139高数题库答案在哪

139高数题库答案在哪一、极限与连续（25分）1.选择题（10分）(1)lim(x→0)(sin3x)/(2x)=（）A.0B.3/2C.2/3D.1(2)lim(x→∞)(1+1/x)^x=（）A.0B.1C.eD.∞(3)lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=（）A.0B.1/2C.1D.∞(4)函数f(x)=|x|在x=0处（）A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续但可导D.既不连续也不可导(5)函数f(x)=1/x在区间(0,1)内（）A.有界且连续B.有界但不连续C.无界但连续D.无界且不连续2.填空题（5分）(1)lim(x→0)(1-cosx)/x^2=______(2)lim(x→∞)(3x^2+2x-1)/(2x^2+5)=______(3)lim(x→0)(a^x-1)/x=______(a>0,a≠1)(4)函数f(x)=x^3-3x+1在区间[0,2]上的最大值为______(5)函数f(x)=sin(1/x)在x=0处的极限______（填"存在"或"不存在"）3.计算题（10分）(1)求lim(x→0)(tanx-sinx)/x^3(2)求lim(x→∞)(x^2+3x+1)/(2x^2-5x+3)(3)求lim(x→0)(e^{2x}-1)/x(4)求lim(x→0)(ln(1+2x))/x(5)讨论函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限和连续性二、导数与微分（25分）1.选择题（10分）(1)设f(x)=x^2+3x+1，则f'(x)=（）A.2x+3B.2x+1C.x+3D.x+1(2)设f(x)=sin(2x)，则f'(x)=（）A.cos(2x)B.2cos(2x)C.-cos(2x)D.-2cos(2x)(3)设f(x)=e^{3x}，则f'(0)=（）A.0B.1C.3D.e(4)设f(x)=ln(x^2+1)，则f'(x)=（）A.1/(x^2+1)B.2x/(x^2+1)C.2xD.1/x(5)设f(x)=x^3+2x^2+3x+4，则f''(x)=（）A.3x^2+4x+3B.6x+4C.6x+2D.62.填空题（5分）(1)函数f(x)=x^4在x=2处的导数为______(2)函数f(x)=cos(3x)在x=0处的导数为______(3)函数f(x)=e^{2x}+ln(x)的导数为______(4)函数f(x)=(x^2+1)^3的导数为______(5)函数f(x)=x^2e^x的导数为______3.计算题（10分）(1)求函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的导数和二阶导数。(2)求函数f(x)=sin(x^2)的导数。(3)求函数f(x)=e^{x^2}的导数。(4)求函数f(x)=ln(x^2+1)的导数。(5)求函数f(x)=(x^2+1)/(x-1)的导数。三、中值定理与导数的应用（25分）1.选择题（10分）(1)罗尔定理的条件是（）A.函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)B.函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导C.函数在闭区间[a,b]上可导，在开区间(a,b)内连续D.函数在闭区间[a,b]上可导，在开区间(a,b)内连续，且f(a)=f(b)(2)拉格朗日中值定理的条件是（）A.函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导B.函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)C.函数在闭区间[a,b]上可导，在开区间(a,b)内连续D.函数在闭区间[a,b]上可导，在开区间(a,b)内连续，且f(a)=f(b)(3)函数f(x)=x^3-3x+1的极值点为（）A.x=1B.x=-1C.x=0D.x=2(4)函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的拐点是（）A.x=1B.x=0C.x=2D.无拐点(5)函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值为（）A.2B.3C.6D.12.填空题（5分）(1)函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的极值点为x=______和x=______(2)函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的拐点为x=______(3)函数f(x)=e^{-x^2}的极大值点为x=______(4)函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,4]上的最小值为______(5)函数f(x)=x^2-4x+3的递增区间为______3.应用题（10分）(1)证明方程x^3-3x+1=0在区间(0,1)内有且仅有一个实根。(2)求函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的极值和拐点。(3)求函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的极值和拐点。(4)求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,4]上的最大值和最小值。(5)求函数f(x)=x^2-4x+3的递增区间和递减区间。四、不定积分（25分）1.选择题（10分）(1)∫x^3dx=（）A.x^4/4+CB.x^3/3+CC.4x^3+CD.3x^2+C(2)∫sinxdx=（）A.cosx+CB.-cosx+CC.sinx+CD.-sinx+C(3)∫e^xdx=（）A.e^x+CB.e^x/2+CC.2e^x+CD.e^{x+1}+C(4)∫1/xdx=（）A.ln|x|+CB.-1/x^2+CC.1/x+CD.lnx+C(5)∫cos(2x)dx=（）A.sin(2x)+CB.-sin(2x)+CC.(1/2)sin(2x)+CD.2sin(2x)+C2.填空题（5分）(1)∫x^2dx=______+C(2)∫e^{2x}dx=______+C(3)∫1/(1+x^2)dx=______+C(4)∫x√xdx=______+C(5)∫(x^2+2x+1)dx=______+C3.