小学五年级数学《三角形的面积》探究式导学案

小学五年级数学《三角形的面积》探究式导学案

一、课程基本信息与导航

（一）课题名称

小学五年级数学《三角形的面积》探究式导学案

（二）适用学段与学科

小学五年级数学学科

（三）课程类型

图形与几何领域概念建构课、公式推导探究课、应用与实践课

（四）课时安排

共2课时（本导学案为第1课时，侧重公式探究与初步应用；第2课时为综合练习与拓展）

（五）教材版本

北京师范大学出版社五年级上册第四单元《多边形的面积》第3节

（六）设计理念与核心素养导向

本导学案严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》理念，以发展学生核心素养为导向。通过创设真实问题情境，引导学生经历“猜想—验证—归纳—应用”的完整知识形成过程。课程设计注重培养学生的【非常重要】量感、空间观念、推理意识【非常重要】和模型意识，强调在动手操作中理解数学知识的本质，实现从“学会”到“会学”的转变，达成深度学习的【重要】目标。

二、学习目标设定

（一）知识与技能目标【基础】

学生能理解并掌握三角形面积的计算公式，即三角形面积等于底乘高除以二。能够正确测量或识别三角形的底和高，并运用公式计算不同形状三角形的面积，解决简单的实际问题【高频考点】。

（二）过程与方法目标【重要】

学生通过“拼一拼、剪一剪、画一剪”等小组合作探究活动，经历将三角形转化为已知图形（平行四边形、长方形、正方形）的过程，体会【非常重要】转化思想【非常重要】在数学学习中的应用。通过观察、比较、分析，发现三角形与转化后图形之间的联系，自主推导出三角形面积的计算公式，培养初步的逻辑思维能力和归纳概括能力。

（三）情感态度与价值观目标

在探究活动中，激发学生学习数学的兴趣，培养勇于探索、敢于创新的科学精神以及严谨求实的科学态度。在小组合作中，增强协作意识和交流表达能力，感受数学与生活的紧密联系，体验数学学习的价值和成功的喜悦。

三、学习重点与难点剖析

（一）教学重点【基础】

理解并掌握三角形面积的计算公式，并能正确进行计算。

（二）教学难点【难点】

理解三角形面积公式中“除以2”的算理，即为什么计算三角形面积要用底乘高除以二，以及如何从图形转化的角度解释这一数学关系。这是学生从直观操作上升为抽象理解的关键一步。

四、教学准备与环境

（一）教师准备

多媒体课件（PPT，包含动态演示转化过程、练习题等）、两个完全一样的锐角、直角、钝角三角形纸片（教师演示用）、方格纸、磁力贴片。

（二）学生准备【非常重要】

以4-6人为一组的学习小组。每个小组准备：两个完全一样的锐角三角形、两个完全一样的直角三角形（含等腰直角）、两个完全一样的钝角三角形（均为彩色卡纸裁剪）、剪刀、直尺、透明胶或双面胶、方格纸、学习记录单。

五、教学实施过程（核心环节，详细展开）

（一）唤醒经验，情境导入（约5分钟）

1.复习引路：【重要】教师通过多媒体展示一组平面图形：长方形、正方形、平行四边形。提问：“同学们，我们已经学习了哪些图形的面积？谁来说说平行四边形面积的计算公式是怎样推导出来的？”

2.学生回顾并回答：通过“割补法”将平行四边形转化为长方形，从而推导出面积等于底乘高。

3.创设情境：【非常重要】教师话锋一转，出示一个情境图：学校要为一年级新生制作一批三角形的流动红旗（展示红旗实物或图片），已知红旗的底是28厘米，高是25厘米。要做这样一面红旗，需要多少布料？这个问题实际上是在求什么？

4.学生齐答：三角形的面积。

5.揭示课题：教师板书课题——三角形的面积。并引导学生思考：“今天，我们就来当一次小小数学家，一起探究三角形面积的计算方法。大家有没有信心？”

（设计意图：从学生已有的知识经验出发，复习转化思想，为新课的探究做好认知铺垫。同时，利用贴近生活的实际问题引入，激发学生的求知欲和探究动机，体现数学的【热点】应用价值。）

（二）大胆猜想，引发冲突（约3分钟）

1.初步猜想：教师引导学生大胆猜测三角形的面积可能跟什么有关？可能会怎样计算？

2.预设学生回答：可能跟底和高有关，可能会是底乘高（受平行四边形面积公式负迁移影响），也可能会说不知道。

3.制造冲突：【难点】教师不急于评判，而是追问：“如果直接用‘底乘高’来计算三角形的面积，你们觉得合适吗？为什么？”同时，利用课件展示一个与平行四边形同底等高的三角形，让学生观察对比。直观感受上，这个三角形的面积明显比平行四边形面积小很多。

