第01讲 探索勾股定理（原卷版）

第01讲探索勾股定理一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段.例1．直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（

）A．13 B．14 C． D．1例2．中，，，，于D，则_________，_________，_________，_________，_________．例3．是的高且，，则____．例4．中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为_____．例5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（

）A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2例6．已知，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，AC边的长为（）A．3 B． C．3或 D．例7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离是（）A． B． C． D．例8．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、，已知，，（

）．A．90 B．100 C．110 D．120例9．如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．10例10．如图，正方形ABCD的项点A，D在数轴上，且点A表示的数为－1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取，则点E所表示的数为（

）A．1 B． C． D．例11．下面图形能够验证勾股定理的有（）个A．4个 B．3个 C．2个 D．1个例12．如图，在中，cm，cm，点D、E分别在AC、BC上，现将沿DE翻折，使点C落在点处，连接，则长度的最小值（

）A．不存在 B．等于1cmC．等于2cm D．等于2.5cm一、单选题1．斜边长是4的直角三角形，它的两条直角边可能是（

）A．3， B．2，3 C．3，5 D．2，22．如图，在中，，，，D为AB上一动点，当时，的周长为（

）A．14 B．15 C．16 D．183．已知中，，，，则的周长等于（

）A．11 B． C．12 D．134．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，已知a：b=5：12，c=26，则△ABC的面积为（

）A．96 B．98 C．108 D．1205．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm6．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（

）A．5 B． C．6 D．7．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、，已知，，（

）．A．90 B．100 C．110 D．1208．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（

）A．1 B． C． D．9．如图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=4，AB=5，将四个直角三角形中边长4的直角边分别向外延长一倍，得到如图（2）所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线部分）周长是（

）A．36 B． C． D．5210．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（）A． B． C． D．二、填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若AC＝3，AB＝5，则BC＝_____，CD＝_____．12．若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________．13．如图，在数轴上点A表示的实数是________．14．在平面直角坐标系中，点在第三象限，且点P到y轴的距离为3，则点P到坐标原点的距离为___________．（结果保留根号）15．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则与的大小关系是：_______（填“>”，“=”或“<”）．16．如图，，，，则OD＝______．17．如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．18．已知在三角形中，，，为边上的高，且，则________．三、解答题19．求出下列直角三角形中未知边的长度．20．如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长．21．如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，，，．求BD的长．22．如图，在中，，，，是边上的中线，求的长．23．如图，以为斜边分别作和，若，，求的长．24．如图，在△ABC中，，，．求(1)△ABC的面积；(2)斜边AB；(3)高CD．25．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以的速度向终点运动，点从点出发沿方向以的速度向终点运动，，两点同时出发，设点的运动时间为秒．(1)求的长；(2)当时，求，两点之间的距离；(3)当时，求的值？26．如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．(1)若，求的值．(2)若，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时的值是多少？27．解答(1)如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD