专题11 特殊的平行四边形中无刻度作图和折叠问题的八种考法（解析版）

专题11特殊的平行四边形中无刻度作图和折叠问题的八种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、平行四边形中的无刻度作图 2类型二、矩形中的无刻度作图 6类型三、菱形中的无刻度作图 9类型四、正方形中的无刻度作图 13类型五、平行四边形中的折叠问题 17类型六、矩形中的折叠问题 20类型七、菱形中的折叠问题 26类型八、正方形中的折叠问题 31压轴能力测评（16题） 38解题知识必备1.平行四边形1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。3.平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形2.矩形1.矩形的概念和性质有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。2.矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形3.菱形1.菱形的概念与性质有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。2.菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）（2）四边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形4.正方形1.正方形的概念、性质有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。2.正方形的判定（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）（2）有一组邻边相等的矩形是正方形（3）有一个角是直角的菱形是正方形压轴题型讲练类型一、平行四边形中的无刻度作图例题：（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，在中，点在上，，平分交AD于点，请用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹，不写画法)．(1)在图中，过点画出中边上的高；(2)在图中，过点画出到的垂线段．【答案】(1)见解析．(2)见解析．【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、无刻度直尺作图【分析】本题是作图题，考查了等腰三角形的三线合一，利用平行四边形的性质和判定进行作图，熟练掌握平行四边形的性质和判定是关键．（1）连接即可，根据等腰三角形三线合一的性质可得；（2）构建平行四边形，可得结论．【详解】（1）解：如图1，即为所求．．（2）解：如图2，连接，交于点，作射线，交于，连接，交于，则即为所求．，理由是：如图3，连接，，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，即．【变式训练】1．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，四边形为平行四边形，点E为边延长线上一点，连接．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．(1)如图1，若，在上找一点F，使点F为的中点；(2)如图2，点，在平面内找一点G，使与全等．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的性质证明【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等：（1）如图所示，连接交于O，连接交于G，连接并延长交于F，点F即为所求；（2）如图所示，连接交于O，连接并延长交延长线于G，连接，点G即为所求．【详解】（1）解：如图所示，连接交于O，连接交于G，连接并延长交于F，点F即为所求；易证明点G为三条中线的交点，则点F即为所求；（2）解：如图所示，连接交于O，连接并延长交延长线于G，连接，点G即为所求；易证明，则，据此易证明．2．（2024·江苏徐州·二模）如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图1的边上作点，使；(2)在图2的边上作点，使．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．（1）在上截取线段，使得，连接即可；（2）连接，作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求．【详解】（1）解：如图，点P即为所求；证明：∵，∴；（2）解：如图，点P即为所求．证明：∵线段的垂直平分线交于点P，∴，∴，∵，∴，∴．类型二、矩形中的无刻度作图例题：（2024·江西吉安·三模）如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中作的中点．(2)在图2中作点，使得【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】利用矩形的性质证明、无刻度直尺作图【分析】（1）根据得到，作直线，交于点，则点P即为所求．（2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即为所求．本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键．【详解】（1）∵，∴，故作直线，交于点，∵矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，即P为的中点，则点P即为所求．（2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即为所求．【变式训练】1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，E是矩形的边上的中点，现仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法）(1)在图1中，画一个以点E为顶点的等腰三角形．(2)在图2中，画AD的中点F．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、无刻度直尺作图【分析】本题考查作图——复杂作图，涉及矩形的性质、等腰三角形形的判定，三角形全等的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握基本几何图形的性质，将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．（1）连接，DE即可；（2）连接交于点O，连接并延长交AD于点F，则点F满足条件．【详解】（1）解：如图1所示，连接，DE，四边形是矩形，，点E是的中点，，，是以点E为顶点的等腰三角形；（2）解：如图2所示，点F为所求．连接交于点O，连接并延长交AD于点F，四边形是矩形，，，，，，点E是的中点，，，点F为AD的中点．2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形，矩形并排放置，．请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中作中点G；(2)在图2的边上找点，使得．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【知识点】全等三角形综合问题、三角形中位线的实际应用、利用矩形的性质证明【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，（1）连接，再连接两个交点与交于点G，即可；（2）连接交于点O，连接并延长交于点P，即可；【详解】（1）点G即为所求；（2）点P即为所求；类型三、菱形中的无刻度作图例题：（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知四边形是菱形，为线段上一点．仅用无刻度的直尺完成下列作图：(1)如图1，在上作点，使；(2)如图2，在上作点，使；【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质证明【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定：（1）连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求；（2）连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求；【详解】（1）解：如图所示，连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求；易证明，则，则，易证明，则；（2）解：如图所示，连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求；易证明，则，易证明四边形是平行四边形，可得，则【变式训练】1．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如下图，已知四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．