第17讲 重难点04勾股定理之“风吹树折”模型（教师版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

重难点04勾股定理之“风吹树折”模型【知识梳理】风吹树折类题就数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，最多设个未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点在于语言文字如何转化成数学模型.【考点剖析】一．选择题（共2小题）1．一旗杆在其的B处折断，量得AC＝5米，则旗杆原来的高度为（）A．米 B．2米 C．10米 D．米【分析】可设AB＝x，则BC＝2x，进而在△ABC中，利用勾股定理求解x的值即可．【解答】解：由题意可得，AC2＝BC2﹣AB2，即（2x）2﹣x2＝52，解得x＝，所以旗杆原来的高度为3x＝5，故选：D．【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形．2．如图，一根旗杆折断之前的高度是24米，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆在离地面多少米处断裂（）A．15 B．12 C．9 D．21【分析】利用勾股定理，用一边表示另一边，代入数据即可得出结果．【解答】解：由图形及题意可知，设旗杆在离地面x米处断裂，有（24﹣x）2﹣x2＝144，得x＝9，故选：C．【点评】本题主要是考查学生对勾股定理的熟练掌握．二．填空题（共3小题）3．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断前至少有24m高．【分析】根据旗杆未断部分与折断部分及地面正好组成直角三角形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：由勾股定理得斜边为：＝15米，则原来的高度为9+15＝24米．故答案为：24m．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．4．如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区最大的一次台风，一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米，则这棵大树折断前有13.6米（保留到0.1米）．【分析】首先根据勾股定理求得折断的树高是＝，所以折断前树的高度是5+≈13.6米．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝≈8.6米，5+8.6＝13.6米．故答案为：13.6．【点评】考查了勾股定理的应用，比较简单．5．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树4米之外才是安全的．【分析】根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．【解答】解：如图，BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC＝4﹣1＝3m，AB＝9﹣4＝5m，在Rt△ABC中，AC＝＝＝4．【点评】此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．三．解答题（共6小题）6．如图，受台风影响，一棵大树在高于地面5米处折断，大树顶部落在距离大树底部10米处的地面上，问这棵大树原来有多高？【分析】该大树折断后，折断部分与地面、原来的树干恰好构成一直角三角形，设大树高为x，则折断部分为x﹣5，由勾股定理可得出方程：52+102＝（x﹣5）2，解该方程可得出大树原来的高．【解答】解：设大树断掉的部分长为x米，利用勾股定理：52+102＝（x﹣5）2，解得x＝5+5，答：大树原来的高为（5+5）米．【点评】利用勾股定理解应用题，关键在于把折断部分、大树原来部分和地面看作一个直角三角形，利用勾股定理列出方程求解．7．某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为7m的电线杆AC，被台风从离地面2m的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C′是否会落在距离它的底部4m的快车道上？说说你的道理．【分析】电线杆折断后构成一个直角三角形，利用勾股定理求出AC′的长，即可得出正确结论．【解答】解：根据题意，AB＝2m，则BC＝7﹣2＝5m，于是AC′＝＝，又因为＞4，∴电线杆顶部C′会落在距它的底部4m的快车道上．【点评】此题是勾股定理在生活中应用的典型例子，只要善于观察，便可用数学知识解决生活中的诸多问题．8．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断前至少有多高？【分析】根据旗杆未断部分与折断部分及地面正好组成直角三角形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：由勾股定理得斜边为＝15米，则原来的高度为9+15＝24米．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的运用，比较简单．9．台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？【分析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的未知求出．【解答】解：设旗杆未折断部分长为x米，则折断部分的长为（16﹣x）m，根据勾股定理得：x2+82＝（16﹣x）2，可得：x＝6m，即距离地面6米处断裂．【点评】本题的关键是建立数学模型，将实际问题运用数学思想进行求解．10．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从高地面5米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由旗杆高度＝AB+BC解答即可．【解答】解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，∴BC＝＝13m，∴旗杆的高＝AB+BC＝13+5＝18m．答：这根旗杆被吹断裂前有18米高．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，再根据勾股定理进行解答．11．学校的一棵大树被风吹断了，如图，距地面6m处折断，折断的树梢顶部落在距树干底部8m处，求此树原高是多少米？（图1）有两棵大树，一棵高8m，另一棵高2m，BC＝6，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞多少米？（图2）一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面8m，现将梯子顶端沿墙面下滑2m，则梯子底端与墙面距离是否也增长2m？请说明理由（图3）【分析】解决本题的关键是找出合适的直角三角形，并且运用勾股定理求解．