4.明确探究方向：看来直接用底乘高是不对的，但它一定和底、高有密切关系。那到底有什么关系呢？我们需要动手来验证一下。

（三）操作探究，推导公式【非常重要】（约20分钟）

此环节是本节课的核心，采用小组合作、分层推进的方式进行。

1.第一次探究：从特殊到一般（用两个完全一样的三角形拼摆）

[1]任务驱动：教师出示第一个探究任务：“请各小组拿出准备好的两个完全一样的锐角三角形。动手拼一拼，看能否把它们转化成我们已经学过的、会计算面积的图形。拼好后，观察新图形与原三角形之间有什么关系。”

[2]小组合作探究：学生动手操作，教师巡视指导，参与讨论。鼓励学生尝试不同的拼法。

[3]汇报展示：邀请小组代表上台，利用磁力贴片在黑板上展示他们的拼法。

①预设1：将两个完全一样的锐角三角形，通过旋转、平移，拼成了一个平行四边形。

②预设2：也可能拼成一个长方形（如果所取三角形特殊，或学生有其他拼法）。

[4]关键追问与发现：【非常重要】教师指着拼成的平行四边形，向全体学生提问：

“这个拼成的平行四边形的底与原三角形的底有什么关系？”（生：相等）

“这个平行四边形的高与原三角形的高有什么关系？”（生：相等）

“这个平行四边形的面积与原三角形的面积有什么关系？”（生：平行四边形的面积是两个三角形面积的和，所以三角形的面积是平行四边形面积的一半。）

[5]推导关系：引导学生根据平行四边形面积公式，推导出三角形面积公式。教师板书：

平行四边形的面积=底×高

↓↓

三角形的面积×2=底×高

所以，三角形的面积=底×高÷2

[6]初步验证猜想：教师肯定大家的发现，并指出这就是我们猜想的方向，现在通过拼摆验证了锐角三角形确实可以用“底×高÷2”来计算。

2.第二次探究：从一般到特殊（用两个完全一样的直角三角形拼摆）

[1]进阶任务：教师继续引导：“刚才我们用锐角三角形证明了公式。那直角三角形呢？它也能拼成平行四边形吗？请拿出两个完全一样的直角三角形试试看。拼完后，思考同样的问题。”

[2]小组合作探究：学生操作直角三角形。

[3]汇报展示：学生展示拼法。

①预设：大部分学生能拼成一个长方形（或平行四边形）。

[4]关键追问：教师追问：“这次拼成的长方形，它的长和宽分别相当于三角形的什么？”（生：长相当于三角形的底，宽相当于三角形的高）

“这个长方形的面积和三角形面积有什么关系？”（生：也是2倍关系）

[5]归纳验证：教师总结，无论是长方形还是平行四边形，其面积都是三角形面积的2倍。因此，直角三角形的面积同样可以用“底×高÷2”来计算。

3.第三次探究：补充验证（用两个完全一样的钝角三角形拼摆）

[1]全面验证：教师提出：“还有钝角三角形呢？我们再用钝角三角形拼一拼，看看这个公式还适用吗？”（学生快速操作验证）

[2]结论：学生汇报，同样适用。

4.深入探究：用一个三角形进行割补（剪拼）【难点突破】

[1]设疑激思：教师提出更高层次的问题：“刚才我们都是用两个三角形拼摆。如果老师只给你一个三角形，你能不能也想办法把它转化成我们学过的图形，从而推导出面积公式呢？这比刚才更有挑战性，想试试吗？”

[2]探究提示：教师简要提示，可以借鉴平行四边形面积推导中“割补法”的思路。引导学生拿出课前准备好的一个三角形和剪刀。

[3]小组尝试探究：此环节有一定难度，教师要加强巡视和指导。可以提示学生“找中点”、“做垂线”等方法。对困难小组，可以发放辅助用的方格纸，让他们在方格纸上画一画、剪一剪。

[4]成果汇报：邀请有成功经验的小组上台展示。

①方法一（中点拼合法）：沿三角形两边中点的连线剪开，再拼成一个平行四边形。

②方法二（高线拼合法）：从一条边上的中点向对边作垂线，剪开，拼成一个长方形。

[5]再次推导：【非常重要】教师引导学生观察，新拼成的图形（平行四边形或长方形）的面积等于原来三角形的面积。新图形的底和高与原来三角形的底和高又是什么关系？通过观察发现，平行四边形的底是原三角形底的一半，平行四边形的高是原三角形的高，从而推导出：三角形面积=平行四边形面积=(底÷2)×高=底×高÷2。或者长方形的长相当于原三角形的底，宽相当于原三角形高的一半，从而推导出：三角形面积=长方形面积=底×(高÷2)=底×高÷2。

