专题06 利用勾股定理求最短路径问题的四种考法（解析版）

专题06利用勾股定理求最短路径问题的四种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 3类型一、圆柱中的最短路径模型 3类型二、长方体中的最短路径模型 7类型三、阶梯中的最短路径模型 15类型四、将军饮马与最短路径模型 18压轴能力测评（14题） 22解题知识必备【模型一圆柱中的最短路径模型】【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算.注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.【最值原理】两点之间线段最短.【模型二长方体中的最短路径模型】【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.【最值原理】两点之间线段最短.【模型三阶梯中的最短路径模型】【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：注意：展开—定点—连线—勾股定理【最值原理】两点之间线段最短.【模型四将军饮马与最短路径模型】【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解.【最值原理】两点之间线段最短.压轴题型讲练类型一、圆柱中的最短路径模型例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图①，圆柱的底面直径为，高，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点爬到点的最短路径长多少厘米：(1)图②是将圆柱侧面沿裁剪后展开形成的四边形，点在线段上，求的长（取3）；(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度．【答案】(1)；(2)，图见解析【分析】本题考查蚂蚁在圆柱侧面爬行最短路径问题，涉及圆柱侧面展开图、圆周长公式、两点之间线段最短及勾股定理求线段长，根据问题，作出图形求解是解决问题的关键．（1）根据的长为圆柱底面圆的周长，利用圆周长公式代值求解即可得到答案；（2）由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段，作出图形，再利用勾股定理求解即可得到最短路径的长度．【详解】（1）解：由圆柱的侧面展开图可知，的长为圆柱底面圆的周长，圆柱的底面直径为，；（2）解：如图所示：由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段，由（1）知，高，，在中，由勾股定理可得．【变式训练】1．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行，吃到上底面与A点相对的B点处的食物，当圆柱的高厘米，底面半径厘米时，蚂蚁沿侧面爬行的最短路程是．【答案】【分析】此题主要考查了勾股定理的应用-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．首先画出圆柱的平面展开图，求出长，再利用勾股定理可求出的长．【详解】解：圆柱的展开图如下：连接，由题意得：，，∴．故答案为：．2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为．【答案】【分析】本题考查了，平面展开最短路径，勾股定理，解题的关键是：通过展开图找到最短路径．展开成平面，连接，则长时蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出的长，根据勾股定理，即可求解，【详解】解：展开成平面，连接，则长为蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，∴，，在中，，故答案为：．3．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面圆的直径为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号）【答案】【分析】本题考查了最短路径问题，解题思路为：①先根据题意把立体图形展开成平面图形后并画出展开图，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短；②构建直角三角形，利用勾股定理列式求解，首先将圆柱展开，将两个点放在同一平面上，构建直角，可知捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线就是的长；根据已知求出，由题意可知：是底面的周长的一半，根据底面圆的直径为和圆的周长公式，可以求的长，从而由勾股定理求出的长．【详解】解：画圆柱的展开图，如图所示：过作于，由题意得：，，，，由勾股定理得：，答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为．4．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？【答案】(1)50cm(2)300cm【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为的长，圆柱的高即为的长，求出的长即为葛藤绕树的最短路程．（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高．【详解】（1）解：如图，树干的周长即底面圆的周长为30cmcm葛藤升高40cmcm由勾股定理得cm所以，葛藤爬行的路程是50cm（2）解：树干的周长即底面圆的周长为40cmcm葛藤绕一圈爬行50cmcm由勾股定理得绕行1圈的高度爬行10圈到达树顶树干高cm所以，树干高为300cm【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，解题关键是要弄清底面圆的周长即为矩形的边的长．类型二、长方体中的最短路径模型例题：（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图是长、宽、高的长方体容器．(1)求底面矩形的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？【答案】(1)底面矩形的对角线的长为(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是(3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果；（2）根据题意连接、，两次运用勾股定理即可得出结果;（3）分别求出三种情况下蚂蚁爬行的最短距离，然后进行比较，得出蚂蚁爬行的最短距离即可．【详解】（1）解：∵、，，∴对角线的长为：；答：底面矩形的对角线的长为．（2）解：连接、，如图所示：在中，∵、，，∴，在中，．答：这个盒子最长能放的棍子．（3）解：将前面的面和右边的面展开，如图所示：此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：；将前面的面和上边的面展开，如图所示：此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：；将左边的面和上边的面展开，如图所示：此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：；∵，∴蚂蚁从D点爬到E点最短路径．【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据题意，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．【变式训练】1．（23-24八年级下·广西防城港·期末）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为．【答案】130【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．从点如果从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长，根据展开图，求出，再根据勾股定理求出斜边长即可．【详解】解：如图，将长方体展开：是正方形，，，，，从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长，，行走的最短距离为．故答案为：130．2．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，有一长、宽各2m、高3m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路径为m．