(1)如图（1），点P为上任意一点，作直线将菱形分为面积相等的两部分；(2)如图（2），点E、F为边中点，以为边作一个矩形．【答案】(1)见详解(2)见详解【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明【分析】（1）连接交于点，连接延长交于，直线即为所求．（2）连接交于点，连接，延长交于，连接，延长交于，连接即可．【详解】（1）解：如图中，连接交于点，连接延长交于，直线即为所求．理由：是菱形，，，，，，，即直线将菱形分为面积相等的两部分．（2）解：如图中，连接交于点，连接，延长交于，连接，延长交于，连接，矩形即为所求作．理由：是菱形，，，，，∵点E、F为边中点，点H、G为边中点，，，是矩形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2024·江西·中考真题）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）(1)如图，过点作的垂线；(2)如图，点为线段的中点，过点作的平行线．【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析．【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质证明【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线；（）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即；本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，即为所求．类型四、正方形中的无刻度作图例题：（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，四边形为正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图：(1)在图1中，以为边，在正方形内作一个平行四边形；(2)在图2中，在CD上找一个点M，使．【答案】(1)详见解析(2)详见解析【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、根据正方形的性质证明【分析】本题主要考查了作图—复杂作图、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点：（1）结合正方形的性质以及平行四边形的判定，连接，BD相交于点O，连接并延长，交AD于点F，连接CF，则平行四边形即为所求．（2）结合正方形的性质，连接，BD相交于点O，连接并延长，交AD于点F，连接CF交BD于点G，连接并延长，交CD于点M，则点M即为所求．熟练掌握平行四边形的判定与性质、正方形的性质是解决此题的关键．【详解】（1）解：如图1，连接，BD相交于点O，连接并延长，交AD于点F，连接CF，∵为正方形，∴，，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形即为所求．（2）如图2，连接，BD相交于点O，连接并延长，交AD于点F，连接CF交BD于点G，连接并延长，交CD于点M，∵为正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由（1）知，四边形为平行四边形，∴，∴，则点M即为所求．【变式训练】1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知正方形，E为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(1)请在图1中完成：在边上找点F，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分；(2)请在图2中完成：在边上找点G，使得．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】根据正方形的性质证明【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，灵活运用所学知识解决问题．（1）连接交于O，连接并延长交于F，直线即为所求；（2）连接交于H，连接交于G，则即为所求．【详解】（1）解：如图所示，即为所作；（2）解：如图，点即为所作，2．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）已知，在正方形中，请仅用无刻度直尺按要求画图．（不写作法，保留作图痕迹）(1)如图1，点E为对角线上一点，在上取一点F，使；(2)如图2，点M为边上一点，在上取一点N，使．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、无刻度直尺作图【分析】（1）连接交于点O，连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，连接交于点F，则点F即为所求；（2）连接AC，连接DM交AC于点O，连接BO并延长交AD于点N，则点N即为所求．【详解】（1）如图，点F即为所求，理由：∵四边形是正方形，∴，，，，∴，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴∴，∴，∴；（2）解：如图，点N即为所求，∵四边形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，，∴．∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，全三角形的判定与性质，正方形的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键．类型五、平行四边形中的折叠问题例题：（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则°．【答案】110【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形的性质证明、折叠问题【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理及外角性质等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据折叠的性质可得，进一步可得，根据已知条件可得的度数，进一步求出的度数即可求解．【详解】解：在平行四边形中，，∴，∵折叠，∴，∴，∵，∴在中，，∴故答案为：110．【变式训练】1．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边AB上一点，将沿直线DE折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么CF的长等于．【答案】【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，，根据题意可得，，则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：由折叠性得，，∵的周长为，的周长为，∴，，∴的周长的周长平行四边形的周长，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴的周长，故答案为：．2．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是．【答案】【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质求解【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分，，求边上的高，从而得到面积．【详解】解：∵恰为等边三角形，∴∴为等边三角形，由四边形为平行四边形，且，∴，所以，，∴，A，B三点在同一条直线上，∵是对折线，∴垂直且平分，∴，过点C作，则有，∴，∴，∴折叠重合部分的面积是．故答案为：．3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点E是线段上一个动点，将沿折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形边上时，则的长度为．【答案】或【知识点】二次根式的乘法、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题【分析】如图，当落在上时，由对折可得：，，，，，记垂足为，再进一步可得答案；如图，当，，此时重合，，，可得落在上，从而可得答案．【详解】解：∵平行四边形，∴，，，如图，当落在上时，∵由对折可得：，，，，∴，记垂足为，∴，，∵，，∴，∴，∴，如图，当，，，此时重合，，，∴落在上，∴，综上：或．故答案为：或【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，作出图形，利用数形结合的方法解题是关键．类型六、矩形中的折叠问题例题：（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为．为上一点，连接，若，，则．

【答案】【知识点】矩形与折叠问题【分析】本题考查折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得到．由，求出，由邻补角的性质得到，由折叠的性质可得到．【详解】解：，，，，由折叠的性质得：，故答案为：．【变式训练】1．（23-24九年级上·北京顺义·期中）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为．【答案】1【知识点】根据等角对等边求边长、矩形与折叠问题【分析】由矩形的性质可知，，由折叠可知，故，，可得，可知．本题考查了折叠的性质．折叠前后对应角相等，对应线段相等，关键是推出特殊三角形．【详解】解：∵四边形是矩形，∴∴由折叠的性质可知：第二幅图中，，，∴，，则第三幅图中，，．故答案为：1．2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为．【答案】或【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、折叠问题【分析】本题考查矩形与折叠的综合，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，直角三角形的性质，根据题意，分类讨论：当时，利用勾股定理，进行解答；当时，根据折叠的性质，可得，根据等边对等角，，根据，，得到，再根据等角对等边，进行解答，即可．【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，，，由折叠可得，，∴∴∴∴当时，此时点在上；∴设∴∴解得：∴；当时，此时点在矩形内部，∵将沿所在的直线折叠，点的对应点为，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，综上所述，或，故答案为：或．3．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．(1)【动手操作】当点落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________；(2)【问题探究】如图②，与CD相交于点，与CD相交于点，且，求证：；(3)【拓展延伸】已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长．【答案】(1)作图见解析，6；(2)见解析；(3)4或16．【知识点】全等三角形综合问题、矩形与折叠问题、作垂线(尺规作图)、勾股定理与折叠问题【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形与折叠的性质，数形结合分析是解题的关键．（1）根据点的对应点在上，可得折线是的垂直平分线，由此可作图，根据矩形的性质，折叠的性质可得，由勾股定理即可求解；（2）由翻折的性质得，，，设，则，，可得，，，，在中，由勾股定理解得，，由此即可求解；（3）分两种情况：如解图所示，点在线段AB上时；如解图所示，点在延长线上时；根据矩形、折叠，勾股定理即可求解．【详解】（1）解：作图如图所示，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），点落在边CD上，∴即为所求的三角形，∵折叠，∴，∵四边形是矩形，∴，在中，，∴，故答案为：6．（2）证明：由翻折的性质得，，，，设，则，在和中，，，，，，，，在中，由勾股定理得，，解得，即，∴，∴，∴．（3）解：分两种情况：如解图所示，点在线段AB上时，由翻折的性质得，，，，，,四边形是矩形，，，，，；如解图所示，点在延长线上时，由翻折的性质得，，，,设，则，，，,在中，由勾股定理得，，解得，即，综上所述，的长为4或16．类型七、菱形中的折叠问题例题：（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是．【答案】/80度【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角、利用菱形的性质求角度、折叠问题【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可．【详解】∵四边形是菱形∴由折叠可得，∴∴∵四边形是菱形∴∴．故答案为：．【变式训练】1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为【答案】30°/30度【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、折叠问题【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【详解】解：如图，连接，∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，，∵P为的中点，∴为的平分线，即，∴，∴由折叠的性质得到，在中，，∴，故答案为：2．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为．【答案】或3【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题【分析】此题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可．【详解】解：①若，如解图①，连接，∵四边形是菱形，∴平分，∴，∵，∴，由折叠，∴，∴．∵点E是的中点，∴，过点E作，垂足为G，∴，，在中，，∴，∴，∴；②若，如解图②，连接，∵四边形是菱形，∴，又∵，是等边三角形，∴．∵，∴．又∵，∴是等边三角形，点落在上，∴，∴，∴．综上所述，的长为或3．故答案为：或33．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是．【答案】2【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键；证明，过点E作于点G，再利用等腰直角三角形的性质与含30度角的直角三角形的性质进一步解答即可．【详解】解：∵在菱形中，，∴，∵，∴，又由折叠有，且，∴，过点E作于点G，∴，∴，∴，∴，设，则，，∵在菱形中，，∴，∴，，∴，解得：，∴，∴．故答案为：．4．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，．（1）．（2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为．【答案】6075【知识点】线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求角度、折叠问题【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义．（1）直接根据菱形的对角相等即可求解；（2）如图，由垂直平分线的定义得到，从而，由菱形的性质得到，从而由折叠有，因此，再根据菱形的对边平行即可求解．【详解】解：（1）∵四边形是菱形，∴．故答案为：60（2）如图，∵是的垂直平分线，∴，∴，∵在菱形中，，∴，由折叠可得，∴，∵在菱形中，，∴．故答案为：75类型八、正方形中的折叠问题例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，．【答案】30°或/或30°【知识点】线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明、折叠问题【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、折叠的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，注意分类讨论．分两种情况：当点落在图①的位置时，当点落在图②的位置时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】∵点P在射线上运动，故分两种情况；当点落在图①的位置时，为线段的垂直平分线，，为正方形，，，．当点落在图②的位置时为线段的垂直平分线，，为正方形，，，．故答案为：或．【变式训练】1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为．【答案】【知识点】勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题【分析】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．据折叠可得，，，根据勾股定理求出、的长．继而求出，，最后在中由面积法，根据求出．【详解】解：设，则，，，，在中，，即，解得：，即．∴连接、，在中，，由折叠可知：，∵，∴，∴．故答案为．2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为2,0，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为．【答案】【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、坐标与图形综合【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出值，即可得答案．【详解】解：如图，设与轴交于点，，∵四边形是正方形，，∴四边形是矩形，∴，∵点的坐标为2,0，∴，∵将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，∴，，，在中，，∴，解得：，∴，设，则，，在中，，∴，解得：，∴点的坐标为．故答案为：【点睛】本题考查折叠性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、坐标与图形及勾股定理，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．3.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．

(1)当最小时，的值为；(2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系．【答案】(1)(2)为，理由见解析(3)【分析】（1）当，，三点共线时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案；（2）过点作于点，则，证出，则可得出结论；（3）过点作，交的延长线于点，则，证明，得出，则可得出结论．【详解】（1）解：∵将沿翻折，∴，，，∵，即，∴当，，三点共线时，有最小值，此时，如图，设，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：；

（2）为．理由如下：过点作于点，∴，∵四边形是正方形，∴，，∵将沿翻折，使点落在点处，∴，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∴，即，又∵，∴；

（3）．理由如下：过点作，交的延长线于点，，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，即．

压轴能力测评（16题）一、单选题1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的点处．若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】三角形内角和定理的应用、矩形与折叠问题【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到，再由折叠的性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出答案．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，由折叠的性质可得，∴，故选：C．2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（

）A． B．108° C． D．【答案】B【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得，由三角形的内角和定理可求的度数，由折叠的性质可求．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴．由折叠的性质可得．故选B．3．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、利用菱形的性质求线段长【分析】作，根据菱形的性质得，其中，然后设，可表示，根据勾股定理得，进而得出接下来根据勾股定理列出方程，求出解即可得出答案．【详解】如图所示，过点M作，交的延长线于点F，∵四边形是菱形，且，∴，其中．在中，，设，∴，根据勾股定理，得．∴，根据折叠得，在中，，即，解得，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形纸片中，M，N分别是的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕CF交AD于点F，连接，若，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、折叠问题【分析】先证明是矩形，再推出是的垂直平分线，求出，再利用勾股定理求出，得到，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：∵四边形为正方形，∴，，，∵M，N分别是的中点，∴，，∴是矩形，∴，，∴，∴是的垂直平分线，∴，由折叠的性质得：，，∴，MN=CD=4，在中，，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴，故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的判定与性质、正方形的性质，翻折变换的性质，适时利用勾股定理是解答此类问题的关键．二、填空题5．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，将沿的对角线折叠，使点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在一条直线上，交于点F，若，则的长为．

