北师大小学数学五上《数形结合建构概念 文化浸润发展数感》教学设计

北师大小学数学五上《数形结合建构概念文化浸润发展数感》教学设计一、教材与学情融合分析（一）【基础】教材深度解读与定位本节课《找质数》是北京师范大学出版社出版的义务教育教科书《数学》五年级上册第三单元“倍数与因数”中的第五课时。本单元是小学阶段“数论”初步知识的集中体现，内容涵盖了倍数、因数、2、5、3的倍数的特征、找质数以及数的奇偶性等核心概念。其中，《找质数》一课起着承上启下的关键作用。承上，在于它直接应用了前一课时《找因数》的知识与方法，学生需要通过对具体数的因数个数的观察与分析，才能对新数进行分类；启下，是因为质数与合数的概念是后续学习约分、通分、求最大公因数和最小公倍数的基础，更是未来学习分解质因数以及探索更深远数论知识（如哥德巴赫猜想）的基石。教材编排上，延续了本单元“动手操作—观察发现—抽象概括”的编写思路，通过“用小正方形拼长方形”这一直观模型，将抽象的因数个数概念转化为可视的长方形种数，引导学生经历从具体到抽象、从感性到理性的认知全过程，充分体现了数形结合的数学思想。这不仅是知识传授，更是数学学习方法与思维模式的渗透。（二）【重要】学情精准画像与认知障碍五年级的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已经具备了以下知识与经验基础：第一，掌握了找因数的方法，能够熟练地写出一个非零自然数的所有因数；第二，经历了用拼长方形找因数的过程，理解了长方形的“长”和“宽”与因数的对应关系；第三，对自然数有初步的分类意识（如奇偶性）。这些为本节课通过类比迁移，自主探究质数与合数奠定了坚实的基础。然而，学生在学习过程中仍可能面临以下认知障碍：其一，概念的抽象性。“质数”和“合数”是对数本身内在属性（因数个数）的描述，而非外在的显性特征，学生容易将之与奇数、偶数概念混淆，难以从本质上进行区分。其二，思维定势的干扰。学生可能会误以为“所有的质数都是奇数”或“所有的合数都是偶数”，受已有奇偶性分类的经验影响，形成错误的概括。其三，对“1”的特殊性理解。“1”既不是质数也不是合数，它是自然数分类体系中的一个特例，打破了“非此即彼”的二元认知习惯，需要教师特别引导。因此，本节课的教学设计必须基于学生的真实起点，以操作活动化解抽象，以问题冲突驱动思考，帮助学生自主建构清晰、稳定的概念体系。二、教学目标与核心素养设定（一）【基础】知识与技能目标学生通过在方格纸上画长方形或拼摆小正方形的实际操作，经历质数和合数的探索过程，理解质数与合数的意义。能够准确判断一个数（20以内）是质数还是合数，并能将非零自然数按照因数的个数进行分类，理清自然数（0除外）的另一种分类结构。（二）【重要】过程与方法目标学生通过观察、比较、分类、概括等数学活动，培养观察能力和抽象概括能力。在从“形”（长方形拼摆）到“数”（因数个数）再到“概念”（质数、合数）的转化过程中，深刻体会“数形结合”的数学思想，积累由特殊到一般、由具体到抽象的数学活动经验。（三）【核心】情感态度与价值观目标学生在自主探究与合作交流中，体验数学发现的乐趣，增强学习数学的自信心。通过了解古代数学家筛选质数的方法（如埃拉托斯特尼筛法）以及哥德巴赫猜想的数学文化背景，感受数学文化的博大精深和数学探索的无穷魅力，激发民族自豪感和科学探究精神。三、教学重难点与突破策略（一）【非常重要+高频考点】教学重点理解质数和合数的意义，掌握其概念内涵。突破策略：以“形”促“数”。重点落实在“用小正方形拼长方形”的环节，让学生全员参与，通过记录、观察、比较不同个数小正方形拼成长方形的种数，从而聚焦到因数的个数上。在充分的感性积累基础上，引导学生自发地将这些数进行分类，并用自己的语言描述两类数的特征，最后由教师规范化地给出质数与合数的定义。整个过程不直接灌输，而是让学生在“做”中“思”，在“思”中“悟”，从而深刻理解概念的本质。（二）【难点+热点】教学难点能运用概念正确判断一个数是质数还是合数，特别是处理“1”和较大数的判断。突破策略：一是深化概念辨析。通过设计针对性的判断题和对比题，如“所有的质数都是奇数吗？”“所有的偶数都是合数吗？”引发认知冲突，让学生在辨析中厘清概念的外延，特别是抓住“2”这个唯一偶质数的特例，打破思维定势。二是渗透数学文化。介绍“筛法”，让学生了解古代数学家如何寻找质数，这既是方法的拓展，也是文化的浸润。