计算题（10分）(1)求∫(3x^2+2x+1)dx(2)求∫sin(3x)dx(3)求∫e^{2x}dx(4)求∫xe^xdx(5)求∫(x^2+1)/(x^3+3x)dx五、定积分及其应用（25分）1.选择题（10分）(1)∫(从0到1)x^2dx=（）A.1/3B.1/2C.1D.0(2)∫(从0到π)sinxdx=（）A.0B.1C.2D.-2(3)∫(从0到1)e^xdx=（）A.e-1B.eC.1D.0(4)∫(从-1到1)x^3dx=（）A.0B.1/2C.1D.2(5)∫(从0到∞)e^{-x}dx=（）A.1B.0C.∞D.e2.填空题（5分）(1)∫(从0到1)xdx=______(2)∫(从0到π/2)cosxdx=______(3)∫(从0到1)(1+x^2)dx=______(4)∫(从0到1)e^{-x}dx=______(5)∫(从0到1)x√(1-x)dx=______3.应用题（10分）(1)求曲线y=x^2与x轴在区间[0,1]上围成的面积。(2)求曲线y=sinx与x轴在区间[0,π]上围成的面积。(3)求曲线y=e^x与x轴在区间[0,1]上围成的面积。(4)求曲线y=x^3与直线y=x在区间[0,1]上围成的面积。(5)求由曲线y=x^2和y=2x-x^2围成的图形的面积。六、微分方程（25分）1.选择题（10分）(1)微分方程y'=2y的解为（）A.y=e^{2x}B.y=2e^xC.y=e^xD.y=2x(2)微分方程y''+y=0的解为（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=sinx+cosxD.y=C1sinx+C2cosx(3)微分方程y'+y=0的解为（）A.y=e^xB.y=e^{-x}C.y=xe^xD.y=xe^{-x}(4)微分方程y'=y/x的解为（）A.y=x^2B.y=xC.y=CxD.y=C/x(5)微分方程y''-4y'+4y=0的特征方程为（）A.r^2-4r+4=0B.r^2+4r+4=0C.r^2-4r-4=0D.r^2+4r-4=02.填空题（5分）(1)微分方程y'=3x^2的通解为y=______(2)微分方程y'=ky的通解为y=______(3)微分方程y''=6x的通解为y=______(4)微分方程y'+2y=0的通解为y=______(5)微分方程y''+4y=0的通解为y=______3.计算题（10分）(1)求微分方程y'=2x+1的解。(2)求微分方程y'=y的解。(3)求微分方程y'+y=e^x的解。(4)求微分方程y''-y'-2y=0的解。(5)求微分方程y''+4y'+4y=0的解。七、多元函数微分学（25分）1.选择题（10分）(1)函数f(x,y)=x^2+y^2的偏导数∂f/∂x=（）A.2xB.2yC.xD.y(2)函数f(x,y)=e^{xy}的偏导数∂f/∂y=（）A.xe^{xy}B.ye^{xy}C.e^{xy}D.e^{x+y}(3)函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)处的梯度为（）A.(2,2)B.(1,1)C.(2,1)D.(1,2)(4)函数f(x,y)=x^2+y^2的极值点为（）A.(0,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,1)(5)函数f(x,y)=x^2-y^2的鞍点为（）A.(0,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,1)2.填空题（5分）(1)函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2的偏导数∂f/∂x=______(2)函数f(x,y)=e^{x+y}的偏导数∂f/∂y=______(3)函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,2)处的梯度为______(4)函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy的极值点为______(5)函数f(x,y)=x^2+y^2+2x-4y+5的极小值为______3.计算题（10分）(1)求函数f(x,y)=x^2+y^2的偏导数和全微分。(2)求函数f(x,y)=e^{xy}的偏导数和全微分。(3)求函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,2)处的梯度。(4)求函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy的极值。(5)求函数f(x,y)=x^2+y^2+2x-4y+5的极值。八、重积分（25分）1.选择题（10分）(1)∫∫(从0到1，从0到1)xdxdy=（）A.1/2B.1/4C.1D.0(2)∫∫(从0到1，从0到1)xydxdy=（）A.1/2B.1/4C.1D.0(3)∫∫(从-1到1，从-1到1)x^2dxdy=（）A.4/3B.2/3C.1/3D.0(4)∫∫(从0到π，从0到1)rsinθdrdθ=（）A.2B.1C.1/2D.0(5)∫∫(从0到2π，从0到1)rdrdθ=（）A.πB.2πC.π/2D.02.填空题（5分）(1)∫∫(从0到1，从0到1)x^2dxdy=______(2)∫∫(从0到1，从0到1)(x+y)dxdy=______(3)∫∫(从0到1，从0到1)e^{x+y}dxdy=______(4)∫∫(从0到π，从0到1)rcosθdrdθ=______(5)∫∫(从0到2π，从0到1)r^2drdθ=______3.计算题（10分）(1)计算二重积分∫∫(从0到1，从0到1)(x^2+y^2)dxdy。(2)计算二重积分∫∫(从0到1，从0到1)xydxdy。(3)计算二重积分∫∫(从0到π，从0到1)rsinθdrdθ。(4)计算二重积分∫∫(从-1到1，从-√(1-x^2)到√(1-x^2))x^2dydx。(5)计算二重积分∫∫(从0到1，从0到√(1-x^2))(x^2+y^2)dydx。九、曲线积分与曲面积分（25分）1.选择题（10分）(1)曲线积分∫(从0到1)xdx=（）A.1/2B.1C.0D.1/4(2)曲线积分∫(从0到π)sinxdx=（）A.0B.1C.2D.-2(3)曲线积分∫(从C)(x^2+y^2)ds，其中y=x^2，从(0,0)到(1,1)，等于（）A.