【答案】【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．【详解】解：由题意得，路径一：；路径二：；路径三：；，为最短路径．故答案为：3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要米．【答案】【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，米，米，由勾股定理得，（米）；故答案为：．4．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答）【答案】把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5．【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把长方体沿展开，把长方体沿展开，把长方体沿展开，三种情况利用勾股定理求出对应的最短距离即可得到答案．【详解】解：如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，由题意得，，∴由勾股定理得；如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，由题意得，，∴由勾股定理得；如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，由题意得，，∴由勾股定理得；∵，∴把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5．5．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖．(1)求点到点的距离；(2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？【答案】(1)点到点的距离为(2)【分析】考查平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意分类讨论，画出示意图．（1）过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接，根据勾股定理求解即可；（2）分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连接，如图1；把右侧展开到正面上，连接，如图2；把向上的面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，比较即可．【详解】（1）解：如图，过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接，由长方体的性质得到：，，，点到点的距离为；（2）解：如图1，把左侧面展开到水平面上，连接，由题意可得：，，在中，根据勾股定理得：，如图2，把右侧展开到正面上，连接，由题意得：，在中，根据勾股定理得：则需要爬行的最短距离是；如图3，把向上的面展开到正面上，连接，由题意可得：，在中，根据勾股定理得：；同理，把向上的面展开到后面时，；∵，∴则需要爬行的最短距离是．类型三、阶梯中的最短路径模型例题：（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，则它爬行的最短路程为．【答案】/13分米【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将楼梯拉伸，根据两点间线段最短，结合勾股定理求解即可得到答案；【详解】解：将三级台阶展开为平面图形如图所示，则的长即为它爬行的最短路程，由勾股定理得，，∴它爬行的最短路程为，故答案为：．【变式训练】1．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）将矩形纸片折叠，如图所示，已知，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是．【答案】26【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据题意画出矩形纸片的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可．【详解】如图，根据题意可得：展开图中的，．在中，由勾股定理可得：，即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是．故答案为：26．2．（23-24八年级下·河北·期中）如图，这是一个三级台阶，它的每一级的长．宽、高分别为，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想爬到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径是，确定最短路径的依据是．【答案】25两点之间，线段最短【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，两点之间，线段最短，把台阶展开，根据两点之间，线段最短可知，线段的长即为蚂蚁所爬的最短路径，利用勾股定理求出线段的长即可．【详解】解：把台阶展开如下：由题意得，，∴，∴蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路径是，依据是两点之间，线段最短，故答案为：25；两点之间，线段最短．3．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上，若，点到的距离是，有一只蚂蚁要从点爬行到点，则它的最短行程是m．【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，平面展开-最短路径问题．可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面，过P作于G，连接，∵，，∴，∴，∴．故这只蚂蚁的最短行程应该是．故答案为：．4．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知米，米．该木块的长与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要走的最短路程是米．【答案】【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，∴长为米；宽为米．于是最短路径为：米．故答案为：．类型四、将军饮马与最短路径模型例题：（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图，、两个村在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向、俩村供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？【答案】在河流上选择水厂的位置见解析，总费用是万元．【分析】先作点的对称点，连接点和点，交于点，即所求作的点，过作，延长交于点，根据轴对称的性质可知：，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，水厂的位置即在点处，

过作，延长交于点，∴，∴四边形是矩形，∴，由对称性质可知：，∴，，在中，由勾股定理得：，∴水管的费用最节省为（万元），答：水管的费用最节省为万元．【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．【变式训练】1．（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为．【答案】【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，小虫沿着的路线爬行时路程最短．在直角中，，∴∴最短路线长为cm.故答案为：．2．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为．

【答案】【分析】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．【详解】解：如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P，

则此时最小，过点B作交延长线于点E，∵，，．∴，，∴，，在中，，则的最小值为．故答案为：．3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧面展开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁厚度不计）

【答案】【分析】本题考查了最短路径问题，将纸杯侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【详解】解：将纸杯沿侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，如图所示：

，，，在中，由勾股定理得，，故蚂蚁从外壁到内壁处的最短距离为．压轴能力测评（14题）一、单选题1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)【分析】本题考查勾股定理的基本应用，能够正确计算是解题关键．先通过勾股定理算出楼梯的水平宽度，再通过“地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和”即可求解．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是．故选：D．2．（24-25八年级上·山西太原·期中）如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)【分析】此题考查了勾股定理的应用．先根据题意展开得到平面图形，利用根据两点之间线段最短和勾股定理进行求解即可．【详解】解：把托盘的隔断和托盘底层展开得到如下图形：则，，，∴，即蚂蚁爬行的最短距离为，故选：D3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（

）

A． B． C． D．【答案】D【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)【分析】本题考查利用勾股定理求展开图中的最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出．【详解】解：根据题意，该圆柱的侧面展开图如图所示：