【答案】【知识点】三线合一、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、折叠问题【分析】由折叠的性质可得出，由三线合一的性质可得出，由平行四边形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出2，最后根据勾股定理即可得出答案．【详解】解：由题意知折叠得到∴，，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴是等边三角形，∴2，，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．6．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）如图，在菱形中，E是上一点，沿折叠，点A恰好落在上的点F处，连接，若，则．【答案】/100度【知识点】利用菱形的性质求角度、折叠问题【分析】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∵沿折叠，点A恰好落在上的点F处，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：．7．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在矩形中，为AD边的四等分点（），连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与AD交于点，连接．若，，则，点到的距离为．【答案】【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，由四边形是矩形，得，，，，再由折叠性质和勾股定理求出，过作于点，由折叠性质和勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，，∴，由折叠性质可知：，，，∴，∴，∵为边的四等分点（），∴，设，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴，如图，过作于点，∴，∵，∴，由折叠性质可知：，，在中，由勾股定理得：，设，则，由勾股定理得：，，∴，解得：，∴，∴由勾股定理得：，∴，故答案为：，．8．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形的边长为，点E是边的中点，点F是边上不与点A、D重合的一个动点，将沿直线折叠，使点A落在点处．当为等腰三角形时，的长为．【答案】或【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、等腰三角形的定义【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题．首先证明，只要分两种情形讨论即可：当时，连接．构建方程即可；当点F在中点时，满足条件．【详解】解：如图，连接，∵正方形的边长为，点E是边的中点，∴，由折叠的性质得：，∵，∴，∴，当时，连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴点三点共线，设，则，，在中，，∴，解得：，即；如图，当点F为的中点时，由折叠的性质得：．∴四边形是菱形，∵，∴四边形是正方形，∴，即垂直平分，∵四边形是正方形，∴垂直平分，∴，此时为等腰三角形，满足条件，此时；综上所述，的长为或．故答案为：或三、解答题9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别是边上的点，将沿进行折叠，使点落在边上的点处，点落在外的点处，若，求的度数．【答案】【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题【分析】本题考查了根据折叠性质求解，平行四边形性质，三角形内角和，根据三角形内角和先求的度数，由折叠性质可知，再结合平行四边形性质即可求出结果．【详解】解：，．由折叠性质可知，，四边形为平行四边形，，，，，．10．（23-24八年级下·河南开封·期末）在，．请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．(1)如图1，点E在边上，且，作的平分线．(2)如图2，点E、F分别在边、上，且，连接．过点A作的垂线．【答案】(1)见详解(2)见详解【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、平行四边形性质和判定的应用、根据菱形的性质与判定求角度【分析】（1）连接，即可作答；（2）连接、，与交于点O，连接，并延长交于N，连接，即为所求．【详解】（1）如图，连接，即为所求，证明∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）连接、，与交于点O，连接，并延长交于N，连接，如图，即为所求．证明：连接，并延长交于M，连接、、，在中，，，，∴，∵，，∴，∴，同理可证明：，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，，，∴四边形是菱形，∴，∵，∴．【点睛】本题考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．11．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，四边形为矩形，且有．请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．

(1)在图1中求作边的中点；(2)在图2中的边上求作点，使．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、根据矩形的性质求线段长【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和判定：（1）连接，过的交点与点E作直线，交于点F，即可；（2）方法一：连接，并延长交于点P，连接交于点H，即可；方法二：连接，交于点Q，连接，并延长交于点H，即可；【详解】（1）解：如图，点P即为所求；

