专题07 平行四边形的性质和判定七种考法（解析版）

专题07平行四边形的性质和判定七种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 2类型二、利用平行四边形的性质求面积 5类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 6类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 9类型五、利用平行四边形的性质证明 15类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 20类型七、利用平行四边形的判定和性质证明 23压轴能力测评（18题） 27解题知识必备1.平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”2.平行四边形的性质平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形：性质1（边）：=1\*GB3①对边相等；=2\*GB3②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：=1\*GB3①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD；=2\*GB3②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO.性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.3.平行四边形的判定定理平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：（1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC.（2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC.（3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC.（4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC.（5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO.注：=1\*GB3①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；=2\*GB3②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的.压轴题型讲练类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段例题1：（23-24八年级下·吉林·阶段练习）在平行四边形中，，则的度数是．【答案】/100度【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得到邻角互补，得到，再根据平行四边形对角相等，即可得解．【详解】解：∵平行四边形中，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．例题2：（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，已知，，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，根据平行四边形的性质可知，，据此求出、的长，利用勾股定理求出的长即可．找到平行四边形中的直角三角形是解题的关键．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，又∵，，，∴，，∴在中，，∴的长为．故选：A．【变式训练】1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（）A．4 B．6 C．6或8 D．4或6【答案】D【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质．根据平行加角平分线，得到均为等腰三角形，分点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴，如图①，当点在点的左侧时：，∴；

如图②，当点在点的右侧时，，∴

综上：或；故选D．2．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点，连接若，则的度数为．【答案】/30度【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等．由平行四边形的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，即可得出的度数．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，平分，，，，．故答案为：．类型二、利用平行四边形的性质求面积例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平行四边形的对称性，将阴影部分的面积进行合理的转化是解题的关键．根据轴对称的性质可得和关于点O中心对称，即可，再根据平行四边形的性质即可解答．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴和关于点O中心对称，∴，∴，∴阴影部分的面积与的面积比值是．故选：C．【变式训练】1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为．【答案】3【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，进而可证明得到，则．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：3．2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，P是边上一点．已知，，则的面积是cm2．

【答案】12【分析】由平行四边形的性质得，则，得，即可得出结论．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，故答案为：12．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．类型三、利用平行四边形的性质求动点问题例题：（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图1，平行四边形中，对角线，点M沿方向运动．设，，图2是y关于x的函数图象，则平行四边形的面积是（

）A．20 B．10 C．15 D．12【答案】D【分析】本题考查了动点问题的函数图象的性质，结合图象分析题意是解题关键．由图2得，当点M在点C处时，，即，当点M到达点D时，，即，在中，利用勾股定理求出，再用平行四边形面积公式计算即可．【详解】解：由图2得，当点M在点C处时，，即，∴，当点M到达点D时，，即，在中，，即，∴，∴，∴的面积是．故选：D．【变式训练】1．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题综合考查了性质，动点问题的函数图象，勾股定理，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和．【详解】解：过点作于点∵的四条边都相等，∴．由图象可知，点由点到点用时为，的面积为．，，，当点从点到点时，用时为，中，，的四条边都相等，，中，，解得：故选：C．2．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题,涉及平行四边形性质、三角形外角性质、三角形面积公式等知识．由平行四边形性质得到厘米，点速度为每秒厘米，则点在上时，时间满足的取值范围为，观察符合题意的、、的图象，即点在处时，的面积各不相同，求得此时的面积，即可找到正确选项．判断出点运动到点时的时间及此时的面积是解决本题的关键．【详解】解：四边形是平行四边形，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，点走完所用的时间为：秒，当点在上时，；故排除；当时，点在点处，过点作于点，如图所示：，，，厘米，厘米，厘米，平方厘米，故选：B．类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）例题：（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接，下列结论①；②；③；④；其中成立的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由，可判断①，由，，得，故②正确，设，则，对，运用勾股定理即可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④．【详解】解：四边形为平行四边形，，，，，，，，平分，，为等边三角形，，，，，，，故①正确；∵，，∴，故②正确；，，，设，则，在中，，∴，∴在中，，∴，∴，故③正确；，，是的中点，，，，，，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．【变式训练】1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形；③；④，其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立．【详解】解：①延长交于点，∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故①正确；在中，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵∴为等腰直角三角形，故②正确；∵，∴，则为等腰直角三角形，∴，过点作交延长线于点，则，∵，，∴，∵，∴，∴，，，则为等腰直角三角形，∴，由等腰直角三角形可知，，∴，故③正确；由勾股定理可知，，则，过点作于，则，∵，∴，∴，则，，∴，故④不正确；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形．2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（

