专题05 利用勾股定理解决折叠问题的六种考法（解析版）

专题05利用勾股定理解决折叠问题的六种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 3类型一、长方形中折痕过对角线模型 3类型二、长方形中折痕过一顶点模型 7类型三、长方形中折痕过任意两点模型 11类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 15类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 17类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 20压轴能力测评（12题） 23解题知识必备1.长方形中折痕过对角线模型【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEC是等腰三角形。长方形中折痕过一顶点模型【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：≌；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：AEF是等腰三角形。长方形中折痕过任意两点模型【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.折在矩形内结论1：≌；结论2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形边上结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外结论1：四边形≌四边形；结论2：折痕AC垂直平方BB’；结论3：GC’F是直角三角形。直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型【模型解读】（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型【模型解读】（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型【模型解读】（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；压轴题型讲练类型一、长方形中折痕过对角线模型例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，沿折叠长方形纸片，点D落到点E处，交于点F，若，，则．【答案】3【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了勾股定理的翻折应用，涉及等腰三角形的判定，熟练掌握翻折中的勾股定理是解题的关键．利用翻折和平行判定，再在中利用勾股定理列式解决即可．【详解】解：∵四边形为长方形，∴，，，∴，由翻折得：，，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴，故答案为：．【变式训练1】如图，在长方形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．【详解】解：∵，，∴AD=，，由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，∴在Rt中，由勾股定理得：，∴，解得：EF=，故选：A．【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．【变式训练2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，把一个长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴上，连接，将纸片沿着折叠，使点A落在的位置上，若，则点的坐标是．【答案】【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、折叠问题【分析】设与交于点F，作于点E，根据证明，那么，设，利用勾股定理可得，，利用面积可得，利用勾股定理可得，进而可求出点的坐标．【详解】解：设与交于点F，作于点E∵纸片沿折叠∴∵∴∴，设∴∴，解得∴，，∵∴∴点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了长方形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明是解答本题的关键．【变式训练3】（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．

(1)当点落在边上时，(2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长．【答案】(1)45(2)【分析】（1）由知，结合点落在边上知，从而得出答案；（2）由折叠得出，再由得出，从而得知，可得，设，则，在中，由得到关于的方程，解之可得．【详解】（1）解：由题意知，，点落在边上时，，，故答案为：45；（2）如图2，由题意知，四边形是长方形，，，，，设，则，在中，由得：，解得，即．【点睛】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，和勾股定理是解决问题的关键．类型二、长方形中折痕过一顶点模型例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．(1)求的长；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．（1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可；（2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合，∴，∴，，∴；（2）∵折叠，∴，设，则：，在中，，∴，∴，∴．【变式训练1】（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（）A． B．3 C．1 D．【答案】B【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可．【详解】∵，∴，∴根据勾股定理得，根据折叠可得：，∴，设，则，在中：，即，解得：，故答案为：B．【变式训练2】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求．【答案】3【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出．【详解】解：∵，，，∴，由折叠得：，，，∴，，在中，，∴，∴，故答案为：3．【变式训练3】（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，．(1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长；(2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长．【答案】(1)5(2)或【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：（1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案；（2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时．【详解】（1）解：设，则．根据图形折叠的性质可知，．在中，．则．在中，，即．解得．即；（2）解：①如图所示，当点在线段上时．设，则．根据图形折叠的性质可知，，．在中．则．在中，即解得．即．②如图所示，当点在线段的延长线上时．根据图形折叠的性质可知．∵，∴．∴．∴．在中．∴．综上所述，或．类型三、长方形中折痕过任意两点模型例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(

)A．6 B．10 C．24 D．48【答案】B【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可．【详解】解：由折叠可知，设由勾股定理可得，即，解得，，故选：B．【变式训练1】（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得到，设，则，由线段中点的定义得到，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：由折叠的性质可得，设，则，∵是边的中点，∴，由长方形的性质可得，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴．【变式训练2】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．

(1)证明；(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）根据同角的余角相等，可得，通过即可证明，可得结论；（2）设，则，在中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题．【详解】（1）解：证明：四边形是长方形，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处，，，，，，，，在和中，，，；（2）设，则，在中，由勾股定理得，，解得，，，的面积为．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．【变式训练3】（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点与重合，与重合．若长方形的长为，宽为．

(1)求的长；(2)求的长；(3)求阴影部分的面积．【答案】(1)(2)(3)阴影部分的面积为【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可；（2）过点作于，在中，由勾股定理的长，在中，由勾股定理即可得出答案；（3）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可．【详解】（1）解：由折叠可知．设，则在中，，，

