第14讲 轴对称与坐标变化（解析版）

第14讲轴对称与坐标变化一、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b).要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决.（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.例1．在平面直角坐标系中，点A（-1，-3）关于y轴对称的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出点A关于y轴对称的点，然后根据点坐标判断其所在的象限即可．解：∵点A的坐标为（-1，-3），∴点A关于y轴对称的点的坐标为（1，-3），∵点（1，-3）在第四象限，∴点A（-1，-3）关于y轴对称的点在第四象限，故选：D．【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，判断点所在的象限，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．例2．已知关于点A的坐标为，且的相反数为，则点A关于x轴对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据相反数的性质求得的值，进而根据关于轴对称的点的坐标特征求解即可．解：∵的相反数为，∴点A关于x轴对称的点的坐标为故选B【点睛】本题考查了相反数的性质，关于轴对称的点的坐标特征，掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．例3．已知，点与点关于x轴对称，则的值为（

）A．0 B．1 C．－1 D．2021【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系中两点关于x轴对称的特点，求出m，n的值，进而求出结果．∵点A和点B关于x轴对称，∴m-1=2，n-1+3=0，m=3，n=-2，∴．故选B【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点关于x轴对称的特点，熟练掌握是解题的关键．例4．如图，下列说法中正确的是（

）A．点A与点B关于y轴对称 B．点A与点D关于y轴对称C．点B与点E关于y轴对称 D．点C与点E关于x轴对称【答案】C【解析】【分析】根据各个点的坐标及两点关于坐标轴对称的点的特征即可完成．A、点A(−3，2)与点B(−3，-2)关于x轴对称，故说法错误；B、点A(−3，2)与点D(3，1)不关于y轴对称，故说法错误；C、点B(−3，-2)与点E(3，-2)关于y轴对称，故说法正确；D、点C(3，3)与点E(3，-2)不关于x轴对称，故说法错误；故选：C【点睛】本题考查了确定点的坐标及两点关于坐标轴对称，掌握两点关于坐标轴对称是关键．例5．甲、乙、丙三人所处的位置不同，甲说：“以我为坐标原点，乙的位置是，”丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是．”则以乙为坐标原点，甲、丙的坐标分别是(已知三人所建立的直角坐标系在同一平面内，且x轴、y轴的正方向相同)(

)A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】【分析】由于已知三人建立坐标时，x轴y轴正方向相同，以甲为坐标原点，乙的位置是（2，3），则以乙为坐标原点，甲的位置是（-2，-3）；同样，以乙为坐标原点，丙的位置是（3，2）．∵以甲为坐标原点，乙的位置是，∴以乙为坐标原点，甲的位置是；∵以丙为坐标原点，乙的位置是，∴以乙为坐标原点，丙的位置是．故选C．【点睛】本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置由有序实数对确定，有序实数对与点一一对应．例6．四边形ABCD经过平移得到四边形A′B′C′D′，若点A(a，b)变为点A′(a－3，b＋2)，则对四边形ABCD进行的变换是(

)A．先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度B．先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据平面直角坐标系中坐标的平移规律即可解题.解：坐标A(a，b)变为点A′(a－3，b＋2)，说明横坐标减小3个单位长度,纵坐标增大2个单位长度,即先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度,故选D.【点睛】本题考查了平面直角坐标系的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.例7．点和点关于轴对称，则______．【答案】-2；【解析】【分析】根据两点关于x轴对称得到a＝-1，b＝-1，代入计算即可．解：∵点A（a，1）与点B（-1，b）关于x轴对称，∴a＝-1，b＝-1，∴a＋b＝-2．故答案为：-2．【点睛】此题考查了轴对称的性质—关于x轴对称：关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，熟记性质是解题关键．例8．与点关于y轴对称的点的坐标为_______，关于对称的点的坐标为_______．【答案】

【解析】【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数；关于对称的点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标关于对称，据此解题．解：点关于y轴对称的点的坐标为，关于对称的点的坐标为，故答案为：；．【点睛】本题考查直角坐标系、关于y轴对称的点的坐标等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．例9．已知点，若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据点M关于x轴的对称点在第三象限，可知点M在第二象限，让根据第二象限点的特征列不等式计算即可．解：∵点M关于x轴的对称点在第三象限，∴点M在第二象限，则，解不等式得：，解不等式得：，∴不等式组的解集为：，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征，解不等式组等知识点，熟知平面直角坐标系中各个象限中点的坐标特征是解本题的关键．例10．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为（1，3），则点M和点N的坐标分别为M__________，N_________．【答案】（-1，-3）、（1，-3）【解析】根据题意,知A.