可转化为下图求解：

则，，∴，∴装饰带的最短长度为，故选：D．二、填空题4．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为．【答案】【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用)【分析】根据题意将立体图形展开，再根据勾股定理解答即可．本题考查平面展开图，最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题．【详解】解：展开图如下，，∴；故答案为：．5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）用一张半径为的半圆形纸片，围成一个圆锥（连接处无缝隙也无重合），一只蚂蚁沿着圆锥表面爬行，从点爬行到点的最短路线长为cm．【答案】【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)【分析】本题考查的是勾股定理的应用．画出图形，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：如图，线段的长为所求的最短路线长，由勾股定理得：，故答案为：．6．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为（即）的半圆，其边缘，点在上，．一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为m．（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3）【答案】【知识点】利用二次根式的性质化简、求最短路径(勾股定理的应用)【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径的半圆的弧长，矩形的长等于，解决本题的关键是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：如图是其侧面展开图：，，，在中，，故他滑行的最短距离约为；故答案为：．三、解答题7．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？【答案】【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示，

∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为，∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长，由勾股定理得，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13．8．（2024八年级上·江苏·专题练习）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远．【答案】13公里【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)【分析】此题考查了轴对称中最短路径问题在生活中的应用，将此题转化为轴对称问题，作出点关于河岸的对称点，根据两点之间线段最短得出的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．【详解】作点关于河岸的对称点，连接交河岸与，连接，则，则最短，故将军应将马赶到河边的地点．作，且，，，，四边形是矩形，，在中，，答：将军最短需要走13公里．9．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少?【答案】蚂蚁爬行的最短距离是【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)【分析】本题考查了勾股定理的应用；计算出三种情况下线段的长度，比较即可得到蚂蚁爬行的最短距离；【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图；∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是，；要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：；；，∴蚂蚁爬行的最短距离是．10．（23-24八年级上·四川眉山·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止．求彩条的最短长度．【答案】【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)【分析】本题考查的勾股定理得实际应用，如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是和，再根据勾股定理求出斜边长即可．【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短彩条长，由题意得，，由勾股定理得，同理可得，∴，答：所用彩条最短长度是．11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．(1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注．(2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）．【答案】(1)见解析(2)小虫爬行的最短路线长为．【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用)【分析】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．（1）作关于的对称点，连接，与交于点，此时最短；（2）为的斜边，根据勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图，作点关于所在直线的对称点，连接，与交于点，则为最短路线；（2）解：因为，，所以．在中，，，，所以．由对称性可知，所以：．所以：小虫爬行的最短路线长为．12．（24-25七年级上·山东威海·期末）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点．【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程．【变式探究】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-【拓展应用】（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）【答案】（1）（2）（3）【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用)【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．（1）直接利用勾股定理进行求解即可；（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；（3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）由题意得，故答案为：；（2）将圆柱体展开，由题意得，故答案为：；（3）如图，从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点，，,，，，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是．13．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段AB的长．【方法应用】（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．（2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？【答案】（1）34cm；（2）秒．【知识点】几何体展开图的认识、用勾股定理构造图形解决问题、求最短路径(勾股定理的应用)【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键．（1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可；（2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线．由题意可得在中，，，，∴，∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm．（2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．如图2，在中，∵长方体的棱长，，∴，，，，∴，解得．答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲．14．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．(1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，．①用含m的代数式表示，用含n的代数式表示；②据此写出的最小值．(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是．(3)【拓展应用】已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，写出的最小值．【答案】(1)①，；②(2)20(3)【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)【分析】本题考查了勾股定理得应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）①由勾股定理计算即可得解；②连接，由①得：，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则四边形为长方形，得出，，再由勾股定理计算即可得解；（2）设，，，，则，由勾股定理可得，，从而得出，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则，则四边形为长方形，得出，，再由勾股定理计算即可得解；（3）画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，则，，，，从而得出，利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号），再由勾股定理计算即可得解．【详解】（1）解：①在中，，在中，，故答案为：，；②连接，由①得：，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，如图1，则，∴四边形为长方形，，，在中，，的最小值为，即的最小值为；（2）解：如图，设，，，，则，在中，，在中，；，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则，∴四边形为长方形，，，在中，，的最小值为20，即的最小值为20．（3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，作图如下：则，，，，，利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号），，的最小值为，的最小值为．模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a=84+862=85八年级10名学生的成绩中87分的最多,有3人,所以众数b=87,A同学得了86分大于85分,位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生.故答案为85,87,七.(2)510×200+610×200=220(人答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220.(3)我认为八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.理由:因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.22.解(1)根据所列方程可知,甲所列方程中的x表示B型玩具的单价;乙所列方程中的x表示520元购进A型玩具的数量.故答案为B型玩具的单价;520元购进A型玩具的数量.(2)设可购进A型玩具a个,则购进B型玩具(200-a)个,由(1)