（1）△ABC为直角三角形，可以运用勾股定理；（2）将BC向上平移2m，可以得到直角三角形，在三角形中已知2边，求第3边．（3）在直角三角形ABC中求AB，在直角三角形中求BE．【解答】（1）在直角三角形ABC中，AC2＝AB2+BC2，所以AC＝＝10m；∴此树原高＝10+6＝16m．（2）两点之间，直线最短，所以最短距离为直接从D点飞到A点，所以最短距离为：AD＝＝m；（3）在直角三角形ABC中，AB＝8m，AC＝10m，则BC＝＝6m，现将梯子顶端下移至D点，则BD＝6m，DE＝10m，所以在直角三角形BDE中，BE＝＝8m，8m﹣6m＝2m，因此梯子底端与墙面的距离增加了2m．【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的应用，找出题目中的隐藏信息是解决本题的关键．【过关检测】一．选择题（共2小题）1．（2021秋•长沙期中）一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A．10米 B．15米 C．25米 D．30米【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，由此即可得到AB＝2AC，而根据题意找到CA＝5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∵CA＝5米，∴AB＝10米，∴AB+AC＝15米．所以这棵大树在折断前的高度为15米．故选：B．【点评】本题主要利用定理﹣﹣在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．2．（2021秋•常宁市期末）如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为（）A．9米 B．15米 C．21米 D．24米【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．【解答】解：由题意得BC＝9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝15米．所以大树的高度是15+9＝24米．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理．熟记9，12，15这组勾股数，计算的时候较快．二．填空题（共7小题）3．（2021秋•郓城县校级月考）如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是18米．【分析】该大树折断后，AB，BC，AC构成直角三角形，且AB，AC已知，则根据勾股定理可以求得BC，大树折断前的高度为AB+BC．【解答】解：大树折断后形成直角△ABC，且BC为斜边，∴AB2+AC2＝BC2，∵AB＝5米，AC＝12米，∴BC＝＝13米，大树折断前的高度为AB+BC＝5米+13米＝18米．故答案为：18米．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中明白题目的意思求AB+BC，并根据勾股定理求BC是解题的关键．4．（2022秋•东方期末）如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之前的高度是16m．【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为8m，旗杆离地面6m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为＝10m，所以旗杆折断之前高度为10m+6m＝16m．故此题答案为16m．【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．5．（2021春•鄯善县期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为8m．【分析】根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：由勾股定理得，断下的部分为＝5米，折断前为5+3＝8米．【点评】此题主要考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单．6．（2023春•云阳县期中）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有24米．【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9＝24米．【解答】解：因为AB＝9米，AC＝12米，根据勾股定理得BC＝＝15米，于是折断前树的高度是15+9＝24米．故答案为：24．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．7．（2021秋•靖江市校级期中）《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为4.55尺．【分析】设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，根据勾股定理列方程解方程即可．【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2，解得x＝4.55，∴折断处离地面的高度为4.55尺，故答案为：4.55．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练利用勾股定理列出方程是解题的关键．8．（2021秋•邓州市期末）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一个题目“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索AC的长为尺．【分析】设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可列出方程解答即可．【解答】解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，x2﹣（x﹣3）2＝82，解得：x＝，答：绳索长为尺．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2022•灞桥区校级模拟）折竹抵地（源自《九章算术》）：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子处3尺远．则原处还有4.55尺竹子．（1丈＝10尺）【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55．答：原处还有4.55尺高的竹子．故答案为：4.55．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．三．解答题（共1小题）10．（2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长