[6]深度理解：通过这种“一剪一拼”的方法，学生们更加深刻地理解了“除以2”的含义，它不仅仅是一个运算符号，更是图形转化后的一种数量关系，可以从不同角度得到解释。

5.归纳总结，形成共识

[1]全班交流：通过以上几种方法的探究，你有什么发现？

[2]教师总结：【非常重要】无论是什么形状的三角形（锐角、直角、钝角），也无论我们用哪种方法（拼摆或割补），最终都能证明三角形的面积等于底乘高除以二。这个结论是普遍适用的。

[3]完善板书，齐读公式，并用字母表示：S=ah÷2。（强调书写格式，a表示底，h表示高）

（四）分层练习，巩固应用（约10分钟）

1.基础练习，直接套用公式【高频考点】

[1]课件出示三道基本练习题，分别给出直角三角形的两条直角边（作为底和高）、锐角三角形的底和对应高、钝角三角形的底和对应高。

[2]学生独立在练习本上完成，指名学生板演。重点检查书写格式是否正确，是否漏写了“÷2”，底和高是否对应。【重要】教师在此过程中强调：“计算三角形面积，关键要找准对应的底和高。”

2.变式练习，解决导入问题

[1]回到课始的“流动红旗”问题：一面流动红旗，底是28厘米，高是25厘米，它的面积是多少平方厘米？

[2]学生独立列式计算，同桌互批。反馈订正。

3.辨析练习，突破思维定势【难点】

[1]课件出示一个平行四边形，里面画了一条对角线，分成了两个三角形。问：其中一个三角形的面积是平行四边形面积的一半吗？为什么？

[2]出示两个等底不等高、或等高不等底的三角形，让学生判断哪个面积大。引导学生明白，三角形的面积由底和高两个因素共同决定。

4.实践应用，提升能力

[1]出示一道生活情境题：一块三角形菜地，量得它的底是35米，高是24米。如果每平方米种6棵白菜，这块地一共可以种多少棵白菜？

[2]引导学生分析，先求三角形面积，再求总棵数，体会数学在生活中的应用。

（五）课堂总结，回顾反思（约5分钟）

1.知识回顾：引导学生回顾本节课的学习历程。今天我们学习了什么？我们是怎样推导出三角形面积公式的？

2.方法提炼：【非常重要】我们用了哪些方法来探究？你最喜欢哪种方法？这些方法背后蕴含了一个非常重要的数学思想是什么？（转化思想）将新知识转化成旧知识来解决。

3.情感升华：请同学们谈谈自己的收获和体会，或者在学习过程中遇到的困难以及如何克服的。

4.拓展延伸：【热点】如果我们要计算一个三角形标志牌的面积，需要测量它的底和高，但有些三角形的高在图形外面（钝角三角形），该怎么办呢？这个问题留给大家课后思考，下节课我们再一起探讨。

六、学习评价与反馈

（一）评价方式

1.过程性评价：重点关注学生在小组探究活动中的参与度、合作精神、动手操作能力以及发现和提出问题的意识。教师通过课堂观察和巡视进行即时鼓励和记录。

2.表现性评价：通过学生的汇报展示、质疑和补充，评价其数学思维和语言表达能力。

3.结果性评价：通过课堂练习和课后作业的完成质量，评价学生对三角形面积计算公式的理解和掌握程度【高频考点】。

（二）学习记录单设计（示例）

小组合作学习记录单

主题：探究三角形的面积

1.我们小组选择研究（）三角形。（锐角/直角/钝角）

2.我们的方法：（拼一拼/剪一剪）

3.操作过程简述：（可以用文字或画图表示）

4.我们发现：

拼成的新图形是（）。

新图形的底相当于原三角形的（）。

新图形的高相当于原三角形的（）。

新图形的面积与原三角形面积的关系是（）。

5.我们的结论：三角形的面积=（）。

七、教学反思与预设

（一）成功之处预设

本导学案设计力图体现以学生为主体，以探究为主线。通过层层递进的探究活动，将“转化思想”贯穿始终，不仅让学生“知其然”，更“知其所以然”。特别是引入“用一个三角形割补”的环节，是对学生思维的一次挑战和提升，有助于发展学生的空间观念和创新意识。从两个三角形的拼摆到单个三角形的剪拼，难度螺旋上升，符合学生的认知规律。

（二）可能遇到的问题与应对策略

1.【难点】学生可能不理解“对应底和高”的含义。

策略：在练习环节，专门设计辨析题，出示不同摆放位置的三角形，让学生指认底和对应的高。强调高必须是从底边所对的顶点向底边作的垂线段。

2.【难点】在用“割补法”用一个三角形推导时，部分学生可能无从下手。

策略：降低难度，可