD中，AB＝2cm，AD＝3cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D运动，到达点D后停止运动，若点P的运动时间为t（s），△PAD的面积为y（cm2），则y与t之间函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．20．（2022秋•蚌山区月考）已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框从B→C→D→E→F→A的路径运动，记△ABP的面积为y（cm2），y与运动时间t（s）的关系如图2所示，已知AB＝6cm，回答下列问题：（1）当t＝3时，y＝cm2；（2）m＝（s）．八．函数的表示方法21．（2022春•沙坪坝区校级期中）一蓄水池中有水30m3，打开底部排水阀门开始放水后，水池剩余的水量与放水时间有如下关系：放水时间/分1234剩余水量（m3）28262422下列说法错误的是（）A．水池剩余水量是自变量，放水的时间是因变量 B．每分钟放水2m3 C．放水8分钟后，水池剩余水量为14m3 D．放水15分钟，水池里的水可全部放完22．（2022春•陈仓区期中）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把销售的草莓数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系写在了下列表格中：销售数量x（kg）1234…销售总价y（元）8.516.524.532.5…（1）请你写出草莓的销售数量x（kg）与销售总价y（元）之间的关系式；（2）丽丽一家共摘了6.5kg草莓，应付多少钱？【过关检测】一、单选题1．（2023春·广东广州·八年级统考期末）甲、乙两同学从A地出发，沿同一条路到B地，乙先出发，他们离出发地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，下列说法中不符合图象描述的是（

）．

A．他们都行驶了20千米 B．乙在途中停留了1小时C．甲、乙两人同时到达目的地 D．乙出发2小时后，两人相遇2．（2023春·福建福州·八年级统考期末）下列图象中，y不是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023春·福建福州·八年级统考期末）在物理学中，重力的表达关系式是（G代表重力，g代表重力加速度，m代表物体的质量），若重力G为，则物体的质量m是（

）A．500 B．4 C．5 D．4．（2023春·湖南娄底·八年级统考期末）变量x与y之间的关系是，当时，自变量x的值是（

）A．6 B．5 C．4 D．35．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）高师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（

）

A．金额是自变量 B．单价是自变量C．和18是常量 D．金额是数量的函数6．（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）小男从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述小明散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（时间）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的是（

）

A．小明散步共走了900米 B．返回时，小明的速度逐渐减小C．小明在公共阅报栏前看报用了16分钟 D．前20分钟小明的平均散步速度为45米/分7．（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐遗忘，需要有计划的按时复习巩固，如图的实线部分是记忆保持量（%）与时间（天）之间的关系图．下列说法不正确的是（

）

A．图中的自变量是时间，因变量是记忆保持量B．如果不复习，3天后记忆保持量约为C．经过第1次复习与不进行复习，3天后记忆保持量相差约为15%D．图中点A表示的意义是经过第1次复习，第10天时的记忆保持量约为8．（2023春·四川广安·八年级统考期末）下列各曲线中，不能表示是的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

9．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在同一条公路上，甲从地匀速骑自行车到地，乙从地匀速骑摩托车到地，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动．甲、乙两人离地的距离与他们骑车的时间之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（

）A．、两地相距120km B．甲的速度为20km/hC．甲、乙两人出发2h相遇 D．当乙到达目的地时，甲还需4h到达目的地10．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所行驶路程的比为：，甲、乙两车离中点路程(千米)与甲车出发时间(时)的关系图象如图所示，则下列说法中正确结论的个数有(

)①乙车的速度为千米时；②的值为；③的值为；④当甲、乙两车相距千米时，甲行走了小时或小时．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）长方形的周长是26，它的长y与宽x的函数关系式是________．12．（2023春·北京朝阳·八年级校考期中）写出一个在函数图象上的点的坐标______．13．（2023春·河北廊坊·八年级校联考期末）甲、乙两车往返城市与港口之间运送货物，某天，甲车从城出发向港口行进，同时乙车从港口向城行进，图中，分别表示甲、乙两车距城市的距离（千米）与所用时间（时）的关系图象，则

（1）城市到港口的距离是___________千米；（2）甲到达港口所用的时间为___________小时．14．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）2022年苹果上市时某水果店售价为每斤6元，水果店店庆推出优惠活动，当购买苹果5斤以上时，超过部分打九折，小朋妈妈购买斤苹果共付款元，则与的函数关系式为______．15．（2023春·重庆渝北·八年级统考期末）某游客从A地匀速前往B地，到达后用了1小时休息，随即匀速返回，已知返回的速度是从A到B速度的2倍．游客离A地的距离y（千米）与时间x（小时）的函数图像如图所示．则___________（小时）．

16．（2023春·安徽芜湖·八年级统考期末）在函数中，自变量的取值范围是__．17．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）某水库的水位在最近5小时内持续上涨，水库的初始水位高度为12米，水位以每小时米的速度匀速上升，则该水库的水位高度（米）与时间（小时）的函数关系式为________．18．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）如图（1），在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图（）所示，则面积的最大值是______．

三、解答题19．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图是一个斜坡（长度足够）的截面，一些相同的钢球从斜坡顶端由静止沿斜坡滚下，每隔释放一个钢球，每个钢球的速度每秒增加．已知第个钢球速度（单位：），其运动时间（单位：）．

(1)求关于的函数解析式；(2)第个钢球速度与第个钢球运动时间的函数解析式______；当第个钢球的速度是第个钢球的倍时，则第个钢球运动时间______；(3)当第个钢球的速度是第个钢球的倍时，求第个钢球的运动时间．（用含的式子表示）20．（2023春·湖南常德·八年级统考期末）为了鼓励居民节约用电，我省实行居民生活用电分季节按阶梯标准收费，其中冬夏季具体标准如下表：每月用电量（度）单价（元/度）不超过200度的部分0.5超过200度但不超过450度的部分0.6超过450度的部分0.9设小刚家在冬夏季时每月用电量为（度）（），每月电费为（元）．(1)若小刚家6月份，8月份分别用电265度和480度，应缴纳电费各多少元？(2)求小刚家月电费（元）关于月用电量（度）的函数表达式．21．（2023春·湖南永州·八年级统考期末）小红从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，下面给出的图象反映了这个过程中小红离家的距离（米）与她离家的时间（分钟）之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：(1)填空：①小红家到舅舅家的距离为________米；小红在商店停留了________分钟；②小红买好礼物，从商店骑车去舅舅家的速度为________米/分钟；③当小红离家的距离为1200米时，她离开家的时间为________分钟；(2)当时，请直接写出关于的函数解析式．22．（2023春·山东济南·八年级统考期末）阅读下列材料：对于正数x，规定．例如：(1)求