（2）解：如图，点H即为所求．

12．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，点C为线段AB上一点且不与A，B两点重合，分别以AC，BC为边向AB的同侧做角为60°的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）．(1)在图1中，连接DF，若AC＝BC，作出线段DF的中点M；(2)在图2中，连接DF，若，作出线段DF的中点N．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】全等三角形综合问题、平行四边形性质和判定的应用、利用菱形的性质证明【分析】（1）连接AF、BD，相交于点O，连接CO并延长，交DF于点M，根据两菱形边长相等，角度相等，可证，，得到OA=OB，OF=OD，通过C为AB中点可得OC⊥AB，OM⊥DF，根据等腰三角形三线合一，即M是DF中点；（2）连接AD、BF，并延长相交于点H，连接CH、DF，相交于点N，根据菱形是60°角可知AD∥CF，BF∥CD，所以四边形DCFH是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，所以点N即是DF中点．【详解】（1）如图1中，点M即为所求．（2）如图2中，点N即为所求．【点睛】本题考查作图，熟练利用菱形的性质和平行四边形的性质是解题关键，本题中第（2）小题方法同样适用于第（1）小题．13．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在正方形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．(1)在图①中，在上作出点O，使；(2)在图②中，点E是上一点，请过点A作线段的平行线，其中点F在上．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、无刻度直尺作图【分析】（1）根据正方形的性质作图即可；（2）延长交于点G，连接并延长交于点F，连接、，即可求解．【详解】（1）解：如图点O即为所求；∵四边形是正方形，∴；（2）解：如图，即为所求；延长交于点G，连接并延长交于点F，连接、，∵四边形是正方形，∴，，，又∵，∴，∴，∵，在和中，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查无刻度尺作图、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及对顶角相等，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，分别是边上一点，将菱形沿折叠，当点落在的中点处时，连接．(1)求证：是直角三角形；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【知识点】根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、折叠问题【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论即可．（1）连接．可推出是等边三角形，根据是的中点，推出即可求证；（2）由题意得．推出；设，则．根据，即可求解；【详解】（1）证明：如答图，连接．四边形是菱形，，是等边三角形．是的中点，，即，，即是直角三角形．（2）解：由（1）可知，是等边三角形，是的中点．．在中，由勾股定理可得翻折至，．设，则．在中，，即，解得，即．15．（24-25八年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动．如图，长方形中，是射线上一点，将沿折叠后得到．【初步探究】如图1，在线段上，过点作的平行线交，的两边于，，若，，求的长；【深入探究】如图，在线段的中点上，延长交于点，若，试说明与满足的数量关系；【拓展延伸】若，，连接，，当是以为底的等腰三角形时，直接写出的长．【答案】（1）；（2）；（3）或【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形和折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键；（1）如图1，由折叠得：，，先由勾股定理得，则，设，则，最后根据勾股定理列方程解答即可；（2）如图，连接，设，则，，证明，则，根据勾股定理列方程可得，从而可以解答；（3）设，分两种情况：①当点在线段上时，，如图，过点作于，交于，②当点在线段的延长线上时，，过点作于，交于，则，根据勾股定理即可解答．【详解】解：（1）如图1，由折叠得：，，∵四边形是长方形，，，，，，，，，，，设，则，由勾股定理得：，，，；（2）如图，连接，是的中点，，设，则，，由折叠得：，，，，，，，，在中，，，，，，；（3）设，分两种情况：①当点P在线段上时，，如图3，过点作于，交于，，，，，，由勾股定理得：，，，，，，；②当点在线段的延长线上时，如图，，过点作于，交于，则，同理得：，，，，，，；综上，的长为或．16．（24-25八年级上·江苏南京·期中）数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法．【初步体验】操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点的对应点为．（如图1所示）操作②：将折叠到边上，折痕为，（如图2所示）（1）若与恰好重合，则；【初步探究】在操作①中，沿剪开，易得一张正方形纸，让我们继续折叠下去…操作③：把正方形对折后再展开，折痕为；操作④：点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处，连接，则是等边三角形；（如图3所示）（2）求证：是等边三角形；【深入探究】操作⑤：把正方形对折后再展开，折痕为；操作⑥：将沿翻折到位置，延长交于点，则点是的三等分点．（如图4所示）（3）通过计算证明：点是的三等分点．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长【分析】（1）勾股定理求得，根据折叠可得，即可求解；（2）根据折叠的性质可得，，即可得证；（3）连接，证明，得出，设正方形的边长为，，则，进而在中，勾股定理求得，即可得证．【详解】解：（1）∵四边形是矩形∴∵折叠，∴，∴四边形是正方形∴∴，∵∴，（2）∵点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处，∴，∵把正方形对折后再展开，折痕为；∴∴∴是等边三角形；（3）证明：设正方形的边长为，根据折叠可得，，则，连接，如图所示，在中，∴，∴设，则，在中，∴解得：，∴，即点是的三等分点．模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按