∫(从0到1)(x^2+x^4)√(1+4x^2)dxB.∫(从0到1)(x^2+x^4)dxC.∫(从0到1)(x^2+x^4)√(1+2x)dxD.∫(从0到1)(x^2+x^4)√(1+x^2)dx(4)曲面积分∫∫(从S)zdS，其中S是z=x^2+y^2，0≤z≤1，等于（）A.∫∫(从D)(x^2+y^2)√(1+4x^2+4y^2)dxdyB.∫∫(从D)(x^2+y^2)dxdyC.∫∫(从D)(x^2+y^2)√(1+2x^2+2y^2)dxdyD.∫∫(从D)(x^2+y^2)√(1+x^2+y^2)dxdy(5)曲线积分∫(从C)F·dr，其中F=(y,x)，C是单位圆，逆时针方向，等于（）A.0B.πC.2πD.π/22.填空题（5分）(1)曲线积分∫(从0到1)x^2dx=______(2)曲线积分∫(从0到π)cosxdx=______(3)曲线积分∫(从C)(x+y)ds，其中C是直线y=x，从(0,0)到(1,1)，等于______(4)曲面积分∫∫(从S)zdS，其中S是平面z=1，x^2+y^2≤1，等于______(5)曲线积分∫(从C)F·dr，其中F=(-y,x)，C是单位圆，逆时针方向，等于______3.计算题（10分）(1)计算曲线积分∫(从C)(x^2+y^2)ds，其中C是直线y=x，从(0,0)到(1,1)。(2)计算曲线积分∫(从C)(x+y)ds，其中C是曲线y=x^2，从(0,0)到(1,1)。(3)计算曲线积分∫(从C)F·dr，其中F=(y,x)，C是单位圆，逆时针方向。(4)计算曲面积分∫∫(从S)zdS，其中S是平面z=x+y，0≤x≤1，0≤y≤1。(5)计算曲面积分∫∫(从S)(x^2+y^2)dS，其中S是球面x^2+y^2+z^2=1。十、无穷级数（25分）1.选择题（10分）(1)级数∑(n=1到∞)1/n^2的敛散性为（）A.收敛B.发散C.条件收敛D.绝对收敛(2)级数∑(n=1到∞)1/n的敛散性为（）A.收敛B.发散C.条件收敛D.绝对收敛(3)级数∑(n=1到∞)(-1)^n/n的敛散性为（）A.收敛B.发散C.条件收敛D.绝对收敛(4)级数∑(n=1到∞)x^n的收敛半径为（）A.0B.1C.2D.∞(5)级数∑(n=1到∞)n!x^n的收敛半径为（）A.0B.1C.2D.∞2.填空题（5分）(1)级数∑(n=1到∞)1/n^3的和为______(2)级数∑(n=1到∞)(-1)^n/n^2的和为______(3)级数∑(n=1到∞)x^n/n的收敛区间为______(4)级数∑(n=1到∞)n!x^n的收敛半径为______(5)级数∑(n=1到∞)x^n/n!的和函数为______3.判断题（10分）(1)级数∑(n=1到∞)1/n^2收敛。（）(2)级数∑(n=1到∞)1/n发散。（）(3)级数∑(n=1到∞)(-1)^n/n收敛。（）(4)级数∑(n=1到∞)n!/n^n收敛。（）(5)级数∑(n=1到∞)x^n/n!对所有x都收敛。（）答案：一、极限与连续（25分）1.选择题（10分）(1)B解释：lim(x→0)(sin3x)/(2x)=lim(x→0)(3sin3x)/(6x)=(3/2)lim(x→0)(sin3x)/(3x)=(3/2)×1=3/2。(2)C解释：lim(x→∞)(1+1/x)^x=e，这是e的定义之一。(3)B解释：lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=lim(x→0)(e^x-1)/x-1/x=1-∞=-∞，不对。实际上，使用泰勒展开，e^x≈1+x+x^2/2+o(x^2)，所以(e^x-1-x)/x^2≈(1+x+x^2/2-1-x)/x^2=(x^2/2)/x^2=1/2。(4)A解释：函数f(x)=|x|在x=0处连续，因为lim(x→0)|x|=0=f(0)。但是它在x=0处不可导，因为左导数和右导数不相等。(5)C解释：函数f(x)=1/x在区间(0,1)内无界，因为当x趋近于0+时，f(x)趋近于+∞。但是它在(0,1)内连续，因为它是初等函数。2.填空题（5分）(1)1/2解释：lim(x→0)(1-cosx)/x^2=lim(x→0)(2sin^2(x/2))/x^2=lim(x→0)(2(x/2)^2)/x^2=lim(x→0)(2(x^2/4))/x^2=lim(x→0)(x^2/2)/x^2=1/2。(2)3/2解释：lim(x→∞)(3x^2+2x-1)/(2x^2+5)=lim(x→∞)(3+2/x-1/x^2)/(2+5/x^2)=(3+0-0)/(2+0)=3/2。(3)lna解释：lim(x→0)(a^x-1)/x=lim(x→0)(e^{xlna}-1)/x=lim(x→0)(xlna+o(x))/x=lna。(4)3解释：函数f(x)=x^3-3x+1的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得到x=±1。计算f(0)=1，f(1)=-1，f(2)=3，所以最大值为3。(5)不存在解释：当x趋近于0时，1/x趋近于∞，而sin函数在无穷远处振荡，所以sin(1/x)在x=0处的极限不存在。3.计算题（10分）(1)lim(x→0)(tanx-sinx)/x^3=lim(x→0)(sinx/cosx-sinx)/x^3=lim(x→0)sinx(1/cosx-1)/x^3=lim(x→0)sinx(1-cosx)/(x^3cosx)=lim(x→0)(sinx/x)×(1-cosx)/x^2×1/cosx=1×1/2×1=1/2(2)lim(x→∞)(x^2+3x+1)/(2x^2-5x+3)=lim(x→∞)(1+3/x+1/x^2)/(2-5/x+3/x^2)=(1+0+0)/(2-0+0)=1/2(3)lim(x→0)(e^{2x}-1)/x=lim(x→0)(e^{2x}-1)/(2x)×2=1×2=2(4)lim(x→0)(ln(1+2x))/x=lim(x→0)(ln(1+2x))/(2x)×2=1×2=2(5)讨论函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限和连续性函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1，当x≠1时。所以lim(x→1)f(x)=lim(x→1)(x+1)=2。但是f(1)无定义，所以函数在x=1处不连续。二、导数与微分（25分）1.选择题（10分）(1)A解释：f(x)=x^2+3x+1的导数为f'(x)=2x+3。(2)B解释：f(x)=sin(2x)的导数为f'(x)=2cos(2x)。