）；；；．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交与，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：∵的周长等于，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，，，，∴，即，∴，∴，∴为等腰三角形，∵，∴，即，∴，故正确；过点作于M，交与，∵，∴，，，在和中，，∴，∴，同理可得，，∴，∵，，∴，故正确；过点作于，交于，∵，∴，∴，∵，∴，故正确；过点作的延长线于点，则，∵，，∴，∴，∴，∴，设，则，∴，在中，，∴，解得，∴，∵，∴，故正确；∴说法正确的个数有个，故选：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理．类型五、利用平行四边形的性质证明例题：（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，点E是内一点，且．(1)写出图中与相等的角，并证明；(2)求证：(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．【答案】(1)，见解析(2)见解析(3)，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得，由垂直的定义得，然后根据等式的性质可得；（2）延长交于点F．由平行四边形的性质得，求出可得，然后根据证明即可证明结论成立；（3）由可得，进而可证，然后由勾股定理得，从而可得．【详解】（1）．证明：四边形ABCD是平行四边形，．，．．即．（2）如图，延长交于点F．四边形ABCD是平行四边形，．．．，．在中，．．，．．，．（3）．由（2）可得，，．在中，，由勾股定理可得，，，，．．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式训练】1．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为．(1)求证：；(2)过点作于点，若，求的面积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查平行四边形，全等三角形，角平分线的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，即可．（1）根据平行四边形的性质，则，，，则，根据、分别平分、，全等三角形的判定和性质，即可；（2）过点作于点，根据角平分线的性质，则；根据平行四边形的周长，则，根据，即可．【详解】（1）∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，∵、分别平分、，∴，，∴，在和中，，∴，∴．（2）过点作于点，∵是的角平分线，，∴，∵平行四边形的周长为，∴，∵，∴．2．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．

(1)求证：平分；(2)若点E为中点，求证：；(3)若，，，求的面积．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)168【分析】（1）根据得到，根据得到，即可证明，问题得证；（2）证明，即可得到，根据即可证明；（3）过点E作于M，设，则，根据勾股定理列出方程，解得，进而得到，即可求出．【详解】（1）证明：证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）证明：∵点E为中点，，∵，，∴，，∵，∴；（3）解：如图，过点E作于M，设，则．根据勾股定理得，解得，，．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．类型六、利用平行四边形的判定和性质求解例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E在上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，平分，，求的长．【答案】(1)见解析(2)．【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角直角三角形的性质和勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键．（1）首先根据得到，然后结合即可证明出四边形是平行四边形；（2）利用角直角三角形的性质求得的长，再利用角直角三角形的性质和勾股定理求得，再根据平行四边形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形．（2）解：∵，，，∴，，∵平分，∴，∴，由勾股定理得，即，解得，∵四边形是平行四边形，∴．【变式训练】1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，直接写出的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的长即可．【详解】（1）证明：，，在与中，，，,又，四边形是平行四边形；（2）解：由（1）可知四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，．2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，，进而利用已知得出，，进而得出答案；（2）首先过点作于点，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，是边的中点，，，四边形是平行四边形（2）解：过点作于点，

由（1）得：四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，，，，，，，在中，，，又是边的中点，，，在中，，．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等、直角三角形的性质，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．类型七、利用平行四边形的判定和性质证明例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，．(1)求证：；(2)连接、，求证：四边形为平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据四边形为平行四边形，得到，继而得到，结合得到，证明即可．（2）根据，得到，继而得到即可证明四边形为平行四边形．本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．【详解】（1）∵四边形为平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形．．【变式训练】1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G．(1)求证：．(2)分别连接，试判断与的关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)，，理由见解析【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质．（1）根据平行四边形的性质得到，利用即可证明；（2）由（1）知，得到，根据，即可得到四边形是平行四边形，即可得出结论．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，；（2）证明：如图，连接，，，，四边形是平行四边形，，．2．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．

