第03讲 勾股定理的应用（解析版）

第03讲勾股定理的应用1、创设问题情境，引入新课：前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC中，AB=AC+BC=122+52=132；AB=13米.所以至少需13米长的梯子.2、引入新课：蚂蚁怎么走最近出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面周长等于18厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，刚才几位同学的走法：A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A—→B.哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.②、做一做：教材14页。李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边AB垂直，也就是要检测∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.3，讲授新课：例这是一个滑梯示意图若将滑道AC水平放平刚好与AB一样长，已知滑梯的高度=3M，CD=1M,试求滑道AC的长。解：设滑道AC的长度为x，则AB的长度为x米，AE的长度为（x-1）米。在Rt△ACE中，由勾股定理得：即解得x=5故滑道AC的长度为5米。4、随堂练习：1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：(如图)根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12(千米)；乙到达C点，则AC=1×5=5(千米).在Rt△ABC中，BC=AC+AB=5+12=169=13，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.(1)x=1.5+2，x=6.25，x=2.5所以最长是2.5+0.5=3(米).(2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米).答：这根铁棒的长应在2~3米之间(包含2米、3米).3.试一试(课本P15)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得(x+1)=x+5，x+2x+1=x+25解得x=12则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.5、课时小结这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，例1．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（）米．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：两棵树的高度差为，间距为，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．例2．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝80m所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一．例3．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m，点D到旗杆AB的水平距离为8m，若设旗杆的高度AB长为xm，则根据题意所列的方程是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】如图，过点作于点，在中，根据列出方程即可．如图，过点作于点，，四边形是矩形，，，设旗杆的高度AB长为x，则，，在中，，即．故选A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．例4．如图，圆柱的底面半径为3cm，高为4πcm，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到与点A相对的B点，则最短路线长为（）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】D【解析】【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点间线段最短，再利用勾股定理求解即可．解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，BC=4πcm，AC为底面半圆弧长，AC=3•π=3π，所以AB==5π（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理等知识，将立体图形化为平面图形是解题的关键．例5．如图，牧童在处放牛，牧童家在处，，处距河岸的距离、的长分别为5km和10km，且，两点的距离为8km，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（

）．A．15km B．16km C．17km D．18km【答案】C【解析】【分析】作出A点关于河岸的对称点A'，根据两点之间线段最短得出BA'的长即为牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．解：作A点关于河岸的对称点A'，连接BA'交河岸与P，连接A'B'，连接PA，过A'作A'B'⊥BD于B'，则PB＋PA＝PB＋PA'＝BA'最短，故牧童应将马赶到河边的P地点．∴B'D＝A'C＝CA＝5km，∴BB'＝BD＋BD'＝10＋5＝15km，∵A'B'＝CD＝8km，∴BA'＝．即牧童至少要走的距离为17km，故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理、轴对称−−最短路径问题在生活中的应用，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．例6．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）m．（取3）A．30 B．28 C．25 D．22【答案】C【解析】【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，根据半圆的周长求得，根据对称求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得．其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm，在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C．【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键．例7．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（

）A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°【答案】C【解析】【分析】依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出OA、OB，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，结合∠NOA的度数即可求出∠SOB的度数，此题得解．解：OA＝40×1.5＝60km，OB＝40×2＝80km，AB＝100km，∵802＋602＝1002，∴OA2＋OB2＝AB2，∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°∵∠NOA＝30°，∴∠SOB＝60°∴乙客轮的航行方向为南偏东60°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理找出∠AOB＝90°是解题的关键．例8．如图，，一架云梯长为25米，顶端A靠在墙上，此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动的距离为（

）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米【答案】C【解析】【分析】由题意知，AB=DE=25米，CB=7米，则在直角△ABC中，根据AB，BC可以求AC，在直角△CDE中，可以求CE，则BD=DC-BD即为题目要求的距离．解：在直角中，已知米，米，米，在直角中，已知米，米，米，米，米，米故云梯底端在水平方向滑动了8米，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，本题中在直角△ABC中和直角△CDE中分别运用勾股定理是解题的关键．例9．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（

）A．6 B．8 C．9 D．15【答案】D【解析】【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．解：如图，将台阶展开，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．例10．已知圆柱形茶杯的高为12厘米，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在杯子口外的长度是x厘米，则x的取值范围是（

）厘米．A．无法确定 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先根据题意画出图形，利用勾股定理求出筷子插入茶杯的最大长度，故可得出筷子露在杯子口外的最短长度，当筷子与杯底垂直时漏在外面的长度最大，由此即可得出结论．解：如图所示：∵AB=5cm，BC=12cm，∴AC==13，∴CD=20-13=7（cm），筷子露在外面的最长长度=20-12=8（cm）．故答案为：8≥x≥7．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，根据勾股定理求出AC的长度是解答此题的关键．例11．某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（）A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元【答案】B【解析】【分析】这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，不妨把两地价格看为是两点间的距离，则由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一条直线上，利用勾股定理即可解出BD的长，即是B﹣D的机票价格．把两地价格看为是两点间的距离，则AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．∵16002+12002=20002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB是直角，∵2500＝1600+900，即AD=AC+CD，∴A，C，D在一条直线上，∴∠BCD是直角，∴BD=＝＝1500，即B﹣D的机票价格为1500元.故选B.【点睛】本题考查了两点间的距离、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB为直角是解题的关键.例12．如图，长方体的长、宽、高分别是6，3，5，现一只蚂蚁从A点爬行到B点，设爬行的最短路线长为a，则的值是（