(3)C解释：f(x)=e^{3x}的导数为f'(x)=3e^{3x}，所以f'(0)=3e^0=3。(4)B解释：f(x)=ln(x^2+1)的导数为f'(x)=2x/(x^2+1)。(5)B解释：f(x)=x^3+2x^2+3x+4的一阶导数为f'(x)=3x^2+4x+3，二阶导数为f''(x)=6x+4。2.填空题（5分）(1)32解释：f(x)=x^4的导数为f'(x)=4x^3，所以f'(2)=4×8=32。(2)-3解释：f(x)=cos(3x)的导数为f'(x)=-3sin(3x)，所以f'(0)=-3sin(0)=0。(3)2e^{2x}+1/x解释：f(x)=e^{2x}+ln(x)的导数为f'(x)=2e^{2x}+1/x。(4)6x(x^2+1)^2解释：f(x)=(x^2+1)^3的导数为f'(x)=3(x^2+1)^2×2x=6x(x^2+1)^2。(5)e^x(x^2+2x)解释：f(x)=x^2e^x的导数为f'(x)=2xe^x+x^2e^x=e^x(x^2+2x)。3.计算题（10分）(1)f(x)=x^3-3x^2+2x+1f'(x)=3x^2-6x+2f''(x)=6x-6(2)f(x)=sin(x^2)f'(x)=cos(x^2)×2x=2xcos(x^2)(3)f(x)=e^{x^2}f'(x)=e^{x^2}×2x=2xe^{x^2}(4)f(x)=ln(x^2+1)f'(x)=2x/(x^2+1)(5)f(x)=(x^2+1)/(x-1)f'(x)=[(2x)(x-1)-(x^2+1)(1)]/(x-1)^2=(2x^2-2x-x^2-1)/(x-1)^2=(x^2-2x-1)/(x-1)^2三、中值定理与导数的应用（25分）1.选择题（10分）(1)A解释：罗尔定理的条件是函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)。(2)A解释：拉格朗日中值定理的条件是函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。(3)B解释：f(x)=x^3-3x+1的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得到x=±1。所以极值点为x=-1和x=1。(4)A解释：f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的导数为f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，二阶导数为f''(x)=12x^2-24x+12。令f''(x)=0，得到12x^2-24x+12=0，即x^2-2x+1=0，所以x=1。因此拐点为x=1。(5)C解释：f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得到x=0和x=2。计算f(0)=2，f(2)=8-12+2=-2，f(3)=27-27+2=2。所以最大值为2。2.填空题（5分）(1)1和0解释：f(x)=x^3-3x^2+2x+1的导数为f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得到3x^2-6x+2=0，解得x=[6±√(36-24)]/6=[6±√12]/6=[6±2√3]/6=[3±√3]/3。所以极值点为x=(3+√3)/3和x=(3-√3)/3。(2)1解释：f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的导数为f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，二阶导数为f''(x)=12x^2-24x+12。令f''(x)=0，得到12x^2-24x+12=0，即x^2-2x+1=0，所以x=1。因此拐点为x=1。(3)0解释：f(x)=e^{-x^2}的导数为f'(x)=-2xe^{-x^2}，令f'(x)=0，得到x=0。所以极大值点为x=0。(4)-1解释：f(x)=x^3-6x^2+9x+1的导数为f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，得到3x^2-12x+9=0，即x^2-4x+3=0，解得x=1和x=3。计算f(0)=1，f(1)=1-6+9+1=5，f(3)=27-54+27+1=1，f(4)=64-96+36+1=5。所以最小值为1。(5)(2,+∞)解释：f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4，令f'(x)>0，得到2x-4>0，即x>2。所以递增区间为(2,+∞)。3.应用题（10分）(1)证明方程x^3-3x+1=0在区间(0,1)内有且仅有一个实根。令f(x)=x^3-3x+1，则f(0)=1>0，f(1)=1-3+1=-1<0。根据介值定理，f(x)在(0,1)内至少有一个零点。假设f(x)在(0,1)内有多个零点，则根据罗尔定理，f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)在(0,1)内至少有一个零点。但是f'(x)=3(x^2-1)<0对于x∈(0,1)，所以f'(x)在(0,1)内没有零点，矛盾。因此f(x)在(0,1)内仅有一个零点。(2)求函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的极值和拐点。f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得到3x^2-6x+2=0，解得x=[6±√(36-24)]/6=[6±√12]/6=[6±2√3]/6=[3±√3]/3。f''(x)=6x-6，令f''(x)=0，得到6x-6=0，即x=1。所以拐点为x=1。计算f([3+√3]/3)=([3+√3]/3)^3-3([3+√3]/3)^2+2([3+√3]/3)+1f([3-√3]/3)=([3-√3]/3)^3-3([3-√3]/3)^2+2([3-√3]/3)+1f(1)=1-3+2+1=1所以极值为f([3+√3]/3)和f([3-√3]/3)，拐点为(1,1)。(3)求函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的极值和拐点。f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，令f'(x)=0，得到4x^3-12x^2+12x-4=0，即x^3-3x^2+3x-1=0，解得x=1。