(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，求四边形的周长；(3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形的周长为(3)，理由见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．（1）根据平行四边形的对角线互相平分即可求解；（2）根据平行四边形的对边分别相等，结合，，即可求解；（3）根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质，即可求解．【详解】（1）证明：，，四边形是平行四边形；（2）四边形是平行四边形，，，，，，平行四边形的周长为：；（3），，即，中，，，，，．压轴能力测评（18题）一、单选题1．（23-24八年级下·四川泸州·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】利用平行四边形的性质求解【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形，，，，，．故选：B．2.（2023·四川达州·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】利用平行四边形性质和判定证明【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意．【详解】解：A、∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形，不符合题意；B、∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形，不符合题意；C、∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形，不符合题意；D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意；故选：D．3．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（

）A．46 B．48 C．50 D．52【答案】D【知识点】根据等角对等边求边长、两直线平行内错角相等、利用平行四边形的性质求解【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，平分，，，，，，平行四边形的周长，故选：D．4．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，，∴，∴，故选：B．5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，点是线段的中点，分别以为边作等腰和等腰，，连接，且相交于点，交于点，则下列说法中，不正确的是（

）

A．是的中线 B．四边形是平行四边形C． D．平分【答案】D【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、证明四边形是平行四边形【分析】此题主要考查平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题，根据平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的性质，逐一判定即可．【详解】解：∵点是线段的中点，∴∵等腰和等腰，，∴∴∴∴∴四边形是平行四边形，故B选项正确；在和中，∴∴，故C选项正确；∴∴∵∴∴是的中线，故A选项正确；∵，∴，∴不可能平分，故D选项错误；故选：D．二、填空题6．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，CD长为．则的周长为．【答案】/15厘米【知识点】利用平行四边形的性质求解【分析】此题考查了平行四边形的性质，注意平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质求解即可．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，的周长为，故答案为∶．7．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为．【答案】【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定【分析】由“”可证，可得，由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，∵点F为边的中点，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为．【答案】6【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形性质和判定证明【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定．根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，以及，即可得出结论．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，故答案为：6．9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，的对角线交于点平分交于点E，，，连结．下列结论正确的是．①；②平分；③；④．【答案】①③④【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求面积、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质【分析】先求出是等边三角形，可以判断③；结合，可以判断②，利用等边对等角与三角形内角和定理可以判断①，利用中线平分三角形面积可以判断④．【详解】解：∵中对边平行，∴，∵，∴，∵DE平分交于点E，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵平行四边形中，，∴，故③正确；又∵，∴，∴，由AD与平行可知，∴，故②错误；∵，∴∴，∵，∴∴，∵AB与平行，∴，故①正确；∵，∴，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、中线平分三角形面积、角平分线的定义、三角形的内角和等知识，解题关键是牢记相关概念，并能灵活运用边角之间的关系进行转化．10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当时，四边形为平行四边形．【答案】或或【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形的性质求解【分析】根据平行四边形的判定可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形，以点、、、为顶点组成平行四边形，，分为以下情况：①点的运动路线是，方程为，此时方程，此时不符合题意；②点的运动路线是，方程为，解得：；③点的运动路线是，方程为，解得：；④点的运动路线是，方程为，解得：；综上所述，或或时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形，故答案为：或或三、解答题11．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且．(1)求证：；(2)连接，若平分，，求平行四边形的周长．【答案】(1)见解析(2)26【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等是解题的关键：（1）根据平行四边形的性质，结合，证明即可；（2）全等的性质得到，角平分线结合平行线的性质，推出，进而求出的长，再根据平行四边形的对边相等，求出周长即可．【详解】（1）∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴（）（2）∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴平行四边形的周长．12．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若平分，，求的周长．【答案】(1)证明见解析；(2)．【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形性质和判定证明【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论；（）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解；【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，．∵点，分别是，的中点，∴，，∴．又∵，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴的周长为．13．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．(1)如图1，在中，E是边上一点，在边上画点F，使；(2)如图2，在中，E是边上一点，且，画的平分线；【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】无刻度直尺作图、根据等边对等角证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明【分析】此题考查了作图复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点．（1）连接，交于点O，连接并延长交于点F即为所求；（2）连接，交于点O，连接并延长交于点F，连接即为所求．【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求作．