对于“1”的处理，通过追问“1有几个因数？它符合质数或合数的条件吗？”引导学生自主阅读教材，明确其特殊性，完善自然数的分类体系。三是构建方法体系。引导学生总结判断方法：看因数个数——查质数表——用“筛法”思想试除，形成由简到繁、由具体到一般的解题策略。四、教学准备教师准备：多媒体课件（包含小正方形拼摆动画、百数表、筛法演示视频）、板书贴纸。学生准备：每人一张记录单（含2—12各数的因数及长方形种数表格）、12个小正方形学具（或方格纸）、彩笔。五、【核心】教学实施过程（总时长40分钟）（一）【基础】激活经验，情境导入（预设3分钟）1.游戏引入，复习旧知。师：同学们，上节课我们用小正方形探索了“找因数”。现在我们来玩一个“因数反应快”的游戏。老师说一个数，请你快速说出它的所有因数。准备好了吗？（教师依次出示：4、6、11、1，学生口答并简单说说是怎么找的。）2.聚焦问题，引发猜想。师：请大家看大屏幕（出示用12个小正方形拼成的三种长方形）。还记得吗？用12个小正方形可以拼出3种不同的长方形。老师这里还有几个数（出示2、3、5、7、11），如果让你用这么多个小正方形去拼长方形，你觉得能拼出几种？是越多越好拼吗？生：有的可能多，有的可能少。师：那这背后隐藏着什么数学秘密呢？今天我们就继续当“小小数学家”，通过“找质数”来揭开这个谜底。（板书课题：找质数）（二）【非常重要】操作建构，概念形成（预设18分钟）1.活动一：动手拼摆，记录数据。（1）明确任务：请同学们拿出小正方形学具和记录单，同桌两人合作。一人负责用2个、3个、4个……一直到12个小正方形拼长方形，另一人负责在记录单上记录每种个数的小正方形能拼出几种长方形，并写出这个数的所有因数。（2）学生合作操作，教师巡视指导。重点指导学生有序思考，如拼长方形时，可以从“1排摆几个”想起，确保不重复、不遗漏。对于动手能力稍慢的小组，可以提示他们可以在方格纸上画一画，或者直接通过思考因数对来推断拼法。2.活动二：汇报交流，初步感知。（1）指名小组代表上台，利用投影仪展示完成的记录单，并汇报发现的规律。教师同步将全班公认的结果填入黑板的大表格中。小正方形个数（n）拼成长方形的种数n的因数21种1,231种1,342种1,2,451种1,562种1,2,3,671种1,782种1,2,4,892种1,3,9102种1,2,5,10111种1,11123种1,2,3,4,6,12（2）观察对比，引发思考。师：仔细观察这张表，你有什么发现？是不是小正方形的个数越多，拼成的长方形种数就越多？（引导学生发现：不一定，比如5个小正方形比4个少，但只能拼1种，而4个却能拼2种。）师：那么，拼成的长方形种数到底和什么有关呢？请你们小组讨论一下。生讨论后汇报：和这个数的因数个数有关。因数个数多的，拼成的长方形种数就多；因数个数少的，拼成的长方形种数就少。3.活动三：分类探究，揭示概念。（1）【重要】引导分类。师：你们的发现非常了不起！既然因数的个数有多有少，那我们能不能根据因数个数的特点，把这11个数（212）分分类呢？请你在小组内讨论，并说说你们的分类标准。（2）小组汇报分类结果。预设学生可能会有以下几种分法：分两类：只有两个因数的（2,3,5,7,11）；有两个以上因数的（4,6,8,9,10,12）。分三类：只有两个因数的（2,3,5,7,11）；有三个或三个以上因数的（4,6,8,9,10,12）；只有一个因数的（1）。（此时可能会有学生提出“1”不在表格里，但需要讨论“1”应该归哪类？）（3）抽象概括，揭示概念。师：同学们的分法很有道理。其实，数学家们也像你们这样思考，并且给这些具有不同因数个数特征的数起了名字。请大家打开课本第10页，自学什么叫质数，什么叫合数。学生自学后汇报。师板书：质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。合数：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。（4）【难点】攻克“1”的归属。师：现在请你用质数和合数的概念来审视一下“1”。它有几个因数？符合质数的条件吗？符合合数的条件吗？生：1只有一个因数，所以它既不是质数，也不是合数。师总结：对，1是自然数中的一个特殊成员，它既不是质数，也不是合数。（完善板书：1既不是质数，也不是合数。）4.回顾梳理，强化理解。