解得：，；（2）过点作于，则，在中，，由勾股定理：，即．，，

，

（3）过点作于，，，，

，，

．【点睛】本题主要考查了折的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得的长.由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接，，，在中，，，，，，设，则，在中，，即：，解得：，．故选：A．【变式训练1】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可．【详解】解：，，，，设，则，由折叠的性质可得，，，在中，由勾股定理得，，解得，，故选B．【变式训练2】（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，．(1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长；(2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．（1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解；（2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解．【详解】（1）解：在中，，，．由题意知，，．．设，则，．在中，，．解得．．（2）由题意知，设，则．在中，，．解得．．类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值．【详解】解：设，则，是翻折而成，，在中，，即，解得．故选：C．【变式训练1】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长．【答案】【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，，设，则在中，由即可求出x的值，故可得出结论．【详解】解：在中由于，，，由勾股定理得：，∵由折叠可知，，设，则．在中，，即，解得，∴．【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，．【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．（1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长．【学以致用】（2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】（1），（2），理由见解析．【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．（1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解．（2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到．【详解】（1）解：在中，，由翻折的性质可知：，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴．（2），理由如下：过点作交延长线于点，连接，如图：∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴．类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长．【答案】的长度为或3【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设，则，沿直线折叠B落在处，，点为的三等分点，，或，当时，在中，，即，解得：；当时，在中，，即，解得：，综上所述，的长度为或3．【变式训练1】（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（

）A． B． C．5 D．4【答案】C【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的方程是解题的关键．设，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】解：设，由翻折的性质可知，∵D是的中点，，在中，由勾股定理得：即，解得：，∴，故选：C．【变式训练2】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，则，再勾股定理计算即可得出答案．【详解】解：点为的中点，，由折叠的性质可得：，设，则，由勾股定理可得：，，解得：，，故选：D．【变式训练3】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．(1)如图1，若点和顶点重合，求的长；(2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长．【答案】(1)(2)．【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键．（1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案；（2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解．【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，设，则，由勾股定理得：，，解得：，；（2）解：点落在直角边的中点上，，由折叠的性质可得：，设，则，由勾股定理可得：，，解得：，∴．压轴能力测评（14题）一、单选题1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】勾股定理与折叠问题【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理．【详解】∵四边形是长方形，∴，∵，∴，∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处，∴，∴，∵，∴，解得，故选：D．2．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】勾股定理与折叠问题【分析】本题考查三角形的折叠问题，先判断两直角边的长度，由折叠得出，设，利用勾股定理解即可．【详解】解：中，，为斜边，，由折叠知，，，，设，则，在中，，，解得，即的长为，故选B．3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则为长度的（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】勾股定理与折叠问题【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在，利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，∴的长是．故选：C．4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，故选：D．二、填空题5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，折叠长方形一边，使D落在边的点F处，已知，，则的长．．【答案】/【知识点】勾股定理与折叠问题【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，根据折叠，得到，，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵折叠长方形一边，使D落在边的点F处，∴，∴，∴，设，则：，在中，由勾股定理，得：，解得：，∴；故答案为：6．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则．【答案】【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、折叠问题【分析】本题考查坐标与图形，折叠问题，根据点的坐标得到轴，轴，，折叠推出，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵，∴轴，轴，，∴轴，，∴由折叠可得，，∴，∴，设，则：，在中，由勾股定理，得：，解得：，∴；故答案为：．7．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）如图，在三角形纸片中，，，，点E在线段上，将沿着折叠，的对应边刚好过点B，则的长