∵四边形是平行四边形∴，∴又∵∴∴；（2）解：如图2中，线段即为所求作．∵四边形是平行四边形∴，由（1）得，∴∵∴∴∵∴∴∴平分．14．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在四边形中，连接，BD交于点O，，且，E为线段上一点，连接DE并延长交于点．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，，，求平行四边形面积．【答案】(1)见解析；(2)【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是平行四边形【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定．（1）依据，即可得出，再根据，即可得到，进而判定四边形是平行四边形；（2）依据是等腰直角三角形，即可得到AD的长，再根据的面积，即可得出的面积，进而由平行四边形面积得出结果．【详解】（1）证明：∵，BD交于点O，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形；（2）∵，，∴，，∴，又∵，∴，∴的面积=，平行四边形面积．15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，BD是它的一条对角线，过，两点作，，垂足分别为，，延长，CF分别交CD，AB于点，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当，时，求的长．【答案】(1)证明见详解(2)【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键；（1）只要证明，即可．（2）先证明得，再在中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】（1）四边形是平行四边形，，，，，，，∴四边形是平行四边形．（2）∵四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，，，，，，，∴，在和中，，，在中，，，，，．16．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知：如图，平行四边形中，平分交AD于E，CF平分交AD于F，(1)求证：；(2)已知，，求的长；(3)、CF交于点O，在满足（2）的条件下，已知，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边证明边相等【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得到，即可得到，同理可得，即可得到，进而得到结论；（2）根据（1）中结论，利用线段的和差解题即可；（3）先根据角平分线的定义得到，然后利用勾股定理解题即可．【详解】（1）证明：∵是平行四边形，∴，∴，又∵平分，∴，∴，∴，同理，∴，即；（2）解：∵，，，∴，又∵，∴，∴；（3）由（1）可得：，，∵是平行四边形，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，勾股定理，等角对等边，掌握平行四边形的性质是解题的关键．17．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O．(1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形；(2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形；(3)如图3，若，求的最小值．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)的最小值是13【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等得到结论；（2）证明，推出，由此证得结论；（3）过点D作，连接得到四边形是平行四边形，由此得到，利用勾股定理求出，即可得到．【详解】（1）证明∶，．又，四边形是平行四边形．（2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形，，．又，，四边形是平行四边形．（3）解∶如图，过点D作，连接四边形是平行四边形，．又，，，．，的最小值是13．【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理并应用解决问题是解题的关键．18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图(1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______．(2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________．(3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证：(4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______．【答案】(1)2(2)12(3)见解析(4)1【知识点】三角形角平分线的定义、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边求边长【分析】（1）根据平行四边形的性质求出长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出长，即可解答；（2）由（1）得出，然后根据平行四边形的性质求出长，根据线段间的和差关系求出和的长度之和，从而求出的周长；（3）根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出结合，则可得出；（4）由（3）求出和的长，结合，利用线段间的和差关系即可解答．本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分交边于点E，∴，∴，∴，故答案为：2．（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分交边于点E，∴，∴同理，∴，∴的周长．故答案为：12．（3）证明：∵在中，，．又∵是的平分线∴，同理可得∵；（4）解：由（3）可得，．∵故答案为1．模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a=84+862=85八年级10名学生的成绩中87分的最多,有3人,所以众数b=87,A同学得了86分大于85分,位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生.故答案为85,87,七.(2)510×200+610×200=220(人答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220.(3)我认为八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.理由:因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.22.解(1)根据所列方程可知,甲所列方程中的x表示B型玩