）A．130 B．106 C．100 D．86【答案】C【解析】【分析】分别利用不同的路径展开图不一样，利用勾股定理求出即可．解：长方体的展开图如图：（1）展开前面右面由勾股定理得a2＝（6+3）2+52＝106；（2）展开前面上面由勾股定理得a2＝（5+3）2+62＝100；（3）展开左面上面由勾股定理得a2＝（5+6）2+32＝130．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用，平面展开图的最短路径问题，利用分类讨论“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”是解题关键．例13．如图，以Rt△ABC各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图所示依次叠在③上，已知四边形EMNC与四边形MPQN的面积分别为9与7，则斜边BC的长为（）A．5 B．9 C．10 D．16【答案】C【解析】【分析】设等边三角形△EBC，△ABD，△ACF的面积分别是S3，S2，S1，AC=b，BC=a，AB=c，根据勾股定理得到c2+b2=a2，根据等式的性质得到c2+b2=a2．根据等边三角形的面积公式得到S3=a2，S2=c2，S1=b2，根据已知条件列方程即可得到结论．解：如图，设等边三角形△EBC，△ABD，△ACF的面积分别是S3，S2，S1，AC=b，BC=a，AB=c，∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90度，∴c2+b2=a2，∴c2+b2=a2．∵S3=a2，S2=c2，S1=b2，∴S3﹣S2=（a2﹣c2）=b2=9，S3﹣S1=a2﹣b2=（a2﹣b2）=c2=+=，∴b=6，c=8，即AB=8，AC=6，∴BC===10，故选：C．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，利用勾股定理求值是关键．一、单选题1．如图，小明和小华同时从A处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（）A．70m B．80m C．90m D．100m【答案】D【解析】【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解．解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°，，，∴，即20s后他们之间的距离为．故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．如图，一棵大树在一次强台风中在距地面8m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为15m，则这棵大树在折断前的高度为（

）A．12m B．17m C．23m D．25m【答案】D【解析】【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝8m，AB＝15m，在Rt△ABC中，由勾股定理得，，∴AC＝（m），∴这棵树原来的高度＝BC+AC＝8+17＝25（m）．即这棵大树在折断前的高度为25m．故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．3．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，.如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）尺A．7.5 B．8 C． D．9【答案】A【解析】【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度为x尺，根据勾股定理解答即可．解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x-1）尺，在中，由勾股定理得：，即：，解得：x=7.5，即芦苇的长度为：7.5尺，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．4．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（）A．2cm B．2cm C．4cm D．10cm【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，然后根据勾股定理，即可求解．解：如图，根据题意得：BC=10cm，AB=cm，CE=2cm，∴BE=BC-CE=8cm，在中，由勾股定理得：，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离10cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，画出图形是解题的关键．5．如图，一架长25米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，梯底端离墙7米，若梯子顶端下滑4米至C点，那么梯子底端将向左滑动（）米．A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】【分析】由题意可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端将向左滑动的距离．解：由题意可得：BE＝7m，AB＝25m，则AE＝＝24（m），∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20（米），∴BD+BE＝DE＝＝15（m），∴DB＝15﹣7＝8（米），即梯子底端将向左滑动8米．故选：C．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质特点.6．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（

）．A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8【答案】B【解析】【分析】设，则，再根据勾股定理分别可得，然后根据建立方程，解方程即可得．解：由题意，设，则，，，、两社区到站的距离相等，，，即，解得，即，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．7．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分b最短，此时本题就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分b最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．解：如图，当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，此时b就是圆柱形的高，即b＝12；∴a＝16﹣12＝4，当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，b13，∴此时a＝3，所以3≤a≤4．故选：B．【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．8．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：=+=，解得：．故选：B．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．9．在A地有甲、乙两支部队，接到命令后分别沿着东北方向与西北方向参加长江大堤的抗洪抢险.行进的速度都为每小时60千米，结果甲、乙两支部队分别用了1小时和1小时20分赶到指定的地点B处和C处，则BC之间的距离为（

）千米.A．80 B．60 C．100 D．120【答案】C【解析】【分析】由题意可判断CA⊥BA，再根据勾股定理即可求解.解：如图，由题意得：CA⊥BA，且BA=60km，CA=60×=80km，所以在Rt△ABC中，(km)，故选C.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解题时从实际问题中得出直角三角形是求解的关键.10．如图所示，在长方形中，，若将长方形沿折叠，使点C落在边上的点F处，则线段的长为（