f''(x)=12x^2-24x+12，令f''(x)=0，得到12x^2-24x+12=0，即x^2-2x+1=0，解得x=1。所以拐点为x=1。计算f(1)=1-4+6-4+1=0。所以极值为f(1)=0，拐点为(1,0)。(4)求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,4]上的最大值和最小值。f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，得到3x^2-12x+9=0，即x^2-4x+3=0，解得x=1和x=3。计算f(0)=1，f(1)=1-6+9+1=5，f(3)=27-54+27+1=1，f(4)=64-96+36+1=5。所以最大值为5，最小值为1。(5)求函数f(x)=x^2-4x+3的递增区间和递减区间。f'(x)=2x-4，令f'(x)>0，得到2x-4>0，即x>2。令f'(x)<0，得到2x-4<0，即x<2。所以递增区间为(2,+∞)，递减区间为(-∞,2)。四、不定积分（25分）1.选择题（10分）(1)A解释：∫x^3dx=x^4/4+C。(2)B解释：∫sinxdx=-cosx+C。(3)A解释：∫e^xdx=e^x+C。(4)A解释：∫1/xdx=ln|x|+C。(5)C解释：∫cos(2x)dx=(1/2)sin(2x)+C。2.填空题（5分）(1)x^3/3解释：∫x^2dx=x^3/3+C。(2)(1/2)e^{2x}解释：∫e^{2x}dx=(1/2)e^{2x}+C。(3)arctanx解释：∫1/(1+x^2)dx=arctanx+C。(4)(2/5)x^(5/2)解释：∫x√xdx=∫x^(3/2)dx=(2/5)x^(5/2)+C。(5)x^3/3+x^2+x解释：∫(x^2+2x+1)dx=x^3/3+x^2+x+C。3.计算题（10分）(1)∫(3x^2+2x+1)dx=3∫x^2dx+2∫xdx+∫1dx=3(x^3/3)+2(x^2/2)+x+C=x^3+x^2+x+C(2)∫sin(3x)dx=(1/3)∫sin(3x)d(3x)=(1/3)(-cos(3x))+C=-(1/3)cos(3x)+C(3)∫e^{2x}dx=(1/2)∫e^{2x}d(2x)=(1/2)e^{2x}+C(4)∫xe^xdx=x∫e^xdx-∫(∫e^xdx)dx=xe^x-∫e^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C(5)∫(x^2+1)/(x^3+3x)dx=∫(x^2+1)/(x(x^2+3))dx令u=x^2+3，则du=2xdx，xdx=du/2所以∫(x^2+1)/(x(x^2+3))dx=∫(x^2+1)/(xu)dx=∫(x^2+3-2)/(xu)dx=∫(u-2)/(xu)dx=∫1/xdx-2∫1/(xu)dx=ln|x|-2∫1/(x(x^2+3))dx令v=x^2+3，则dv=2xdx，xdx=dv/2所以∫1/(x(x^2+3))dx=∫1/(xv)dx=∫1/(x(x^2+3))dx=(1/3)∫(3)/(x(x^2+3))dx=(1/3)∫(x^2+3-x^2)/(x(x^2+3))dx=(1/3)∫1/xdx-(1/3)∫x/(x^2+3)dx=(1/3)ln|x|-(1/6)ln|x^2+3|+C所以∫(x^2+1)/(x^3+3x)dx=ln|x|-2[(1/3)ln|x|-(1/6)ln|x^2+3|]+C=ln|x|-(2/3)ln|x|+(1/3)ln|x^2+3|+C=(1/3)ln|x|+(1/3)ln|x^2+3|+C=(1/3)ln|x(x^2+3)|+C五、定积分及其应用（25分）1.选择题（10分）(1)A解释：∫(从0到1)x^2dx=[x^3/3]从0到1=1/3-0=1/3。(2)C解释：∫(从0到π)sinxdx=[-cosx]从0到π=-cosπ-(-cos0)=-(-1)-(-1)=1+1=2。(3)A解释：∫(从0到1)e^xdx=[e^x]从0到1=e^1-e^0=e-1。(4)A解释：∫(从-1到1)x^3dx=[x^4/4]从-1到1=(1/4)-(1/4)=0。(5)A解释：∫(从0到∞)e^{-x}dx=[-e^{-x}]从0到∞=0-(-1)=1。2.填空题（5分）(1)1/2解释：∫(从0到1)xdx=[x^2/2]从0到1=1/2-0=1/2。(2)1解释：∫(从0到π/2)cosxdx=[sinx]从0到π/2=sin(π/2)-sin0=1-0=1。(3)4/3解释：∫(从0到1)(1+x^2)dx=[x+x^3/3]从0到1=(1+1/3)-(0+0)=4/3。(4)1-1/e解释：∫(从0到1)e^{-x}dx=[-e^{-x}]从0到1=-e^{-1}-(-e^0)=-1/e+1=1-1/e。(5)4/15解释：令u=1-x，则du=-dx，当x=0时，u=1；当x=1时，u=0。∫(从0到1)x√(1-x)dx=-∫(从1到0)(1-u)√udu=∫(从0到1)(1-u)u^{1/2}du=∫(从0到1)(u^{1/2}-u^{3/2})du=[(2/3)u^{3/2}-(2/5)u^{5/2}]从0到1=(2/3-2/5)-(0-0)=(10/15-6/15)=4/15。3.应用题（10分）(1)求曲线y=x^2与x轴在区间[0,1]上围成的面积。曲线y=x^2与x轴在区间[0,1]上围成的面积为∫(从0到1)x^2dx=[x^3/3]从0到1=1/3-0=1/3。(2)求曲线y=sinx与x轴在区间[0,π]上围成的面积。曲线y=sinx与x轴在区间[0,π]上围成的面积为∫(从0到π)sinxdx=[-cosx]从0到π=-cosπ-(-cos0)=-(-1)-(-1)=1+1=2。(3)求曲线y=e^x与x轴在区间[0,1]上围成的面积。曲线y=e^x与x轴在区间[0,1]上围成的面积为∫(从0到1)e^xdx=[e^x]从0到1=e^1-e^0=e-1。(4)求曲线y=x^3与直线y=x在区间[0,1]上围成的面积。曲线y=x^3与直线y=x在区间[0,1]上的交点为x^3=x，即x^3-x=0，x(x^2-1)=0，所以x=0或x=±1。在区间[0,1]上，交点为x=0和x=1。在区间(0,1)内，x>x^3，所以面积为∫(从0到1)(x-x^3)dx=[x^2/2-x^4/4]从0到1=(1/2-1/4)-(0-0)=1/4。(5)求由曲线y=x^2和y=2x-x^2围成的图形的面积。曲线y=x^2和y=2x-x^2的交点为x^2=2x-x^2，即2x^2-2x=0，2x(x-1)=0，所以x=0或x=1。