师：请同学们看着大表格，说一说2—12这些数中，哪些是质数？哪些是合数？为什么？生依次回答，进一步巩固概念。（三）【核心】概念深化，方法建构（预设10分钟）1.判断练习，内化概念。（1）师：我们已经认识了质数和合数。现在请你来判断一下，下面的说法对吗？①所有的质数都是奇数。（）②所有的合数都是偶数。（）③质数只能有1和它本身两个因数。（）④一个非零自然数，不是质数就是合数。（）（2）学生独立思考后，以手势“√”或“×”表示判断结果，并请判断错误的同学说说错在哪里，举出反例。设计意图：第①题通过“2”这个偶质数打破思维定势；第②题通过“9”、“15”等奇合数纠正片面认知；第④题则再次强化“1”的特殊性，完善自然数的分类体系（非零自然数按因数个数可分为：质数、合数、1）。2.方法提炼，寻找质数。（1）师：我们已经会判断20以内的数是不是质数了。如果要判断一个稍大的数，比如“91”，是不是质数，你有什么好办法？生1：我可以看它是不是有1和它本身以外的因数，比如91÷7=13，所以它是合数。生2：我可以查质数表。（2）【热点+文化】介绍“筛法”。师：查质数表是个好办法。但你知道100以内的质数表是怎么制作出来的吗？早在2000多年前，古希腊有一位数学家叫埃拉托斯特尼，他想出了一个非常巧妙的方法，就像用筛子筛东西一样，把合数筛掉，剩下的就是质数。这种方法被称为“埃拉托斯特尼筛法”，简称“筛法”。（教师利用课件动态演示“筛法”过程：首先保留2，然后划去所有2的倍数；接着看3，保留3，划去所有3的倍数……以此类推，最终剩下的数就是质数。）师：看，这就是数学的智慧！通过这种方法，我们就能得到一张完整的100以内质数表。（3）出示100以内质数表（2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97）。引导学生观察，发现规律（如除了2以外，所有的质数都是奇数；个位是5的除了5本身，其他都是合数等）。3.即时巩固，分层练习。师：请利用你刚才学到的知识，判断下面这些数哪些是质数，哪些是合数？并说说你的判断依据。出示：13、25、29、39、47、51、79（四）巩固应用，拓展提升（预设6分钟）1.【高频考点】基础性练习：分一分。将下列各数填入相应的圈内：2、9、23、35、47、68、71、93。（质数圈、合数圈、既不是质数也不是合数圈）2.综合性练习：猜数游戏。（1）师：我们每个人的学号都是一个数。现在请你用“是……，不是……”来描述你的学号，让大家猜一猜你的学号是多少。例如：我的学号是一个质数，但它不是奇数。它是谁？（2）我的学号是一个合数，它既是奇数，又是一位数。它是谁？（9）（2）同桌之间互相玩“猜学号”的游戏。3.拓展性练习：数学文化渗透。师：刚才我们玩的猜数游戏，其实和数学上一个非常著名的难题有关——哥德巴赫猜想。课件出示：哥德巴赫猜想的内容——“任何大于2的偶数都可以写成两个质数的和”。比如：4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7……师：这个猜想看似简单，但几百年来无数数学家试图证明它，却都没有成功。我国著名数学家陈景润爷爷，在这个问题的研究上取得了举世瞩目的成就，证明了“1+2”（即任何一个充分大的偶数都可以表示成一个质数及一个不超过两个质数的乘积之和），距离最终证明“1+1”只有一步之遥。这充分展示了我们中国数学家的智慧。希望同学们能学习数学家们勇于探索、严谨求实的精神，也许未来的数学之星就在你们中间！（五）回顾整理，反思总结（预设3分钟）1.畅谈收获。师：同学们，这节课快要结束了，请你静下心来想一想，这节课你有哪些收获？可以是知识上的，也可以是方法上的，或者是情感上的。生1：我认识了质数和合数，知道了1很特殊。生2：我学会了用“筛法”找质数，感觉古人很聪明。生3：我明白了看问题不能只看表面，要像今天一样，通过动手操作、分类思考，才能发现事物的本质。2.教师总结。师：同学们总结得非常好。今天我们从动手拼摆开始，用“形”来帮助我们理解“数”的秘密，然后通过分类、概括，抽象出了质数和合数的概念，最后还了解了数学家研究质数的故事。这不仅是知识的增长，更是数学思维的一次提升。希望你们以后也能像数学家一样，善于观察、勤于思考、勇于探索。六、作业设计（一）【基础】必做题完成课本第11页“练一练”第1、2题。要求：独立完成，并简要写出判断的理由。（二）【拓展】选做题1