第07讲 位置与坐标（解析版）

第七讲位置与坐标目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一坐标系中的点 2考点二坐标系中的图形 6知识导航知识导航必备知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系及相关概念在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。通常两条数轴位置水平和垂直位置，规定水平轴向右和垂直轴向上为两条数轴的正方向水平数轴称为x轴或横轴，垂直数轴称为y轴或者纵轴，x轴、y轴统称坐标轴，公共原点O称为坐标系的原点。两条数轴把平面划分为四个部分，右上部分叫做第一象限，其余部分按逆时针方向分别叫做第二、第三、第四象限。2、点的坐标表示在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都可以用坐标来表示。过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都有唯一一对有序实数（即点的坐标）与它对应；反之，对于任意一对有序实数，都可以在平面上找到唯一一点与它对应。3、特殊位置上点的坐标特点（1）坐标轴上点的坐标特点x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0。（2）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点与x轴平行直线上所有点的纵坐标相同；与y轴平行直线上所有点的横坐标相同。（3）各象限内点P（a，b）的坐标特点第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0。二、轴对称与坐标变换1、图形的坐标变化与轴对称（1）横坐标不变，纵坐标分别乘-1，所得图形与x轴对称；反之与y轴对称。（2）在坐标系中作轴对称图形的方法：确定对称点坐标，描出各对称点，依次连线。2、直角坐标系中对称点的坐标关系关于x轴对称的两点坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。考点一坐标系中的点1．下列各点中在第四象限的是（）A．（﹣3，7） B．（3，﹣7） C．（3，7） D．（﹣3，﹣7）【解答】解：A、（﹣3，7）在第二象限，故A不符合题意；B、（3，﹣7）在第四象限，故B不符合题意；C、（3，7）在第一象限，故C不符合题意；D、（﹣3，﹣7）在第三象限，故D不符合题意；故选：B．2．点（0，﹣6）在（）A．x轴正半轴上 B．y轴正半轴上 C．y轴负半轴上 D．x轴负半轴上【解答】解：点（0，﹣6）在y轴负半轴，故选：C．3．在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点P（m﹣1，1﹣m）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：由题意得：m+1＝0，∴m＝﹣1，当m＝﹣1时，m﹣1＝﹣2，1﹣m＝2，∴点P（﹣2，2）在第二象限，故选：B．4．在平面直角坐标系中，若点A（m，n）在第四象限，则点B（2+m，1﹣n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵点A（m，n）在第四象限，∴m＞0，n＜0，∴2+m＞0，1﹣n＞0，∴点B（2+m，1﹣n）在第一象限，故选：A．5．（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2），故选：D．6．若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，∴m＝2，m﹣n＝﹣3，解得：n＝5，则点M（m，n）即（2，5）在第一象限．故选：A．7．平面直角坐标系中，点（a，﹣3）关于原点的对称点是（1，b），则ab＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：∵点（a，﹣3）关于原点的对称点是（1，b），∴a＝﹣1，b＝3，ab＝（﹣1）3＝﹣1，故选：B．8．在直角坐标系中，已知点A（2a，a﹣b+1），B（b，a+1）关于原点对称，则a，b的值是（）A．，b＝1 B．，b＝﹣1 C．，b＝﹣1 D．，b＝1【解答】解：∵点A（2a，a﹣b+1），B（b，a+1）关于原点对称，∴，解得：．故选：A．9．若点A（2，6）关于x轴对称后得到点B，则点B的坐标为（）A．（﹣2，6） B．（2，﹣6） C．（6，﹣2） D．（﹣6，2）【解答】解：点A（2，6）关于x轴对称后得到点B，则点B的坐标为（2，﹣6）．故选：B．10．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，﹣4） D．（1，4）【解答】解：点A（1，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣4）．故选：A．11．在直角坐标系中，点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，则m+n的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【解答】解：∵点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，∴m＝﹣4，n＝3，∴m+n＝﹣4+3＝﹣1，故选：A．12．已知点P的坐标为（m，n），且+n2+4n+4＝0，则点P关于x轴的对称点坐标为（）A．（﹣4，2） B．（4，﹣2） C．（4，2） D．（2，﹣4）【解答】解：∵+n2+4n+4＝0，∴+（n+2）2＝0，∴m﹣2n＝0，n+2＝0，解得：m＝﹣4，n＝﹣2，∴P的坐标为（﹣4，﹣2），∴点P关于x轴的对称点坐标为（﹣4，2）．故选：A．13．将点P（﹣5，4）向右平移4个单位，向上平移2个单位，得到点P的对应点P'的坐标是（）A．（﹣5，8） B．（﹣1，2） C．（﹣1，6） D．（﹣5，0）【解答】解：∵将P（﹣5，4）向右平移4个单位，向上平移2个单位得到对应点P′，∴P′的坐标为（﹣5+4，4+2），即P′（﹣1，6），故选：C．14．