M两点关于原点对称,则M(−1,−3).M,N关于原点对称,M的坐标是(−1,−3),则N(1,−3).故答案为M（-1，-3），N（1，-3）.例11．在平面直角坐标系中，已知点关于y轴对称的点为.从点发出一条光线，经过y轴反射后穿过点，此光线在y轴上的入射点的坐标是________.【答案】【解析】【分析】据题意作出有关图形，然后在图中标示出相关点，最后据题意找出各个相应点坐标即可．如图所示：∵点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（-m，n），∴点B（-2，0）关于y轴对称的点的坐标为（2，0），∵反射后经过点B′，则在y轴上的入射点应在0与4的中点，∴点在（0，2）．故答案是：(0,2).【点睛】考查了学生根据题意构建数学模型的能力，学生需要掌握坐标轴的反射对称性质，同时也应注意与坐标知识在不同情境中与其他数学知识的结合应用．例12．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点.已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、…，若点的坐标为，则点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】利用点P（x，y）的终结点的定义分别写出点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（-3，3），点P4的坐标为（-2，-1），点P5的坐标为（2，0），…，从而得到每4次变换一个循环，然后利用2019=4×504+3可判断点P2019的坐标与点P3的坐标相同．解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（-3，3），点P4的坐标为（-2，-1），点P5的坐标为（2，0），…，而2019=4×504+3，所以点P2019的坐标与点P3的坐标相同，为（-3，3）．故答案为（-3，3）．【点睛】本题考查了几何变换：四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．掌握在直角坐标系中各种变换的对应的坐标变化规律，是解决问题的关键．一、单选题1．点和的位置关系是（

）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上都不对2．已知xy≠0，则坐标平面内四个点A(x，y)，B(x，－y)，C(－x，y)，D(－x，－y)中关于y轴对称的是(

)A．A与C，B与D B．A与B，C与DC．A与D，B与C D．A与B，B与C3．已知直角坐标系中，某图形上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的相反数，则所得图形与原图形的位置关系是（

）A．关于x轴对称 B．沿x轴向右平移1个单位长度C．关于y轴对称 D．沿y轴向下平移1个单位长度4．已知，点与点关于x轴对称，则的值为（

）A．0 B．1 C．－1 D．20215．若点（a，﹣3）与点（﹣2，b）关于y轴对称，则a，b的值为（

）A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．a＝﹣2，b＝36．如果点A（m+2，m﹣1）在x轴上，那么点B（m+3，m﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（4，﹣1） B．（﹣4，﹣1） C．（4，1） D．（﹣4，1）7．在平面直角坐标系xOy中，若在第三象限，则关于x轴对称的图形所在的位置是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．坐标平面上有一个轴对称图形，、两点在此图形上且互为对称点．若此图形上有一点C（﹣2，﹣9），则C的对称点坐标为何（）A．（﹣2，1） B． C． D．（8，﹣9）9．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是（

）A．（2018，0） B．（2019，1） C．（2019，1） D．（2018，-1）10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（－2，0），B（1，2），C（1，－2），已知N（－1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，……，依此类推，则点N2020的坐标为：（

）A．（－3，0） B．（－1，8） C．（3，－4） D．（－1，0）二、填空题11．如果点关于y轴的对称点的坐标为，则_______，_______．12．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，则a+b的值是_______．13．在平面直角坐标系中，若点和关于y轴对称，则______．14．将点P（2，1）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，则平移后点P的坐标是______．15．已知，则关于轴的对称点的坐标为__．16．在平面直角坐标系中有一个轴对称图形（只有一条对称轴），其中点A（1，-2）和点(-3，-2)是这个图形上的一对对应点，若此图形上另有一点B(，3)，则点B的对称点的坐标是___________________．17．在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2021次变换后所得的点的坐标是___________．18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，在y轴和x轴上分别有两点P、Q，则A，B，P，Q四点组成的四边形的最小周长为__．三、解答题19．已知点，若点关于y轴对称，求的值．20．按要求完成作图：(1)作出ABC关于y轴对称的图形DEF；(2)求ABC的面积．21．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（3，3），B（1，1），C（4，﹣1）．(1)直接写出点A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1的坐标；(2)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A2B2C2；(3)求△ABC的面积．22．在平面直角坐标系中，A(-3，3)，B（-4，1），C(0，2)．(1)画出△ABC并求出它的面积．(2)作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．(3)△DEF与△ABC是否成轴对称？如