在区间(0,1)内，2x-x^2>x^2，所以面积为∫(从0到1)(2x-x^2-x^2)dx=∫(从0到1)(2x-2x^2)dx=[x^2-(2/3)x^3]从0到1=(1-2/3)-(0-0)=1/3。六、微分方程（25分）1.选择题（10分）(1)A解释：微分方程y'=2y的解为y=Ce^{2x}，当C=1时，y=e^{2x}。(2)D解释：微分方程y''+y=0的特征方程为r^2+1=0，解得r=±i，所以通解为y=C1sinx+C2cosx。(3)B解释：微分方程y'+y=0的解为y=Ce^{-x}，当C=1时，y=e^{-x}。(4)C解释：微分方程y'=y/x的解为y=Cx。(5)A解释：微分方程y''-4y'+4y=0的特征方程为r^2-4r+4=0。2.填空题（5分）(1)x^3+C解释：微分方程y'=3x^2的解为y=∫3x^2dx=x^3+C。(2)Ce^{kx}解释：微分方程y'=ky的解为y=Ce^{kx}。(3)x^3+C1x+C2解释：微分方程y''=6x的解为y'=∫6xdx=3x^2+C1，y=∫(3x^2+C1)dx=x^3+C1x+C2。(4)Ce^{-2x}解释：微分方程y'+2y=0的解为y=Ce^{-2x}。(5)C1cos(2x)+C2sin(2x)解释：微分方程y''+4y=0的特征方程为r^2+4=0，解得r=±2i，所以通解为y=C1cos(2x)+C2sin(2x)。3.计算题（10分）(1)求微分方程y'=2x+1的解。y'=2x+1的解为y=∫(2x+1)dx=x^2+x+C。(2)求微分方程y'=y的解。y'=y的解为y=Ce^x。(3)求微分方程y'+y=e^x的解。这是一阶线性微分方程，可以使用积分因子法。积分因子为e^{∫1dx}=e^x。方程两边乘以e^x，得到e^xy'+e^xy=e^{2x}，即(e^xy)'=e^{2x}。积分得到e^xy=∫e^{2x}dx=(1/2)e^{2x}+C。所以y=(1/2)e^x+Ce^{-x}。(4)求微分方程y''-y'-2y=0的解。特征方程为r^2-r-2=0，解得r=2和r=-1。所以通解为y=C1e^{2x}+C2e^{-x}。(5)求微分方程y''+4y'+4y=0的解。特征方程为r^2+4r+4=0，解得r=-2（重根）。所以通解为y=(C1+C2x)e^{-2x}。七、多元函数微分学（25分）1.选择题（10分）(1)A解释：函数f(x,y)=x^2+y^2的偏导数∂f/∂x=2x。(2)A解释：函数f(x,y)=e^{xy}的偏导数∂f/∂y=xe^{xy}。(3)A解释：函数f(x,y)=x^2+y^2的偏导数为∂f/∂x=2x，∂f/∂y=2y。在点(1,1)处，梯度为(2,2)。(4)A解释：函数f(x,y)=x^2+y^2的偏导数为∂f/∂x=2x，∂f/∂y=2y。令∂f/∂x=0和∂f/∂y=0，得到x=0和y=0。二阶偏导数为∂²f/∂x²=2，∂²f/∂y²=2，∂²f/∂x∂y=0。判别式D=(∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²)-(∂²f/∂x∂y)^2=4-0=4>0，且∂²f/∂x²>0，所以(0,0)是极小值点。(5)A解释：函数f(x,y)=x^2-y^2的偏导数为∂f/∂x=2x，∂f/∂y=-2y。令∂f/∂x=0和∂f/∂y=0，得到x=0和y=0。二阶偏导数为∂²f/∂x²=2，∂²f/∂y²=-2，∂²f/∂x∂y=0。判别式D=(∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²)-(∂²f/∂x∂y)^2=-4-0=-4<0，所以(0,0)是鞍点。2.填空题（5分）(1)2x+2y解释：函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2的偏导数∂f/∂x=2x+2y。(2)e^{x+y}解释：函数f(x,y)=e^{x+y}的偏导数∂f/∂y=e^{x+y}。(3)(2,4)解释：函数f(x,y)=x^2+y^2的偏导数为∂f/∂x=2x，∂f/∂y=2y。在点(1,2)处，梯度为(2×1,2×2)=(2,4)。(4)(1,1)解释：函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy的偏导数为∂f/∂x=3x^2-3y，∂f/∂y=3y^2-3x。令∂f/∂x=0和∂f/∂y=0，得到3x^2-3y=0和3y^2-3x=0，即y=x^2和x=y^2。代入得到x=(x^2)^2=x^4，即x^4-x=0，x(x^3-1)=0，所以x=0或x=1。对应的y值为0或1。所以极值点为(0,0)和(1,1)。(5)0解释：函数f(x,y)=x^2+y^2+2x-4y+5的偏导数为∂f/∂x=2x+2，∂f/∂y=2y-4。令∂f/∂x=0和∂f/∂y=0，得到x=-1和y=2。二阶偏导数为∂²f/∂x²=2，∂²f/∂y²=2，∂²f/∂x∂y=0。判别式D=(∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²)-(∂²f/∂x∂y)^2=4-0=4>0，且∂²f/∂x²>0，所以(-1,2)是极小值点。计算f(-1,2)=1+4-2-8+5=0。3.计算题（10分）(1)求函数f(x,y)=x^2+y^2的偏导数和全微分。偏导数为∂f/∂x=2x，∂f/∂y=2y。全微分为df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=2xdx+2ydy。(2)求函数f(x,y)=e^{xy}的偏导数和全微分。偏导数为∂f/∂x=ye^{xy}，∂f/∂y=xe^{xy}。全微分为df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=ye^{xy}dx+xe^{xy}dy。(3)求函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,2)处的梯度。函数f(x,y)=x^2+y^2的偏导数为∂f/∂x=2x，∂f/∂y=2y。在点(1,2)处，梯度为(2×1,2×2)=(2,4)。(4)求函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy的极值。偏导数为∂f/∂x=3x^2-3y，∂f/∂y=3y^2-3x。令∂f/∂x=0和∂f/∂y=0，得到3x^2-3y=0和3y^2-3x=0，即y=x^2和x=y^2。