第11讲 二次根式的运算（原卷版）

第11讲二次根式的运算一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。要点：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.三、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.四、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.五、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.例1．下列运算错误的是（

）A． B． C． D．例2．计算的值是（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8例3．计算（2）（）的结果是（

）A．4 B．8 C．16 D．32例4．能使成立的x的取值范围是（

）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2例5．下列计算正确的是(

)A． B．C． D．例6．计算的结果是（

）A． B． C． D．例7．一个长方体纸盒的体积为，若这个纸盒的长为，宽为，则它的高为（

）A．1dm B． C． D．48dm例8．下列计算中，正确的是（

）A． B．C． D．例9．如果最简二次根式与能够合并，那么的值为（

）A． B． C． D．例10．已知则a与b的关系是(

)A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数例11．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：，乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是（

）A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确C．只有甲正确 D．只有乙正确例12．比较大小：（1）_________；（2）_________；（3）_________；（4）_________．例13．计算：（1）________；

（2）_________．例14．已知，，则______．例15．已知，用含a、b的代数式表示_________．例16．对于任意的正数，，定义运算“*”如下：，计算的结果为___________．一、单选题1．计算2×÷的结果是（）A． B． C． D．2．下列各运算，正确的是（

）A． B．C． D．3．计算：（）A． B． C． D．4．已知，，那么与的关系为（

）A．互为相反数 B．互为倒数C．相等 D．是的平方根5．下列结论中，对于实数、，成立的个数有（

）①；

②；

③；

④．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．甲，乙两同学对代数式(m＞0，n＞0)分别作了如下变形：甲：；乙：．关于这两种变形过程的说法正确的是()A．甲，乙都正确 B．甲，乙都不正确C．只有甲正确 D．只有乙正确7．已知=10，则x等于(

)A．4 B．±2 C．2 D．±48．设，则的值一定是（

）.A．正数 B．负数 C．0 D．19．已知，是大于1的自然数，那么的值是（

）.A． B． C． D．10．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于()A．98 B．99 C．100 D．101二、填空题11．________．12．计算_____，化简：_________．13．计算的值是________．14．计算：____________．15．已知，则a＝______；b＝__．16．两个最简二次根式m与a的和5，则m－n＋a＝________．17．设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则______．18．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别是a，b，c，记，则其面．这便是著名的海伦-秦九韶公式．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，这个三角形的面积为_______．三、解答题19．计算（1）；

（2）；（3）；

（4）．20．计算：（1）（2）（3）（4）（5）．21．计算：22．计算：23．计算题（1）2÷×﹣（2）先化简，再求值．（6x+）﹣（4x+），其中x＝，y＝27．24．请阅读下列材料：一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x就叫做a的算术平分根，记作（即），如，3就叫做9的算术平方根．（1）计算下列各式的值：________，________，________；（2）观察（1）中的结果，，，这三个数之间存在什么关系？________________________（3）由（2）得出的结论猜想：________（，）；（4）根据（3）计算：_____