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）向右平移1个单位长度，得到点P'，则点P'的坐标为（）A．（1，﹣3） B．（2，﹣4） C．（3，﹣3） D．（2，﹣2）【解答】解：平移后点P的坐标为（2+1，﹣3），即（3，﹣3），故选：C．15．三角形ABC在经过某次平移后，顶点A（﹣1，m+2）的对应点为A（2，m﹣3），若此三角形内任意一点P（a，b）经过此次平移后对应点P1（c，d）．则a+b﹣c﹣d的值为（）A．8+m B．﹣8+m C．2 D．﹣2【解答】解：∵A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，m﹣3），∴△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），∴a+3＝c，b﹣5＝d，∴a﹣c＝﹣3，b﹣d＝5，∴a+b﹣c﹣d＝﹣3+5＝2，故选：C．16．第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣2），将线段PQ平移，使平移后的点P、Q分别在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（）A．（﹣4，0） B．（4，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．∵P′在x轴上，Q′在y轴上，则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，∵0﹣m＝﹣m，∴m﹣4﹣m＝﹣4，∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；故选：A．考点二坐标系中的图形17．阅读材料：两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝，则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若点A（4，1），B（3，2），则AB＝，若点A（a，1），B（3，2），且AB＝，则．根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的a的值．根据上面材料完成下列各题：（1）若点A（﹣2，3），B（1，2），则A、B两点间的距离是．（2）若点A（﹣2，3），点B在x轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），B（1，2），∴AB＝，故答案为：；（2）设B（m，n），∵点B在轴上，∴n＝0，∴B（m，0），∵A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，∴52＝（﹣2﹣m）2+（3﹣0）2，整理得（﹣2﹣m）2＝16，∵±＝±4，∴﹣2﹣m＝4或﹣2﹣m＝﹣4，∴m＝﹣6或m＝2，∴B（﹣6，0）或B（2，0）．18．如图，在△AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4）和（6，2），求△AOB的面积．【解答】解：如图，过A作水平线l交y轴于点E，过B作垂线，交直线l与点C，交x轴于点D，则S矩形ECDO＝6×4＝24，SRt△AEO＝×4×2＝4；SRt△ABC＝×2×4＝4；SRt△OBD＝×6×2＝6；则S△OAB＝S矩形ECDO﹣SRt△ABC﹣SRt△AEO﹣SRt△OBD＝10．故三角形AOB的面积是10．19．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，1），B（3，4），C（3，8）．（1）在平面直角坐标系中，描出A、B、C三点，求出三角形ABC的面积；（2）求出三角形ABO的面积．【解答】解：（1）如图所示，连接AB、BC、AC．则三角形ABC的面积＝•BC•（xB﹣xA）＝＝8．（2）如图所示，连接AO，BO．作BD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E．则四边形AEDB为梯形，∴S△ABO＝S梯形AEDB﹣S△AEO﹣S△BOD＝﹣﹣＝10﹣﹣6＝．20．如图，△ABC三个顶点坐标分别是A（﹣1，0），B（2，2），C（2，1）．（1）求△ABC的面积；（2）在x轴上是否存在一点P，使△PAB面积等于△ABC的面积．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）如图，延长BC交x轴于点D，∵B（2，2），C（2，1），∴BD⊥x轴，则D（2，0），∵A（﹣1，0），∴AD＝3，∵B（2，2），C（2，1），∴BC＝1，∴S△ABC＝×BC•AD＝；（2）设P点坐标为（x，0），∵A（﹣1，0），∴AP＝|x+1|，∵S△ABP＝S△ABC＝，∴×AP×2＝，∴AP＝，∴|x+1|＝，即x+1＝或x+1＝﹣，解得x＝或x＝﹣，则P点坐标为（，0）或（﹣，0）．21．【阅读新知】如图1，在平面直角坐标系xoy中，A（x1，y1），A（x2，y2），C为线段AB的中点，求C点的坐标．解：分别过A，C作x轴的平行线，过B，C作y轴的平行线，两组平行线的交点如图1所示，设C（x0，y0），则D（x0，y1），E（x2，y1），F（x2，y0）由图1可知：∴线段AB的中点C的坐标为【应用新知】利用你阅读获得的新知，解答下面的问题：（1）已知A（﹣1，4），B（3，﹣2），则线段AB的中点坐标为（1，1）．（2）平行四边形ABCD中，点A，B，C的坐标分别为（1，﹣4），（0，2），（5，6），利用中点坐标公式求点D的坐标．（3）如图2，B（6，4）在函数的图象上，A（5，2），C在x轴上，D在函数的图象上以A，B，C，D四个点为顶点，且以AB为一边构成平行四边形，直接写出所有满足条件的D点坐标．【解答】解：（1）AB中点坐标为（，），即AB的中点坐标是：（1，1）；故答案是：（1，1）；（2）根据平行四边形的性质：对角线互相平分，可知AC、BD的中点重合，由中点坐标公式可得：，代入数据，得：＝，＝，解得：xD＝6，yD＝0，所以点D的坐标为（6，0）．（3）①当AB为该平行四边形一边时，则CD∥AB，对角线为AD、BC或AC、BD；故可得：＝，＝或＝，＝，故可得yC﹣yD＝yA﹣yB＝2或yD﹣yC＝yA﹣yB＝﹣2∵yC＝0，∴yD＝2或﹣2，代入到y＝x+1中，可得D（2，2）或D（﹣6，﹣2）．综上，符合条件的