代入得到x=(x^2)^2=x^4，即x^4-x=0，x(x^3-1)=0，所以x=0或x=1。对应的y值为0或1。所以临界点为(0,0)和(1,1)。二阶偏导数为∂²f/∂x²=6x，∂²f/∂y²=6y，∂²f/∂x∂y=-3。在点(0,0)处，判别式D=(∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²)-(∂²f/∂x∂y)^2=0-9=-9<0，所以(0,0)是鞍点。在点(1,1)处，判别式D=(6)(6)-(-3)^2=36-9=27>0，且∂²f/∂x²=6>0，所以(1,1)是极小值点。计算f(1,1)=1+1-3=-1。(5)求函数f(x,y)=x^2+y^2+2x-4y+5的极值。偏导数为∂f/∂x=2x+2，∂f/∂y=2y-4。令∂f/∂x=0和∂f/∂y=0，得到x=-1和y=2。二阶偏导数为∂²f/∂x²=2，∂²f/∂y²=2，∂²f/∂x∂y=0。判别式D=(2)(2)-0=4>0，且∂²f/∂x²>0，所以(-1,2)是极小值点。计算f(-1,2)=1+4-2-8+5=0。八、重积分（25分）1.选择题（10分）(1)A解释：∫∫(从0到1，从0到1)xdxdy=∫(从0到1)[∫(从0到1)xdx]dy=∫(从0到1)[x^2/2]从0到1dy=∫(从0到1)1/2dy=(1/2)∫(从0到1)dy=(1/2)[y]从0到1=(1/2)(1-0)=1/2。(2)B解释：∫∫(从0到1，从0到1)xydxdy=∫(从0到1)[∫(从0到1)xydx]dy=∫(从0到1)[y∫(从0到1)xdx]dy=∫(从0到1)[y(x^2/2)从0到1]dy=∫(从0到1)y/2dy=(1/2)∫(从0到1)ydy=(1/2)(y^2/2)从0到1=(1/2)(1/2-0)=1/4。(3)B解释：∫∫(从-1到1，从-1到1)x^2dxdy=∫(从-1到1)[∫(从-1到1)x^2dx]dy=∫(从-1到1)[x^3/3]从-1到1dy=∫(从-1到1)(1/3-(-1/3))dy=∫(从-1到1)2/3dy=(2/3)∫(从-1到1)dy=(2/3)[y]从-1到1=(2/3)(1-(-1))=4/3。(4)A解释：∫∫(从0到π，从0到1)rsinθdrdθ=∫(从0到π)[∫(从0到1)rsinθdr]dθ=∫(从0到π)[sinθ∫(从0到1)rdr]dθ=∫(从0到π)[sinθ(r^2/2)从0到1]dθ=∫(从0到π)sinθ/2dθ=(1/2)∫(从0到π)sinθdθ=(1/2)[-cosθ]从0到π=(1/2)(-cosπ-(-cos0))=(1/2)(-(-1)-(-1))=(1/2)(1+1)=1。(5)B解释：∫∫(从0到2π，从0到1)rdrdθ=∫(从0到2π)[∫(从0到1)rdr]dθ=∫(从0到2π)[r^2/2]从0到1dθ=∫(从0到2π)1/2dθ=(1/2)∫(从0到2π)dθ=(1/2)[θ]从0到2π=(1/2)(2π-0)=π。2.填空题（5分）(1)1/3解释：∫∫(从0到1，从0到1)x^2dxdy=∫(从0到1)[∫(从0到1)x^2dx]dy=∫(从0到1)[x^3/3]从0到1dy=∫(从0到1)1/3dy=(1/3)∫(从0到1)dy=(1/3)[y]从0到1=(1/3)(1-0)=1/3。(2)1解释：∫∫(从0到1，从0到1)(x+y)dxdy=∫(从0到1)[∫(从0到1)(x+y)dx]dy=∫(从0到1)[x^2/2+xy]从0到1dy=∫(从0到1)(1/2+y-0-0)dy=∫(从0到1)(1/2+y)dy=[y/2+y^2/2]从0到1=(1/2+1/2)-(0+0)=1。(3)(e-1)^2解释：∫∫(从0到1，从0到1)e^{x+y}dxdy=∫(从0到1)[∫(从0到1)e^{x+y}dx]dy=∫(从0到1)[e^y∫(从0到1)e^xdx]dy=∫(从0到1)[e^y(e^x)从0到1]dy=∫(从0到1)e^y(e-1)dy=(e-1)∫(从0到1)e^ydy=(e-1)(e^y)从0到1=(e-1)(e-1)=(e-1)^2。(4)0解释：∫∫(从0到π，从0到1)rcosθdrdθ=∫(从0到π)[∫(从0到1)rcosθdr]dθ=∫(从0到π)[cosθ∫(从0到1)rdr]dθ=∫(从0到π)[cosθ(r^2/2)从0到1]dθ=∫(从0到π)cosθ/2dθ=(1/2)∫(从0到π)cosθdθ=(1/2)[sinθ]从0到π=(1/2)(sinπ-sin0)=(1/2)(0-0)=0。(5)π解释：∫∫(从0到2π，从0到1)r^2drdθ=∫(从0到2π)[∫(从0到1)r^2dr]dθ=∫(从0到2π)[r^3/3]从0到1dθ=∫(从0到2π)1/3dθ=(1/3)∫(从0到2π)dθ=(1/3)[θ]从0到2π=(1/3)(2π-0)=2π/3。3.计算题（10分）(1)计算二重积分∫∫(从0到1，从0到1)(x^2+y^2)dxdy。∫∫(从0到1，从0到1)(x^2+y^2)dxdy=∫(从0到1)[∫(从0到1)(x^2+y^2)dx]dy=∫(从0到1)[x^3/3+xy^2]从0到1dy=∫(从0到1)(1/3+y^2-0-0)dy=∫(从0到1)(1/3+y^2)dy=[y/3+y^3/3]从0到1=(1/3+1/3)-(0+0)=2/3。(2)计算二重积分∫∫(从0到1，从0到1)xydxdy。∫∫(从0到1，从0到1)xydxdy=∫(从0到1)[∫(从0到1)xydx]dy=∫(从0到1)[y∫(从0到1)xdx]dy=∫(从0到1)[y(x^2/2)从0到1]dy=∫(从0到1)y/2dy=(1/2)∫(从0到1)ydy=(1/2)(y^2/2)从0到1=(1/2)(1/2-0)=1/4。(3)计算二重积分∫∫(从0到π，从0到1)rsinθdrdθ。∫∫(从0到π，从0到1)rsinθdrdθ=∫(从0到π)[∫(从0到1)rsinθdr]dθ=∫(从0到π)[sinθ∫(从0到1)rdr]dθ=∫(从0到π)[sinθ(r^2/2)从0到1]dθ=∫(从0到π)sinθ/2dθ=(1/2)∫(从0到π)sinθdθ=(1/2)[-cosθ]从0到π=(1/2)(-cosπ-(-cos0))=(1/2)(-(-1)-(-1))=(1/2)(1+1)=1。(4)计算二重积分∫∫(从-1到1，从-√(1-x^2)到√(1-x^2))x^2dydx。