．【答案】/【知识点】求一个数的算术平方根、勾股定理与折叠问题【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理，用勾股定理列方程是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据折叠的性质得，，设为x，将用含x的代数式表示出来，然后在中根据勾股定理列方程即可求出的长．【详解】解：∵在中，，，根据折叠的性质得，，∴，设，则，在Rt中，根据勾股定理得，解得故答案为：．8．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在直角三角形纸片中，，，，是的中点，是上的一个动点，将三角形纸片沿折叠，连接，当是直角三角形时，的长为．【答案】或【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当时，当时，由直角三角形的性质结合勾股定理分别求解即可．【详解】解：如图中，当时，，，∴，，共线，∵是的中点，∴，∵，，设，则，在中，则有，解得，；如图中，当时，，∴根据折叠可知：，，，，综上所述，满足条件的的值为或．故答案为：或．三、解答题9．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为．(1)写出点F的坐标．(2)求的长．【答案】(1)(2)【知识点】勾股定理与折叠问题、坐标与图形综合【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．（1）由点D的坐标可知，，根据翻折的性质可知，由勾股定理可求得，进而可求出点F的坐标．（2）设，由折叠得，则，在△中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中，∴，，由折叠的性质的可知：，在中，由勾股定理得：，∴．（2）解：设，由折叠得，则，∵，∴，在△中，，解得：，∴．10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置．(1)若，则______，______；(2)判断的形状，并说明理由；(3)若，，求的面积．【答案】(1)，(2)是等腰三角形，见解析(3)【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、勾股定理与折叠问题【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识．（1）根据平行线的性质和折叠的性质即可求出答案；（2）由折叠可知，由得到，则，即可得到结论；（3）设的长为x，则，，由勾股定理得，解得，，则，利用三角形面积公式即可求出答案．【详解】（1）解：∵，，∴，由折叠可知，，∴；故答案为：，（2）是等腰三角形，由折叠可知：，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（3）设的长为x，则，，在中，由勾股定理得：，∴解得，，∴∴．11．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图1，将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处．(1)试判断线段与的关系，并说明理由；(2)若，，求的长；(3)如图2，取的中点，连接，，若，求证：．【答案】(1)垂直平分．理由见解析(2)(3)见解析【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，长方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）由折叠的性质可得出结论；（2）由勾股定理可求出答案；（3）证出，由直角三角形的性质可得出结论．【详解】（1）垂直平分．理由如下：将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处，，，，垂直平分．（2）四边形是长方形，，，，又，在中，，，，，．（3）证明：设，由折叠的性质可得，，，．又点是的中点，，，，，，，，，，，，，，，．，，，．12．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）综合与实践．课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在中，，点D、F分别是上的一点，连接．(1)如图1，将沿直线折叠，点B恰好与点C重合，则CF________（填“”、“”或“”）；(2)如图2，将沿直线折叠，点B落在的中点E处，若，，求线段CD的长；(3)如图3，将沿直线折叠，点B落在延长线上的点E处，平分，求的度数．【答案】(1)(2)4(3)【知识点】角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形、折叠问题【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，角平分线性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．（1）根据折叠的性质得到，，求得，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到（2）由点是的中点，，得到，根据折叠的性质的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论；（3）根据角平分线的定义得到．由折叠的性质得到．等量代换得到，根据三角形的内角和定理得到结论．【详解】（1）将沿直线折叠，点恰好与点重合，故答案为：（2）点是的中点，，将沿直线折叠，点落在的中点处，（3）平分，由折叠可知：．又，13．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点O为的中点，点D是线段上的动点（点D不与点O，B重合），将沿直线折叠得到，连接．(1)若，，求的长；(2)若，则；(3)若是等边三角形，请直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题【分析】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，以及勾股定理，理解题意，灵活运用是关键．（1）根据已知条件可知，由折叠可知，，则，为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求得的长；（2）根据折叠可知，则，，可得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求得的度数；（3）根据已知条件得，由等腰三角形的性质可知，得为直角三角形，再根据勾股定理可得，，即可求得结论．【详解】（1）解：（1）∵，，∴，∴，由折叠可得：，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；（2）由折叠可得：，，∵，∴，∴，由（1）知：，∴，∴，故答案为：；（3）若是等边三角形，∴，，由（1）知：，∴，∴，∵，∴且过O点，即，∵，∴，∴，在中，由勾股定理可得：，∵点O为的中点，∴，∴；14．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点P为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点B的对应点为．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，连接，若，且，求出的值；(3)如图3，连接，若，是否存在点P，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)详见解析(2)1(3)【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题【分析】（1）先根据同位角相等，两直线平行得出，再由平行线的性质得出，根据折叠的性质得出，即可证明，再根据等角对等边证明即可；（2）设，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半及勾股定理得，过点作，垂足为Q，进而证得是等边三角形，即可求解；（3）先由三边相等证明是等边三角形，再分两种情况讨论：①当点在左侧时，过点C作于点H，②当点在右侧时，过点C作于点H，设，则，由勾股定理得，分别表示出的值，求解即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴,，∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为，∴，∵，∴，∴，设，∴，由勾股定理得，过点作，垂足为Q，∴，由勾股定理得，∴，延长到点M，使，∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴；（3）解：存在，理由如下：∵，，∴，∴，∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为，∴，∵，∴，∴是等边三角形，①当点在左侧时，过点C作于点H，则，∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为，∴，又，∴，∴，∴，设，则，由勾股定理得，∴，∴，∴；②当点在右侧时，过点C作于点H，则，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，设，则，由勾股定理得，∴，∴，∴；综上，的值为．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a=84+862=85八年级10名学生的成绩中87分的最多,有3人,所以众数b=87,A同学得了86分大于85分,位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生.故答案为85,87,七.(2)510×200+610×200=220(人答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220.(3)我认为八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.理由:因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.22.解(1)根据所列方程可知,甲所列方程中的x表示B型玩具的单价;乙所列方程中的x表示520元购进A型玩具的数量.故答案为B型玩具的单价;520元购进A型玩具的数量.(2)设可购进A型玩具a个,则购进B型玩具(200-a)个,由(1)可知B型玩具的单价为5元,A型玩具的单价为1.6×5=8(元).根据题意得8a+5(200-a)≤1350,解得a≤11623故整数a的最大值是116.答:最多可购进A型玩具116个.23.解(1)3020(2)1(3)可能出现的所有结果列表如下:小张抛到的数字小李抛到的数字