）A． B． C． D．10【答案】C【解析】【分析】设要求的线段的长为x，根据翻折的性质得到DF的长，并根据勾股定理求出AF的长，在直角三角形BEF中将三边用含有x的式子进行表示，并用勾股定理求解即可.解：如图所示：设长为x，，（翻折），，根据勾股定理可得：，，，∴在中，，，，，，长为．故选C.【点睛】本题主要考察勾股定理得应用，利用轴对称的性质和勾股定理在直角三角形BEF中建立三边长的等量关系，形成方程求解即可得到CE的长.二、填空题11．如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树数断裂之前的高度为______．【答案】16米##16m【解析】【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，在直角三角形ABC中，根据勾股定理解答即可．解：由题意得米，在直角三角形中，由勾股定理得：（米）．所以大树的高度是（米）．故答案为：16米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理公式是解题的关键．12．如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是__．【答案】5cm【解析】【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（2+4）2+12＝37；（2）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（1+4）2+22＝29；（3）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（2+1）2+42＝25．所以最短路径的长为AB＝＝5cm．故答案为：5cm．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．注意在三种不同的情况，要一一求得再比较．13．学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．【答案】7.5；【解析】【分析】旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．解：如图，设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，解得：x=7.5，∴旗杆的高度为7.5m，故答案为7.5．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．14．一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有__cm．【答案】3【解析】【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：=15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：18﹣15＝3（cm）．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．15．如图，在渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是______海里．【答案】【解析】【分析】过点B作BN⊥AM于点N，由已知可求得BN的长；再根据勾股定理求BM的长．解：由已知得，AB=×28=14海里，∠MAB=30°，∠ABM=105°．过点B作BN⊥AM于点N．∵在直角△ABN中，∠BAN=30°∴BN=AB=7海里．在直角△BNM中，∠MBN=45°，则直角△BNM是等腰直角三角形．即BN=MN=7海里，∴BM=（海里）．故答案为：．【点睛】本题考查的是勾股定理解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握勾股定理是解题的关键．16．如图，圆柱形容器中，高为底面周长为在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___(容器厚度忽略不计)．【答案】15【解析】【分析】如图，将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，过A′作A′D⊥BC交BC的延长线于D，则四边形A′ECD为矩形，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为8cm，底面周长为24cm，在容器内壁离容器底部2cm的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，∴A′D＝12cm，BD＝BC+CD＝BC+EA′＝8－2＋3＝9cm，∴在直角△A′DB中，A′B＝cm，故答案为：15．【点睛】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．17．云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为_________m．【答案】【解析】【分析】根据题意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，线段AE即为滑行的最短路线长．在Rt△ADE中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长．解：如图，根据题意可知：AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，线段AE即为滑行的最短路线长．在Tt△ADE中，根据勾股定理，得AE＝（m）．故答案为：【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解决本题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求最短距离．18．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为akm/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是________。【答案】【解析】【分析】先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案解：在Rt中，，，，∴小亮到C所用时间(分);小亮到D所用时间(分)∴小明、小亮同时到达C时，小明、小亮同时到达D时，∴a的取值范围是：【点睛】本题考查了勾股定理的应用，以及路程问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键三、解答题19．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺．）【答案】折断处离地面的高度是4.55尺．【解析】【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，设折断处离地面x尺，则折断的度为（10−x）尺，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．解：设折断处离地面x尺，则折断的度为（10−x）尺，根据题意得：x2＋32＝（10−x）2，解得：x＝4.55，答：折断处离地面的高度是4.55尺．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．20．如图，烟台市正政府决定在相距50km的A、B两村之间的公路旁E点，修建一个大樱桃批发市场，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大樱桃批发市场E应建什么位置才能符合要求？【答案】大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方【解析】【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出和，列等式求解即可．解：设大樱桃批发市场E应建在离A站x千米的地方，则千米．在直角中，根据勾股定理得：，∴，在直角中，根据勾股定理得：，∴．又∵C、D两村到E点的距离相等，∴，∴，所以，解得．∴大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，掌握两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．21．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？【答案】30（海里/时）【解析】【分析】根据题意，利用勾股定理求得AB的长，再利用速度=路程÷时间即可求得答案．解：依题意可知：∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，（海里），BC＝17海里，∴AB＝＝＝15（海里），∴乙船的航速为（海里/时）．【点睛】本题考查了利用勾股定理解决直角三角形的实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．22．一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m．(1)这架梯子的顶端离地面有多高？(2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全．【答案】(1)这架梯子的顶端离地面2.4m；(2)此时使用不安全【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）由勾股定理求出，利用公式求出a进行判断即可．(1)解：由题意可知在中，，，，∴由勾股定理可得，，即，∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m；(2)解：如图所示，，则在中，，，∴由勾股定理可得，，∴可得，∴此时使用不安全．．【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确掌握勾股定理的计算公式及正确理解题意是解题的关键．23．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个景点、其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（、、三点在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求原路线的长．【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)原来的路线的长为千米【解析】【分析】（1）是直角三角形，理由见解析（2）根据勾股定理解答即可(1)是直角三角形，理由是：在中，∵，∴∴是直角三角形且；(2)设千米，则千米，在中，由已知得，由勾股定理得：，∴解这个方程，得，答：原来的路线的长为千米．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键24．太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