∫∫(从-1到1，从-√(1-x^2)到√(1-x^2))x^2dydx=∫(从-1到1)[∫(从-√(1-x^2)到√(1-x^2))x^2dy]dx=∫(从-1到1)[x^2y]从-√(1-x^2)到√(1-x^2)dx=∫(从-1到1)[x^2√(1-x^2)-x^2(-√(1-x^2))]dx=∫(从-1到1)2x^2√(1-x^2)dx令x=sinθ，则dx=cosθdθ，当x=-1时，θ=-π/2；当x=1时，θ=π/2。∫(从-1到1)2x^2√(1-x^2)dx=∫(从-π/2到π/2)2sin^2θ√(1-sin^2θ)cosθdθ=∫(从-π/2到π/2)2sin^2θcosθcosθdθ=∫(从-π/2到π/2)2sin^2θcos^2θdθ=∫(从-π/2到π/2)(sin2θ/2)^2dθ=(1/4)∫(从-π/2到π/2)sin^2(2θ)dθ=(1/4)∫(从-π/2到π/2)(1-cos4θ)/2dθ=(1/8)∫(从-π/2到π/2)(1-cos4θ)dθ=(1/8)[θ-(1/4)sin4θ]从-π/2到π/2=(1/8)[(π/2-(1/4)sin2π)-(-π/2-(1/4)sin(-2π))]=(1/8)[(π/2-0)-(-π/2-0)]=(1/8)(π/2+π/2)=(1/8)π=π/8。(5)计算二重积分∫∫(从0到1，从0到√(1-x^2))(x^2+y^2)dydx。这个积分是在单位圆的第一象限部分进行的。我们可以使用极坐标来计算。令x=rcosθ，y=rsinθ，则dxdy=rdrdθ，x^2+y^2=r^2。当x从0到1时，θ从0到π/2；当y从0到√(1-x^2)时，r从0到1。所以∫∫(从0到1，从0到√(1-x^2))(x^2+y^2)dydx=∫(从0到π/2)[∫(从0到1)r^2rdr]dθ=∫(从0到π/2)[∫(从0到1)r^3dr]dθ=∫(从0到π/2)[r^4/4]从0到1dθ=∫(从0到π/2)1/4dθ=(1/4)∫(从0到π/2)dθ=(1/4)[θ]从0到π/2=(1/4)(π/2-0)=π/8。九、曲线积分与曲面积分（25分）1.选择题（10分）(1)A解释：∫(从0到1)xdx=[x^2/2]从0到1=1/2-0=1/2。(2)C解释：∫(从0到π)sinxdx=[-cosx]从0到π=-cosπ-(-cos0)=-(-1)-(-1)=1+1=2。(3)A解释：曲线C：y=x^2，从(0,0)到(1,1)，可以参数化为x=t，y=t^2，t从0到1。ds=√(1+(dy/dx)^2)dx=√(1+(2x)^2)dx=√(1+4x^2)dx。所以∫(从C)(x^2+y^2)ds=∫(从0到1)(t^2+(t^2)^2)√(1+4t^2)dt=∫(从0到1)(t^2+t^4)√(1+4t^2)dt。(4)A解释：曲面S：z=x^2+y^2，0≤z≤1，可以参数化为x=u，y=v，z=u^2+v^2，其中u^2+v^2≤1。dS=√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2)dxdy=√(1+(2x)^2+(2y)^2)dxdy=√(1+4x^2+4y^2)dxdy。所以∫∫(从S)zdS=∫∫(从D)(x^2+y^2)√(1+4x^2+4y^2)dxdy，其中D是x^2+y^2≤1。(5)B解释：曲线C是单位圆，可以参数化为x=cosθ，y=sinθ，θ从0到2π。dr=(-sinθdθ,cosθdθ)。F=(y,x)=(sinθ,cosθ)。所以F·dr=(sinθ,cosθ)·(-sinθdθ,cosθdθ)=-sin^2θdθ+cos^2θdθ=(cos^2θ-sin^2θ)dθ=cos2θdθ。∫(从C)F·dr=∫(从0到2π)cos2θdθ=[sin2θ/2]从0到2π=(sin4π/2-sin0/2)=0-0=0。不对，应该是∫(从0到2π)cos2θdθ=[sin2θ/2]从0到2π=(sin4π/2-sin0/2)=0-0=0。但是选项中没有0，可能是题目有误。实际上，F=(y,x)的旋度是∂x/∂x-∂y/∂y=1-1=0，所以根据格林定理，∫(从C)F·dr=0。2.填空题（5分）(1)1/3解释：∫(从0到1)x^2dx=[x^3/3]从0到1=1/3-0=1/3。(2)0解释：∫(从0到π)cosxdx=[sinx]从0到π=sinπ-sin0=0-0=0。(3)√2解释：曲线C：y=x，从(0,0)到(1,1)，可以参数化为x=t，y=t，t从0到1。ds=√(1+(dy/dx)^2)dx=√(1+1^2)dx=√2dx。所以∫(从C)(x+y)ds=∫(从0到1)(t+t)√2dt=∫(从0到1)2t√2dt=2√2∫(从0到1)tdt=2√2[t^2/2]从0到1=2√2(1/2-0)=√2。(4)π解释：曲面S：z=1，x^2+y^2≤1，这是一个圆盘，面积为π×1^2=π。所以∫∫(从S)zdS=∫∫(从S)1dS=面积(S)=π。(5)2π解释：曲线C是单位圆，可以参数化为x=cosθ，y=sinθ，θ从0到2π。dr=(-sinθdθ,cosθdθ)。F=(-y,x)=(-sinθ,cosθ)。所以F·dr=(-sinθ,cosθ)·(-sinθdθ,cosθdθ)=sin^2θdθ+cos^2θdθ=(sin^2θ+cos^2θ)dθ=dθ。∫(从C)F·dr=∫(从0到2π)dθ=[θ]从0到2π=2π-0=2π。3.计算题（10分）(1)计算曲线积分∫(从C)(x^2+y^2)ds，其中C是直线y=x，从(0,0)到(1,1)。曲线C：y=x，从(0,0)到(1,1)，可以参数化为x=t，y=t，t从0到1。ds=√(1+(dy/dx)^2)dx=√(1+1^2)dx=√2dx。所以∫(从C)(x^2+y^2)ds=∫(从0到1)(t^2+t^2)√2dt=∫(从0到1)2t^2√2dt=2√2∫(从0到1)t^2dt=2√2[t^3/3]从0到1=2√2(1/3-0)=(2√2)/3。(2)计算曲线积分∫(从C)(x+y)ds，其中C是曲线y=x^2，从(0,0)到(1,1)。曲线C：y=x^2，从(0,0)到(1,1)，可以参数化为x=t，y=t^2，t从0到1。ds=√(1+(dy/dx)^2)dx=√(1+(2x)^2)dx=√(1+4x^2)dx。所以∫(从C)(x+y)ds=∫(从0到1)(t+t^2)√(1+4t^2)dt。这个积分比较复杂，可以使用换元法。令u=1+4t^2，则du=8tdt，tdt=du/8。当t=0时，u=1；当t=1时，u=5。所以∫(从0到1)(t+t^2)√(1+4t^2)dt=∫(从0到1)t√(1+4t^2)dt+∫(从0到1)t^2√(1+4t^2)dt=∫(从1到5)√u(du/8)+∫(从0到1)t^2√(1+4t^2)dt=(1/8)∫(从1到5)u^{1/2}du+